Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Аффинное преобразование, дяя которого уу = =1, 21 и называется экеиаффинным, т.е. сохраняющим площади. Для таких преобразований соотношение (3.36) означает равенство площадей параллелограммов, построенных на векторах М,МЕ и М,МЛ и на векторах М,'Мз и М,'Мз . 4. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости. Простым отношением трех точек А, В и С на прямой В называется число (АВС) = —, (3.37) ВС которое, очевидно, равно отношению, в котором точка В Велит напраеленнГяй отрезок АС. Докажем следующее утверждение: Теорема З.З. Простое отношение трех точек на прямой является инеариантом аффинного преобразования. Иными словами, простое отношение трех точек на прямой не меняется при аффинных преобразованиях.
) Эти векторы неколлииеарны, так как точки М,, М.,'и М,' не лежат на олпой примои. См врелыдущук~ сноску ЛИ24ВИНЬШ ПРВОБРАЗОВАНИЯ $ 21 До к азат е л ь с т в о. Рассмотрим три точки А(х1, у1), В(хм У2) и С(хз, уз) на прямой В. Из формул (!.11) гл. 1 для координат точки, делящей отрезок АС в отношении Л = АВ/ВС, получаем для рассматриваемого случая следующее выражение для Л: Л х2 41 У2 У1 хз х2 уз у2 (3.38) Пусть А '(х,', у,'), В '(х;, у;) и С '(хз', у,') — образы точек А, В и С соответ- ственно при аффинном преобразовании (3.27).
Точка В' делит отрезок А'С' в отношении Л', причем К2 — Х,' х — х. (3.39) Из (3.27) получаем К,,' — Х,'= йп(Х2 — Х,) е й, 1(уа — у1), хз'- хз'- -а и(хз — ха) ч- а,з(уз — уз). (3.40) х,,' — х,'= Л(а„(хз — хз) е а1з(уз — уз)). Подставим теперь в числитель правой части (3.39) найденное выражение для Х2' — х,', а в знаменатель — выражение для хз' — х2'(см. вторую формулу (3.40)). После сокрагцения на аи(хз — х,) + ан(уз-уз) получим Л = Л'. Так как Л = АВ22ВС= (АВС) и Л' = А 'В'/В'С' == (А 'В'С') (см.
(3.37)), то (АВС) = (А'В'С'), т.е, при аффинном преобразовании простое отношение трех точек не меняется. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Простое отношение трех точек называется основным и ивар нантом аффин ного преобразования, так как через него могут быть выражены все другие инварианты аффинного преобразования. 5. Аффинные преобразования пространства. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование, при котором каждая точка М (х, у, г) пространства переходит в точку М', координаты х', у', г' которой определяются формулами Х'= а„Х+ а1зУ+ ацг 4- ам, у = й21Х .~. иззу + йазз 4- йзо з = аз Рх + иззу ч- йзза ч- йз4 (3.41) Из соотношений (3.38) получим, что х2 — х, = Л(хз — хз) и у2 — у, = = Л(у, — уз).
Подставляя найденные значения х, — х, и у2 — у, в первую из формул (3.40), получим 90 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ~ГЛ 3 причем определитель ап аг, ам а„агз а„ аг ам агг считается отличным от нуля: а ~ О. В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства.
1'. Последовапгельное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства. 2'. Тождественное преобразование является аффинным. 3'. Преобразование, обратное данному аффинному, также является аффинным. 4'. Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно. Основное свойство аффинного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффинном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые. Геометрический способ задания аффинных преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффинное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости, и эти образы также не лежат на одной плоскости. Как и в случае плоскости, основным инвариантом аффинного преобразования пространства служит простое отношение трех точек.
6. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование на плоскости х = а| ~х + а12у -Р а13, У а2!х ~ а22У ~ а23 (3.42) называется ортогональным, если выполняются соотношения 2 2 2 2 а ~ г + а 2г - — 1, а 32 + а 22 - — 1, а, ~ а ц + а2 га22 - — О. (343) Из соотношений (3.43) следует, что а= ац а,з ~ О. ам агг Поэтому ортогональное преобразование всегда является аффинным. Докажем основное свойство ортогональных преобразований.
ЛИНКННЬП! ПРВОБРАЗОВАНИЯ $3! Теорема 3.4. При ортогональньгх преобразованиях сохраняются расстояния между точками. До ка за тельство. Пусть точки М!(х!, у,) и М2(х„уз) посредством ортогонального преобразования (3.42) переводятся соответственно в точки М!'(х!', у,') и Мз'1ха', уз'), Требуется доказать, что отрезки М,М2 и М,'М,' имеют равные длины. С помощью формул !3.42) и (3.43) получаем ! М !'М2' ( = 1х2' — х !'1 4-1у2' — у !') = = 1ан (Х2- х,)+ а,2(у2- у!)12+ +1а2!1хз-х!)+а221у2-у!)1 = 2 =(а!! 4-а„) (х2 — х!) +1а!2+ а22) (у2 — у!) 4- 2 2 2 2 2 2 + 2 (а на,2+ ат,а22) (х2 — х,) (у2 — у,) = 2 2 2 = !х2 — х,) + (у2 — у,) = ( М,М2 ~ . Х'= анХ Ч- а!2У+ ацг 4- ам, у ' = аз,х + а22у 4- аззг 4- а24, аз!х ! а32у+ аззг ! а34 !3.44) ') Например.
любой треугольник преобразуется в равныи треугольник !равенство по трем сторонам) 2 ) Нги свойства становятся особенно наглядными, если рассматривать ортогоназюное преобразование как движение. Итак, !М!М2! = ~М;Ма'~. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Так как при ортогональных преобразованиях расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости преобразуется в равную ей фигуру '). Иными словами, ортогональное преобразование на плоскости можно рассматривать как движение этой плоскости. При движении ортогональная система координат переходит в ортогональную систему координат.
Этим можно объяснить термин ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами 2): 1'. Последовательное выполнение двух ортогональньгх преобразований есть ортогональное преобразование. 2'. Тождественное преобразование х'=х, у'=у является ортогональным преобразованием (для этого преобразования соотношения р3.43), очевидно, выполняются). 3'.
Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным. Линейное преобразование в пространстве 92 прковрлзовлнив дкклртовых прямоугольных координгзт ~гл 3 называется ортогональным, если выполняются соотношения 2 2 2 а|з ч- а2, ж аз, — — 1, аыа,г+ агза22 ч- азза32— - О, 2 2 2 й зг -~- й 22 -~- й 32 = 1, й|га ~ 3 + й22й23 -~- йзгйзз = О, 2 2 2 ам+ ага+ азз — — 1, аща„+ а,заря + азза„=О.
(3.45) Ортогональное преобразование является аффинным, Справедливо следующее основное свойство ортогональных преобразований: при таких преобразованиях сохраняются расстояния между точками. Доказательство может быть проведено в полной аналогии с доказательством теоремы 3.4. Ортогональные преобразования в пространстве обладают следующими свойствами. 1'. Последовательное выполнение ортогональньт преобразований является ортогональным преобразованием. 2'.
Тождественное преобразование х' = х, у ' = у, г' = г — ортогональное преобразование. 3'. Преобразование, обратное ортогональному, также ортогональное. ф 4. Проективные преобразования Проективными преобразованиями на плоскости называются преобразования вида апх+а,ау+а|в, аг,х+аму+агз х'=, у'= 3! з тгзгу зз аззх ч иззу и азз (3.46) коэффициенты ау которых удовлетворяют условию ) ап а„а,з аг, агг агз ~ О. аз, а за азз При проективном преобразовании (3.46) плоскости особую роль играет прямая Е, определяемая уравнением аззх+ азау+ азз = О. ) Геометрически зто условие означает, что три прямые апх+а,ау+а,з — — О, онх+аз у+ам — — Оиамх+ а ту+ам — — вне пересекаются волноиточке(скт и. 54 2 ел 3) Для точек этой прямой знаменатели в выражениях для х ' и у ' (см. (3.46)) обращаются в нуль, и поэтому преобразование (3.46) не определено для точек этой прямой.
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВА!1ИЯ 3 4! Отметим, что проективное преобразование инвариантно относительно выбора декартовой системы координат, так как формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой линейны и поэтому при переходе к новой системе координат вид преобразований (ЗАб) не меняется. Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проективных преобразований является проективным преобразованием, тождественное преобразование и преобразование, обратное проективному, — также проективные преобразования.
При проективных преобразованиях точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Основным инвариантом проективиого преобразования является так называемое сложное (ангармоническое) отношение (АВСР) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой, которое определяется как частное двух простых отношении: (АВСР) = (АСВ): (АРВ). Инвариантность сложного отношения (АВСР) четырех точек прямой может быть обоснована так же, как и инвариантность простого отношения при аффинных преобразованиях. Проектиеньзми преобразованиями в пространстве называются преобразования вида анх + а„У 4- амг М аы х' = а41х 1 а42У 1 а433 1 а44 а„х+аз У+а зг+а 4 у амх+ а42у+ аззг+ а44 31 4 32У Ззг 34 г' = а41Х 1 а42У а432 4 а44 для которых четыре плоскости а„х+ а„у+ ашг+ аы — — О, а21Х + иззу -~- аззг -~- а24 — О, аз1Х+ иззу+ а313г+ азз= () азгх+ а42У+ аззг+ а44 — О не пересекаются в одной точке. Отметим, что проективное преобразование в пространстве не определено для точек плоскости, определяемой уравнением аз,х + а42У+ аз;за + а44 — — О.
94 ПРЕОВРЛЗОВЛНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ~ГЛ 3 Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проективных преобразований, тождественное преобразование и преобразование, обратное проективному, — также проективные преобразования. При проективных преобразованиях точки, лежащие в одной плоскости, переходят в точки, также лежащие в одной плоскости, а точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой. Основным инвариантом проективного преобразования в пространстве является сложное отношение (АВСР) = (АСВ): ГАРВ) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
