Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(3') дп Предположим, что существует функция и(х, е) непрерывная на цилиндре Ц и такая, что при любом Т > 0 ия — ~ и., й о оо, в С(Цт). (13) Функцию и(х,1) назовем обобщенным решением задачи (1) — (3). Из определения обобщенного решения задачи (1) — (3) следует (ср. 36.2, п.4): всякое классическое решение этой задачи является обобщенным решением ее; для существования обобщенного решения необходимо выполнение условий Г е С(Ц ), ио е С(С), и й С(Я х х [О, со)); обобщенное решение удовлетворяет начальному условию (2); обобщенное решение удовлетворяет уравнению (1) в обобщенном смысле, т.е.
для любой уо Е Ю(Ц„) выполнено интегральное соотношение (14) 24 В. О. Владимиров, В. В. Жврииов Гл. Ъ7. Смеозааиал задача 370 Докажем, что для краевой задачи (1), (2), (31) последовательность (иь) равномерно сходится на любом Цт. Действительно, применяя неравенство (9) к разности иь — ир, при всех Т > О получаем 6иа — иг~~с[цзб ~ Т ~ шахйияо и~4с(ц~ ~~оя — со~~оси ~о,т111+ — ~~Го — ~г~~с<цх> Ро откуда в си |у (12) следует, что последовательность (иа) сходится в себе в С(Цт). Позтому существует функпия и(х,1), непрерывная на П и такая, что последовательность (иь) сходится к и в С(Цт) при любом Т > О (см. ~ 1.1, п.
3). Докажем,. что оценка (9) остается справедливой и для обобщенного решения и(х,1) задачи (1), (2), (Зз). Действительно, пусть ия (х, 1), й = 1, 2,..., - - последовательность классических решений задачи (1), (2), (3~), равномерно сходящаяся к обобщенному решению и(х,~) на любом цилиндре Цт.
Применяя к решениям иь оценку (9), при всех Т > О получаем Т ОМс~ца) ч шах Иньямес(6р ~!иьйс1я ~о,т/])+ ~!Га!~с(ц ) (1о) Ро ди Р— = — Еи, д1 ди и~, о = ио(х), ои+ д — = О. (16) дп В ~ 6.1, п.3 бьыо построено формачьное решение задачи (16) в виде ряда Фурье по собственным функция Хз оператора Тл и(х, ~) = ~ а:е л"Х (х), о, = (ио, Х:)р. (17) 1=1 Учитывая предельные соотношения (12) и (13) и переходя к предеяу в неравенстве (15) при я — > со, убедимся в справедливости оценки (9). Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного решения задачи (1), (2), (31) и его непрерывная зависимость от ио, и и Е в том же смысле, что и в теореме из п.
2. 4. Существование обобщенного решения. Существование обобщенного решения докажем для смешанной задачи (1) — (3) при Е = =Оио=О З 6.3. Смешанная зада ла для уравнения параболического тина 371 ив(х) = ~ ~а Х.(х). о=в (18) Обозначилл через нл и иш частные суммы рядов (17) и (18) соответственно.
Функции нл, й = 1,2,..., являются классическими решениями задачи (16) с заменой ив на ньо, причем ньо — л ио в С(С). Поскольку все Лл больше нуля, то ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (17), мажорируется на Ц равномерно сходящимсл на С рядом ~ауе л"Хз(хЯ < лг з~аоХС(х)~. з=л з=1 Поэтому последовательность (нл) сходитсл равномерно на Ц к обобщенноллу решению и(х, С) задачи (16). Итак, установлена Ткоркма.
Если ио К Мь, то обобщенное решение задачи (16) суилествует и представляется регулярно сходящимся на Ц рядом (17) формальным решением этой задачи. 5. Существование классического решения. Как и в ~ 6.2, п. 7, ограничимся рассмотрением слеешанной задачи с двумя переменными (х, С) в полуполосе Ц, = (0,1) х (О,оо) (19) '4л.=о = но(х), 0 < х < 1, (20) Ьлн — Слоне~;„в = Н1и+ Нзн,,!, ~ — — О, С > 0 (21) (при условиях нз к6.2, п.7). Ткоркмл.
Если ио к Мл, то ряд (17) дает классическое решение н(х, С) задачи (19) — (21), бесконечно дифферениируемое по С при С > О. ПРеДположим, что не К злдсь Докажем, что пРн этом Условии ряд (17), представляющий формальное решение задачи (16), сходится равномерно на Ц и определяет обобщенное решение н(х, С) этой задачи. Действительно, пользуясь теоремой разложения 1 из К 5.1, п.4 (см, замечание),представим функцию ио в виде регулярно сходящегося на С ряда Фурье по собственным функциям оператора Рх Гл. Ъ7.
Смеллланнал задача 372 Докхзлтвльство, По теореме из п.4 и 6 С(лд', ). Далее, пользуясь равномерной сходимостью рядов ~41) и (42) из ~ 6.2 и сходимостью первого ряда (45) из ~ 6.2, как и в ~ 6.2, п. 7, устанавливаем регулярную сходимость рядов й = 1,2; (при любом е > О). При этом нужно учость, что величины Лле равномерно ограничены при у' = 1, 2,..., 1 > и. Теорема доказана. д~и(х,л) дхь д лДх.,л) д1ь ~азе ~"Х~ ~(х), 0<я<1, 1>0, з=л ~а ( — Л.)ье л"Х(х), 0 <х <1, 1) е, Дополнение СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУ НКЦИИ ~ Д.1.
Функции Бесселя Функции Бесселя возникакгт при решении уравнений, связанных с оператором Лапласа д на плоскости, Бги Бги — гЛи(х д) = — — — — = Ли+ 1(г у). — я.г д„г Действительно,в полярных координатах (с, р), у = сзш;р, х = ассар, это уравнение принимает вид 1д / дйЛ 1дгй — — — (с — / — —, = Лй-~- ((ц~р), й(г,уг) = и(асов,р,гзшуг). г Бг (, Бг! гг дуг Если решение й(г) не зависит от гг, то последнее уравнение при ( = О принимает вид и (с) + — и (г) + Ли(с) = О и является частным случаем уравнения Бесселя х и ' ч- хи' + (х — и )и = О. ( 1)ь х г ь -~- г ,У,(х) = ~ ~-' Г(й + и+ 1)Г(к+ 1) (2) (2) Всякое решение уравнения Бесселя, не равное тождество нулю, называется цилиндрической функцией.
1. Определение и простейшие свойства функций Бесселя. Рассмотрим функцию Дополнении. Спсииолоним функции 374 д,(х) = '2 [х ), где г,[~) цечвл функция, [4) Действительно, по признаку Даламбера [2) ряд (4) сходится равномерно на всяком компакте плоскости комплексного переменного ~, и поэтому определяет целую функцию. В частности,,7,(х) однозначная аналитическая функция при н = О., х1,...
и многозначная аналитическая функция при и ~ О, х1,....; в последнем случае мы выделяем ту ветвь ее, где х' > О при х > О. Проверим, что,У,[х) удовлетворяет уравнению [1). Пользуясь соотношением Г(г + 1) = сГ(г), получим х,1о[х) + х3,'[х) — нг,7,(х) = ( — 1)ь[(21 + гг)[2к+ и — 1) + 2к+ и — нг) гх)гаго' Г [го -~- гг + 1) Г[к -г- Ц У2г 1)Я4Ц(й „) 7х,угьь [ 1)Я 7х,гь,— Г[1 + и + 1) Г[1 + 1) У 2 ) ~ Г(й + и) ГЯ ) 2 ) ( )Й яя-~-о ~2-' Г(к + и + 1) Г(й + 1) ~ 2 ) что и утверждалось. Цилиндрическая порядка и. В частности, функция,У,(х) называется функцией Бесселя [ 1), гьг-г, г (2й+1)! 7 ях' ,7г7 [х) = (б) [ — 1)" яь / 2 т = )г — соях.
(21)! ' \/ ях г--гдг[х) = зависящую от параметра н Е ( — оо, оо). Эта функция представима в виде уДД. Функции Бесселя 375 Если а не целое число, то функции 7,(х) и 1;,(х) = 7 (х) линейно независимы, поскольку согласно (2) ,7„(х) = [1+ 0(хз)], х — ~ О, а ф- ~1,~2,... (6) 2"Г(а+ 1) Если же а = и . - целое число, то ,7 н(х) = (-1)" 7„(х), (7) так что функция 7„(х) и 7 и(х) линейно зависимы. Докажем равенство (7). Учитывая. что Г( — и) = оо, й = О, 1,..., из (2) имеем ( 1)ь хзе — и ,7 „(х) =7 ~- Г(й — п+1)Г(1с+1) ~2/ ( 1)п-~-л х зы-и = (-1)",1„(х).
Г(е+ ЦГ(е + и+ 1) ~2/ У „(х) = с х и [ 1 + о ( 1 ) ] и ) 1 х -> О, (8) се !п х[1 + о(1)], п = О., при некоторых постоянных сн ф О. Это утверждение вытекает из формулы Остроградского-Лиувилля (см. [5]) при р(х) = х, 1» (х)а„(х) — уи(х)з' (х) = — ', а„ф О, откуда с Гн(х) ( а, ,7и(х) ) х,7,(х) так что еК н(х) — Юп (х) ~ йп ан / я и® (9) Выбирая хи достаточно малым и пользуясь асимптотикой (6), из (9) получаем (8). Отметим, что если а = п — - целое неотрицательное чипяо, то второе линейно независимое решение У„(х) уравнения Бесселя (1) обладает свойствога Депелненпе. Спеиипльнме еуунниии 376 а.7,(7е) + Ор3„'(р) = О, а > О, ~3 > О, а+ ф > О, (10) то при и > — 1 хЛ (цех)Я„(ргх) е1х = О, 7ег~ ~ еег, о 1 г г 1, г 1Г и) и 2 и хуи(7егх) егх = — [7 (д,)) + — (1 — — у),У1(р~). (11) (12) Доклзлтвльство.
Пусть д ~ и рг -- любые вещественные числа. Функции 7 (п1х) и,у (7егх) удовлетворяют в силу (1) уравнениям — х + д~х — — У,(р,х) =О, 1=1,2. Первое из этих уравнений умножим на 1,(7егх), а второе на У (1г~ х), затем вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем по интер- валу (О, 1). В результате получим / — (*(еле,е л"'и — л(е,е лу'е)~ е*= /1 = 04 — р-,) х~,(ргх)7.(ргх) (х, о или х(1егг (Ргх)Л (Ргх) — РгЛ (ггчх)Х,(1ггх))! ,1 = (, ., '- р',) ~ *.7. (рп, )7. (рг ) 1 . (1З) о Но из (2) при х — е +О имеем (ср.
(6)) и поэтому х1гг'7н(дгх) ~еЬгх) хдгА (еегх) 7нЬгх) = 0(х + ),. т -л -иО. 2. Свойство ортогональности. Если рг и дг -.- вещественные корни уравнения гД.Б Функщги Бесселя 377 Таким образом, в сигу условия гг ) — 1 левая часть равенства (13) обращается в нуль при х = 0 и мы получаем 1 х7~(Ргх)А~(дзх) ггх = я г [1ггА(рг)у (лагг) — дгА~(рг)у (1гя)). (14) Если теперь ггд н рз корни уравнения (10), а о,(Рг) + (г1гг1,'(7гг) = О, о1,(ггг) + юг Л,(ггз) = О, (15) а числа а и Д не равны нулю одновременно, то определитель линейной системы (15) равен нулю: 1.(М а 1.'(р ) = 1гг7 (ггг)7' (рг) — рг Л,(1гз)Л(рг) = О.
А (ггз) 1гз А~,(1гг) Отсюда и из (14) аледует свойство ортогональности (4). Пусть 7гг корень уравнения (10). Переходя в равенстве (14) к пРеДслУ пРи 7гз — > 7гг и пользУЯсь пРавилом Лопитала и УРавнением (1). получим формулу. (12): х7„(дгх) ггх = 1гш г г [ггг й (дз)1~(дг) РгА (ггг)7~(7гг)) о Рг — >ю гг~ — ггг 2 2гг1 — 2 [гр(рг)) — 2,7.(7гг)[7,Ьг) + Р 7. (7гг))— 2рг — -[~.(д)) -~.( ) [1- —;) гг1 3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Справедливы следу ющие реку ррентные соотношения: Действительно, согласно определению (2) ,7,'(х) — У г(х) = ( — 1)" (2й + гг) ( 1)ь ~ х 1зьг.г — 1 [2Г(й+ и+1)Г(й+1) Г(й+гг)Г(й+1)~ (2 г Дополнение. Спечиальные амуниции 378 Р ( «)ь 7х«ты о х ~ Г(й+ и+ 1)Г(Й+ 1) (2/ х и левая формула доказана.
Анавогично проверяется и правая формула. Форлсулы (16) можно переписать в виде [хлд,(х))' = х',Тл ~(х), [х ',7,(х))' = — х' "Л,ь~(х). (17) Отсюда получаем с [х~~д,(х)) = (х«)~х™д,т (х), т = 0,1,... (18) хе«х 7 В частности, из формул (5) и (18) при т, = О, 1, имеем 'м /2 ы„7 ( д" сппх У к «хдх х 2,7а д совх (19) Наконец, вычитая формулы (16) друг из друта, получаем еше одно рекуррентное соотношение: 2о Ул,,(х) — — д,(х) +,7, ь(х) = О. (20) Поэтому, если р корень уравнения (10), то р также ого корень. Если «яз ~ «ь", то, применяя формулу (11) с рь = р, рз = р., получим противоречие: с1 с1 О = / х,«,.(рх)Я,(«Ух) с«х = / х[,7 (рх)[здх. в в 4. Корни функций Бесселя. Докажем следующие свойства корней уравнения (10) при о > — 1.
(При 8 = 0 это уравнение определяет корни функций Бесселя.) Тноггьмл. Корни уравнения (10) при и > — 1 велаественныел простые, кроме, возможно, 0; они симметрично расположены относительно точки 0 и не имеют конечных предельных точек. Доклзлткльство. Вещественность корней. Из формулы (2) в силу вещественности Г(с) при вещественных с получаем дь(х) = = д,(х), так что при вешественных о и,д хД Б Функции Бесселя 379 Поэтому дз = рз, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
