Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 54
Текст из файла (страница 54)
условия из 35.2.) Собственные функции задачи Хл образуют полную ортонормальную систему в Ез(0,1) (см. 35.2, п.3) и удовлетворяют интегральному уравнению (см. 3 5.2, п. 2) Н Ха(х) = Ль/ Ях:у)Хь(у) у. о (40) где Ях, у) функция Грина оператора Ь (ель 3 5.2, п. 1). По теореме Мерсера (см. 3 4.4, и. 5) [Хь( )[ д( ) Ль 1=1 (41) причем ряд (41) сходится равнолеерно на [0,1). Докажем равномерную на [0,1] сходимость рядов (42) Равномерная сходимость первого ряда вытекает из интегрального уравнения (40) Х„'(х) 1' Ц,(х, у)Хь(у)е1у = (Ц„Хь), Ль о равенства Парсеваля — Стеклова (см. 3 1.1, п.
6) С- [Хь(' )[' Ла л=л [Х" (х) [- Ла л л Гл. 976 Смешаннал задача ХГФ = — — Х~Ф+ р'(х), л1(х) — Ль Хь(х). рЛх) ' Ях) Для задачи (37)-(39) выпишем ряд (30), представляющий обобщенное решение этой задачи (см. п. 6): и(х.,1) = ~(аь сов;ллЛл Ь+ Ьь зш уллЛь 1), ь=л (43) ЬьуллЛу,. = (ил,Хь). аь = (ио, Хь), (44) Сначала докажем; есчи ио б Мь и ил б Я0,1), то ряд (30) сходится равнолюрно на Ц (к непрерывной на Ц функции и(х, е)). Действительно, так как ио е Лдь, то Лис б Ез(0,1) и Ль(ио Хь) = (лло: АХь) = (Био, Хь).
Отсюда, исллользуя обозначения (44), в силу равенства Парсеваля- Стеклова (см, я 1,1, п. 6), получаем Л~~ (аь (а = ()Еио ~), Лу.,)Ьь)з = Йллл'и'~. я=~ (45) Применяя к ряду (43) неравенства Коши — Буняковского и учитывая равномерную сходимость ряда (41) и сходимость рядов (45), убедимся в регулярной сходимости ряда (43) на Ц ~ ~аь сое зллЛь1+ Ьь е1п у7гЛь1~ ~Хь(х)! < ~()аь) +',Ь| !) )Хь(х)! < ь —.1 ь=л л ало,с+флело $ ф~~о' ~ Теперь докажем теорему о существовании классического решения задачи (37) — (39). Ткогнмл.
Если ио, Еио, и и~ принадлехсат Д4ь, то рлд (30) предстаоллет классическое решение задачи (37) — (39), причем и е чС(Ц, ). и леммы Дини (см. '3 1.1, п. 3). (В силу свойств функции Грина 6(х, р) последний интеграл есть непрерывная функция на ~0,1).) Равномерная сходимость второго ряда (42) вытекает из равномерной сходимости первого ряда (42), ряда (41) и дифференциального уравнения у 6.3.
Смешанная зада за для ураанения нараооличеенозо тина 365 Доклзлтвльство. В силу условия теоремы, как и в (45),. полу- чаем ЕЛаая~а = 0Ьзиойз ЕЛз!Ья!2 = ~!Ь 1~!з, (46) я=у ь=1 3 6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения параболического типа (см. 3 1.4, п. 4) ди р —, = йи(рбгади) — ои+ Е(х,1) = — Еи+ Е, ду х6 С; (х,1) Е Цм; (1) и~о о = ио(х) ди он+ д — = о(х,1), дп (2) (х,1) Е Я х [О,оо); (3) в условиях у 6.1 (здесь Ц = С х (О, оо)).
1. Классическое решение. Принцип максимума. Классическим решением смешанной задачи (1) (3) называется функция и(х,1) 6 Сз(Ц ) ПС(Ц ), игаса и Е С(Ц ), удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре Ц, начальному условию (2) и граничному условию (3). Для существования классического решения задачи (1) — (3) необходимы следующие условия гладкости; Г Е (Ц,), ио Е С(С), о Е С(Я х (О, оо)), и условие согласованности дио оно+ д = о(х, 0). дп Из сходимости рядов (46) и из равномерной сходимости рядов (41) и (42) следует регулярная сходимость на Ц .
ряда (43) и всех рядов, полу.ченных почленным дифференцированием его по х и е один и два раза. теорема доказана. Первое строгое обоснование метода Фурье для двух переменных было доказано В. А. Стекловым. Гл. ЪЛ Сметанная задача 366 При изучении краевых задач для у равнения параболического типа весьма полезным является следующий Принцип максимума. Пусть функция и(х,е) класса Сг(С х х (О,Т)) О С(Цт) удовлетворяет уравнению (1) в цилиндре.
Цт и Г(х,ь) < 0 в Цт. Тогда либо и < 0 ни Цт, либо (положительныи) максимум функции и(х, Х) ни цилиндре Цт достигается на нижнем основании С х (0) или на боковой поверхности 5 х [О, Т) его, т, е. и(х,1) < щах[0, щах иЯ,т), ~пах и(с,т)), (х,1) Е Цт. (4) СеО, т=о Се5.0<т<т Доказаткльство.
Предположим противное, т. е. функция и(х, Х) принимает положительные значения в некоторых точках цилиндра Цт, но не достигает своего (положительного) максимума ни на его нижнем основании С х (О),. ни на боковой поверхности Я х х [О,Т1 Это значит, что найдется точка (хо,1о), хо Е С, 0 < 1о < Т, такая,что и(хо;со) > |пах[0, шах и(Я,т), щах и(с,т)) = ЛХ > О. (6) вес,; — о Ееяо<т<т Положим е = и(хо, 1о) — ЛХ > 0 (б) и рассмотрим функцию е т — е и(х, Х) = и(х, 1) +— 2 Т Тогда о(х,1) < и(х,Х) + —, (х,.ь) Е Цт, 2' и в силу (6) при всех (х, 1) Е С х (0) О Я х [О, Т) имеем о(хо Хо) > и(то 1о) = е+ ЛХ > е+ и(х.,1) > е 2 2 > е+ о(х,с) — — = — + о(х, е). Отсюда следует, что функция о также принимает свое (положительное) максимальное значение на Цт в некотоРой точке (х',Р), х' Е Е С, 0 < Ь' < Т, причем о(х', С) > и(хо, 1о) > с + ЛХ.
(7) у 6.з. Смешанная зада за для уравнения параболическозо тина 367 Выпишем необходимые условия максимума функции о в точке [х',Р): ди — > О, 8гас1о = О, Ли ( О. Из этих условий, а также из неравенства [7) вытекает, что в этой точке ди р — — Йи[рбгае1и) + уи — Е = д1 до с /р Т вЂ” е'1 = р — — рЬи — [бгае1 р, пгае1и) + уи — г'+ — [ — — у ) > дс 2[Т Т ) )уи+ — — — у =ус 1 — + — >О, что противоречит уравнению [1). Это значит, что неравенство [5) неверно и, следовательно, справедливо противоположное неравенство [4),что и требовалось установить.
Заменяя и на — и и г на — г,из принципа максимума получим Принцип минимума. Если функция и класса Се[С х [О,Т)) й йС[Цт) удовлетворяезв уравнению [1) в Цт и Е > О в Цт, то справедливо неравенство и[х,у) > пни[0, ппп иЯ,т), ш1п иЯ,т)1. (4') оес.~ — о (бя,о:. <т 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения.
Применим принципы максимума и минимума для установления единственности и непрерывной зависимости классического решения смешанной задачи [1) — [3) 1 рода, т. е. когда в граничном условии (3) о = 1 и д = О: и[ = и[х,о), [х,1) б 5 х [О,оо). [31) '"11 = [[о[[с<их[о,т)~ 31 — М[ ж.~ 31о = [[ о[[с(о) рассмотрим функцию М Х[х е) = и[х е) Ро Ро = ппп Р(х) > О. иеО [8) [ТРебование 8гае) и Е С[Цт) длл кРаевых задач 1 Рода излишне; см.
замечание из 3 1.4.) Пусть и[х,о) . - классическое решение задачи (1), (2), (31) и Г б б С[Ц,). Фиксируем Т > О и положим Гл. УХ. Смет)званая задача 368 à — — М вЂ” — М1< О, [х,1) К Цз-, о — — 1< ЛХ„[х,1) ~ 5«[О,Т), Р т) — ЛХ Ро Ро Ро и пользуясь неравенством [4), получим оценку Х < тт)а«[ЛХО~ М))~ т.е. в силу [8) ЛХ и[х,1) < — Т+ша«[ЛХо,М)), [х,Х) Е Цт. Ро Аналогично, вводя функцию ЛХ Х([х,т) = и[х,Е) + — 1 Ро и пользуясь неравенством [4'), получим противоположную оценку ЛХ и[х, Х) > — — Т вЂ” шах [Мо, ЛХ(), [х,1) Е Цт Ро Итак, если и[х, Х) классическое решение задачи [1), [2), [3)) и Р Е С[Ц ), то при лк>бом Т ) О справедлива опенка Т [[и[[с(цт) ч а«[[[тле[[с(О) [[и[[с(з (о,т))] + [[ [[с(ц,). [О) Пользуясь полученной оценкой, докажем сведующую теорему.
Ткоркмл. Классическое решение задачи [1), [2), [3)) единстивенно и непрерывно зависити оп) ио, о и Г в тном смысле, что если К вЂ” л' < е; [[ио — )то[[с(о~ < со [[о — й[[с(з. (о т)) < е), с(цт) [10) тио соответствующие классические решения и[х,Х) и й[х,1) удов- летворяют неравенству Т [[и — и[[с(ц ) < шах [ео, е) ) + — е. Ро [) Функция Х является классическим решением смешанной задачи [1), [2), [3)) с заменой Р и о на Š— -с-ЛХ вЂ” — ЛХХ и о — — 1 соото ЛХ ро ро ра ' ветственно.
Учитывая, что у б.о. Сметанная зада еа дяя ураенения иарабояииееноео тина 369 ДокАзАтильство. Единственность решения вытекает из того, что в силу оценки (9) однородная задача (1), (2), (31) (при ио = О, р = = О, Г = 0) имеет только нулевое классическое решение (см. 3 1. 1, и. 9) . Для доказательства непрерывной зависимости составим разность з1 = и — еь Функция и является классическим решением задачи (1), (2), (31) с заменой Г, ио и и на à — У, ио — йо и и — и соответственно. Применяя неравенство (9) к функции и и пользуясь оценками (10), пояучим оценку (11).
Теорема доказана. 3. Обобщенное рещение. Как и для уравнения гиперболического типа, введем понятие обобщенного решения краевой задачи (1)-(3). Пусть существуют последовательности функций Гя й С(Ц, ),. иьо й С(С) и иь 6 С(д х [О, со)), й = 1, 2,..., такие, что: 1) при й — у оо для лкзбого Т > 0 Гя — у Г в С(Цт), еь — у и в С(Я х [О,Т[), ияо — е ио в С(С); (12) 2) при каждом й = 1,2,... существует классическое решение смешанной задачи диу р = — Лая+ Гь; д1 (1') (2') иь[, о-иьо, диь о ау + д = иь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
