Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 51
Текст из файла (страница 51)
~ 1.2, п. 1) ис ~ с,о — — иг (х), и~с в — — иа(х), П,и=О, и!е. в = и1.=, =О. (4З) Соответствующая задача на собственные значения есть задача Штурма †Диувил — а~Хо = ЛХ, Х(О) = Х(1) = О. Поэтому (см. ~ 5.2, п.4) гс йяа 1 Г2 . Йнх Ль = ( ~, Хь(х) = ~( — яп, у=1,2, и формальное решение задачи (43) дается рядом 2 сг Йна, Йнса ьс Йях и(х.,с) = — ~~ ( гсь сое 1+ бь яп 1) яп, (44) ь=г где йнх Ьгх аь = / ио(х) яп — г1х, Ьь = — / иг(х) яп — г1х.
о 1 уо 1 Каждое гармоническое колебание Г2 Ьгх г' Ьга Ть(1)Хь(х) = СУь~/ — яп аш ~ 1+ оь образует стоячую волну с собственной частотой — и амплитудой йза Г2 . Йнх сг'с ) с — яп —. '(сс1 1 ' Нули п1, и = О,...,Ь амплитуды называются узлами, а ее точки 1с экстремума 2" ~~ 1, и = О,..., и — 1, —. пунностлми этой стоячей волны (рис.
79). Гармоническое колебание Т,Х, с наименьшей собственной частотой тгЛг называется основным тоном; остальные колебания ТэХ, Гл. Ъ7. Слсеосаннал задача 342 Ряс 79 б) Распространение тепла в ограниченном стержне. Рассмотрим смешанную задачу для одномерного уравнения теплопровод- ности 3 ис = а и„, сс~с — о = 'ио(х), и~ — о = сс~ — с = О. (45) Формальное решение задачи (45) выражается рядом 2 у ( 7сзнзаз ) них и(х,е) = — ~~аьехр~ —, 7~вш —.
(46) Ограничиваясь первым членом ряда (46), получаем приближенное ре- шение задачи (45) и(х,с) - ехр~ — 7уяш ) в) Колебания закрепленной мембраны. Задача сводится к решению смешанной задачи для двумерного волнового уравнения 55~и = О Цс=о = ио(х), ис~с=о = ис(х) и~я = О. (47) Соответствуюшая задача на собственные значения имеет вид — азЬХ = ЛХ, Х~ =О. 2сзХз,...
с частотами тссйзя, тссЛз,... образуют ряд последовательных обертонов. Решение (44) складывается из отдельных тонов (основного тона и обертонов), и их суммарное действие приводит к созданию тембра звука, издаваемого струной. 2 6.1. Метод Фурье Для прямоугольника г0,1) х (О, т) (сьг. ~ 5.4, и. 2) 2 . йях . Ю Ль; = я а 1 —, + —,), Ль (х,у) = — аш — вш 1 Р гп2) ' тгг)т 1 т й,у =1,2,..., и формальное решение задачи (47) выражается двойным рядом иГх,у,1) = — 2 ') аь.савла —, + —,1+ Рт Р тя Ь,1=1 йя 12 ьг йях 1яу + Ьь . гйп яа —, + —, 1~ вгп — сйп —, (48) Р пР) 1 т,' где 1 т йггх, уху аь = / / иоГх,у) сйп ягп гГхгГу, ,1*,,1 , ь ь Гь. Ьг-"1 ~ ) гп Для круга Ьгп гсьг.
я 5.4, п. 2) Л„т [р,'"'1 — „'„ й= о,1,..., ! 1л~ ~а аь соа — 'г + л ( гй т~ р а 11 ~ь гг1 ' ~ ~"("')Г ье и(х,у,.с) = — ~ Ь=О2=1 где гй гте Ьь1. = ОО / / иг(х,у)дь )р — ) е ' 'г с6'агр. где р положительные корни уравнения,7ь(11) = О (сьг. ~ Д.1, п. 2). ОО Формальное решение задачи (47) выражается двойным рядом у б.а Метод Фурье ьь ас г .
оае с.=о у=г =.— г (21+ 1)(1 — ~т~)! 1 ~' Отце~ г '~ (1+ваш)(7+ !т!)! [, Г' Ом~о>)~- 'ьь у ( 1 В/ ь~-1 ~з ~ ду (54) ж) Смешаннал задача для уравнения Шредингера в шаре Гн: дм' 6з 1в — = — — ЬФ+ Г (~лОУ5 й, о = Чо(л), йл„= 0 (55) 2то с потенциалом 1', зависящим только от (т!. Соответствующая задача на собственные значения принимает вид 52 — — Лх+Ъ'Дл!)Х = ЛХ, Х) = О, 2то или,в сферических координатах, 5' (1 д ( ьдх~ 1 д ( дхЛ 1 дох~ 2то (го де 'Л дг / гояпВдВ 1, дВ/ гояпоВ дуьз ~ + Ъ'(г)Х = ЛХ, !Х(О,В,ф/ ( оо, Х(А,В,ф = О.
(56) Собственные значения и собственные функции краевой задачи (56) определяются методом разделения переменных. Шщзгая х = (') 1(в,у ) и действуя по общей схеме, получим "(") 1;™(в, р), т Лгб ХО (л) = е) Формальное решение смешанной задачи (50) для трехмерного шара Гн выражается рядом Гл. 1гй Смеисаннал задача 346 — сев+ се+ (1г — Л)сс = О, сс(0) = Я(Ц = О. 1(1+ 1) 27по с.з йз Формальное решение задачи (55) дает ряд сс зз ы с и(х,1) = — ~ ~~ ~~ ~ас „, ехр с — — Лсз11 х с=о о=с (21 -с- 1) (1 — ~т ~)! х (1+ б )(1+ ~ ~)с сгсз'(г)Ус '((С,оз), (57) где сн сз гзе ас„„= / / / ио(х) сссд(г)1,'а(С1, ссз)г с)г асс 6 сЮ с1ср.
о о о Собственные значения ЛО определяют уровни энергии квантовой частицы; индексы 1 и и назьсвакгтся соответственно орбитальным (азимутальным) и магнитным кванлаовым числама. з) Формальное решение задачи Дирихле г.1а о= и~а „=О, и)о о = ио(х), и/„с = ис(х), (58) Ьгл = О, в прямоугольнике (О, а) х (0,1) выражается рядом 2 С' 1 — у аяуЛ вш и(х,у) = — ~ (аьв!с1ся +Ьсой ) ", (59) а й1 а а ) в1сах1 ' где аях Ьгх аь = / ио(х) яп с(х, уь = / ис(х) яп с(х. ,/о о и) Задача Дирихле в трехмерном цилиндре 1Сн х (О, сс)с и!в —— ио(з), и/ = гс1, в — — О.
(60) В цилиндрических координатах (г, сгг, з) решение и(х, у, з) = й(г, з) не зависит от угла ез, и поэтому задача (60) принимает вид й(гс, з) = ио(х), й(г.,О) = й(г, 1с) = О. (61) где Лс, и ссс (г) -- собственные значения и собственные функции од- номерной краевой задачи 'у' б.п Метод Фурье 347 Решая краевую задачу (61) методом разделения переменных, й(г., х) = = ГС(г)Л(з), для функций 7С и е' получаем краевые задачи го+ Лг = О, г(О) = г(й) = О, ко+ -я' — Ла = О, ~а(О)~ < г Решение этих краевых задач легко находится: гл г г '2 Ьге Т ~ь(е) = ~I — яггг, гсь(г) = ся1о (Ьг — „), 2 1о ($тг(7г) Ьг~ гг(х,у,е) = й(г,з) = — ~ау, е|п —, (62) я=1 где р" ая = / ио(е) гйп о 7.
Упражнения. а) Доказать: если иот Е Ео(0,1), ио(0) = ио(1) = и" (0) = и,",(1) = = О, и" ,Е Е (0,1), иг(0) = иг(1) = О, то ряд (44) представляет классическое решение задачи (43). б) Доказать: если иго Е Ео(0,1), ио(0) = ио(1) = О, то РЯд (46) представляет классическое решение задачи (45). в) Доказать: если ио, иг Е Ся(С), из~я = иг(л = О, то ряд и(х, у) = ~ ~ (ио, Хя) ' + (иб Хь) ~ Хь(х) ой,'Л,(1 — у) ойтгЛьу1 .
оЬ ьгЛь1 ' яь, л,г~ дает решение задачи Дирихло для уравнения Лапласа в цилиндре С х (0,1) да Ьеи+, = О, дуз Ц =о ио(х), Му г — — Ш(х), гг~я = 0 где 1о — — функция Бесселя мнимого аргумента (см. у Д.1, п. 8). Формальное решение задачи (61) и, стало быть, задачи (60) выражается рядом Гл. Ъ7. Смещенная задача 348 3 6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения гиперболического типа (см.
8 1.4, п. 4): д и р, = Йт(рбга<)и) — ди+ Р(х,1) = — Тлз+ Г, д1а (х, 1) Е Ц . = С х (О, со); ди — = и1(х), д~ ~=о ди ои+д — =О, 1>О. дц ио(х), (2) (3) г Е С(П~), ио Е С (С), и1 Е С(б), и условие согласованности дио ,+д =О. дп При изучении краевых задач для гиперболических у.равнений весьма эффективным оказывается метод интегралов энергии. Пусть и(х,1) классическое решение задачи (1) (3). Интегралом энергии называется величина Х (1) = — / ~р1 — ) +р~бгас1и~ +пи ~ дх+ — / р — и йд, 2,/п~ у,д1) ~ 2/н, д представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергий колеблющейся системы в момент времени б Предполагаем, что функции р, р, о, о и д удовлетворяют условиям 8 6.1; С .— ограниченная область и ее граница Я вЂ”.
кусочно гладкая поверхность, Яо та часть 5, где о(х) > О и д(х) > О одновременно. 1. Классическое решение. Интеграл энергии. Классическим решением смешанной задачи (1) — (3) называется функция и(х,с) б Е Сз(Ц ) Г~С'(Ц )., удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре П начальным условиям (2) на нижнем основании и граничному условию (3) на боковой поверхности этого цилиндра. Для сушествования классического решения задачи (1) -(3) необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости у" б.у.
б не~ионная задача для уравнения гиперболического типа 349 Тгорвмл. Пусть и)х,у) -" нлаехичесное решение задачи (1).-(3) и г' Е С(Ц ). Тогда справедливо соотношение е' е Уф=да(0)+// Р(хчг) ' дт, 1>0, (4) где д (0) = — / (ри1+р(5гадио~ +био)дх+ — / р — иодд. 2 1 г г 2,/и о 2 /, о о Доклзлткльство. Для доказательства возьмем произвольные число е > 0 и область С' С С с кусочно гладкой границей Я'. Умножая уравнение (1) на — ", интегрируя по цилиндру С' х (е, Т) и пользуясь де' первой формулой 1 рина (см, у 5.1, и. 2), получим В'В ", ема,/ / В— 'в,гел =,— /, (в н) +/'~/,(„.е..„.евв")ех-/,в— — в„",в" / 2 т т =-,'/ ~ ('— ,,").,) ..Чв. *) ..-//,',"„'".. Переходя здесь к пределу при е — о 0 и С' — ~ С и пользуясь тем, что и Е Е С'(Цт) и Е Е С(Цт), получаем равенство / ~.
('— „")'"~,-е.г ...-) 'гс -/'/. Š— дт. ду. (5) ди Пх Из граничного условия (3) вытекают соотношения — ' = — — и на Я ди, о д д там, где д > 0: и = 0 на 5 там, где д = О. Поэтому Гл. Ъ7. Смешаннал задача 350 отсюда и из (5), заменяя Т на 1, получаем формулу (4). Теорема доказана. Слндствик. При г = 0 равенство (4) принимает вид зз11) =,7~(0), г > О. (6) 2,з"11)У1г) = / г (х,1) ' дх, 1 > О. ди(х, 1) /с ' д1 (7) Применяя к правой части равенства (7) неравенство Коши — Буняков- ского, выводим неравенство 2УУ < Ог!) д1 (8) Удеитывая теперь, что р(х) > О, р е С(С), и, стало быть, р(х) > > ро, ро > О,получаем цепочку неравенств — < — ( р) — ) дх< — У11), дг Ро н ду Ро т. е.
(9) Аналогичным образом убеждаемся в справедливости оценки '5 ( 8гае1 и! (! < ~/ — з'(1), Г2 ро (10) где ро = шш*еп р(х), ро > О. Подставляя неравенство (9) в неравенство (8) и сокращая на,1, выводим неравенство У11) < ((г'О', г > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
