Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На рис. 4.3 сплошной линией изображена часть спирали Архимеда для случая а > О, а штриховой линией — часть спирали Архимеда для случая а < О ). Уравнение 14 9) спирали Архимеда в полярной системе координат отличается чрезвычаиной простотои. Для того чтобы читатель убедился, насколько сложно выглядит уравнение той же спирали Архимеда в декартовои прямоугольнон системе, приведем зто уравнение для случая и > О Имея в виду, что агс1д — + 2ял при х > О, у р=т)х еуз.
агс1я — «-к-ь2кл при х< О, е х л — зяпу . 2ял ври х=о, 2 где л = О, а1, Ь2, ..., мы получим, что для случая а > О спираль Архимеда определяется сле- дующен бесконе пюй системой уравнений О«оь«ер л принимает значения О, «К Е2, ...). х еу =а~агс1д— у х х е у = о(агс1д— у х гл ~у~ =а~ — зяпу ~2 е тял) при х > О, е и е'2пл) при х < О, е 2ял) при х = О ) Конечно, при неограниченном изменении угла Зг ге случае а > О в поаожительпуго, а в случае о < О в отрицательную сторону) как сплошная, так и шз риховая спирали оудут иметь бесчисленно много завитков, не изображенных на рис 4.3.
Использование для определения некоторых линий недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение линии имеет при этом более простой вид. П р и м е р. Предположим, что ось и вращается гпротив часовой стрелки) вокруг неподвижной точки О и по этой вращающейся оси движется точка М так, что длина р вектора ОМ пропорциональ- и на углу гр поворота оси и, отсчитываемому от некоторой неподвижной оси Ох грис. 4,3). Линия, описываемая точкой М, называется спиралью Архимеда. Если ввести полярную систему координат, поместив полюс в точку О н направив полярную ось вдоль оси Ох, то по самому определению спирали Архиме- Рис 4.3 да ее уравнение имеет вид урдвнн1ия повврхпости и линии 100 ~гл 4 4.
Два типа задач, связанных с аналитическим представлением линии. В связи с аналитическим представлением линии возникают задачи двух т и по в. Задачи первого типа заключаются в изучении свойств линии при помощи заранее данного уравнения атой линии. Такое изучение проводится средствами математического анализа и выходит за рамки аналитической геометрии. В самом деле, уравнение линии устанавливает функциональную зависимость между координатами точек этой линии и задача первого типа, по существу, представляет собой геометрическое исследование графика функции (см. гл.
9 вып. 1). Задачи второго типа заключаются в выводе уравнения линии, заранее заданной геометрически (иапример, линии, заданной как геометрическое место точек, удовлетворяющих некоторым условиям). Примерами задач второго типа могут служить все рассмотренные в пп. 1-3 задачи (вывод уравнения окружности, циклоиды и спирали Архимеда). 5. Классификация плоских линий. Исходя из аналитического представления линий относительно декартовых прямоугольных систем координат, устанавливают следующую классификацию плоских линий. Определение 1. Линия наэьгвается а л г е б р а и ч е с к о й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координагп она определяется уравнением (4.1) Ф(х, у) =О, в котором функция Ф (х, у) представляет собой алгебраический полинам ). Определение 2.
Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной. Определение д. Алгебраическая линия называется л и н и е й и ар я д к а и, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (4.1), в котором функция Ф(х, у) представляет собой а ггебраический полипом и-й степени. Иными словами, линиеи п-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени и с двумя неизвестными.
Для установления корректности определений 1, 2 и 3 необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.1. Если линия в некоторои декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольнои системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени и. ) то есть сумму конечного числа слагаемых вида амх у, где л и l — целые неотринательные числа. ан — некоторые постоянные. )О! УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ Дока за тел ь ство. Предположим, что линия 1. в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Ф(х, у) =О, (4.1) левая часть которого представляет собой алгебраический полинам степени п, т.е.
сумму слагаемых вида амх у, где )г и 1 — целые неотрицательные числа, причем наибольшее значение суммы )а+1 равно п, аы — некоторые постоянные, причем хотя бы для одной пары )е и 1, составляюгцих в сумме п, постоянная ан отлична от нуля. Возьмем на той же плоскости любую новую декартову прямоугольную систему координат О'х'у'.
Тогда, как доказано в ~ 1 гл. 3, для координат любой точки в старой и новой системах справедливы формулы преобразования (3.7). Чтобы получить уравнение линии Е в новой системе О'х 'у ', достаточно подставить в левую часть (4.1) на место х и у их значения, определяемые формулами (3.7).
Мы получим при этом сумму слагаемых вида ан (аз-гх!!х'+аз!у') (6+а!2х'+аззу') . ° а ! Отсюда ясно, что уравнение линии Е в новой системе О'х'у' будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не ватаге, чем и. Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы Оху и О'х'у', то мы убедимся в том, что указанное алгебраическое уравнение (в системе О'х'у') имеет степень не ниже чем и (иначе переход от О'х'у' к Оху повысил бы степень уравнения). Таким образом, линия Е определяется в новой системе О'х'у' алгебраическим уравнением степени, равной и.
Теорема 4.1 доказана. Примером а л г е б р а и ч е с к о й линии второго порядка может служить окружность, уравнение (4.3) которой в некоторой декартовой прямоугольной системе является алгебраическим уравнением второй степени. Примером т р а н с ц е н д е н т н о й линии может служить спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе не является алгебраическим (см. и.
3). 3 а м е ~ а н и е. Будем называть алгебраическую линию ). Росподагоп)ейгя, если алгебранческии полином Ф(х, у) степени п > 2, стоягдии в левон части уравнения атон линии, распадается на произведение ФРМю у) Фз(х, у) двух алгебраических полиномов Ф,(х, у) и Фз(х. у) степеней й > ! и л — Д > ! соответственно. Из равенства Ф(х, у) = Ф,(х, у) Фз(х, у) очевидно. что координаты х и у точки А( удовлетворяют уравнению Ф(х, у) = О тогда и только тогда, когда зги координаты удовлетворяют хотя бы одному из уравнении Ф,(х, р) = О или Фз(х, у) = О. Это означает, что линия Г., определяемав уравнением Ф(х, д) =О, распадается на две линии линию Еь определяемую уравнением Ф,,(х, у) = О, и линию Е„определяемую уравнением Фз(х, у) = О уРАВнш1ия ИОВВРхпости и линии Так, линия четвертого порядка, определяемая уравнением 102 !ГЛ 4 х« -л у' 4 2хзр — 5х' — 5у ' -л 4 = (хз+ у ' — 1) (хз е у 2 — 4) = О, распадается падве окружности, определяемые уравнениями х + уз — 1 = О и х + у — 4 = О Линия четвертого порядка, опрелеляел«ая уравнением х" + р«-л 2хтуа — 2хз — 2У 4 1 =(ха-л рз — 1)2 =0, распадается на две «слившиесял окружности, определяемые уравнением второго порядка х + р — 1 = О.
В отношении этой последней лиани следует договориться, какое из 2 чисел 2 или 4 мы будем понимать под ее порядком, Ф,(х, у) = О, Ф2(х, у) = О. (4. 10) Каждое решение системы (4.10) определяет точку пересечения линий Е1 и Е2 Если система (4.10) не имеет решений, то линии Е! и Ез не пересекаются. Так, для нахождения точек пересечения двух окружностей, определяемых уравнениями х + у = 1 и (х — ! ) + у = 2, решаем систему урав- 2 2 2 2 пений х24-уз — 1=0, (х — 1) + у 2 — 2 = О. (4.
11) Вычитая из первого уравнения (4.11) второе, получим 2х = О, откуда х = О. Вставляя это значение х в первое уравнение, найдем, что у = 4-1. Получаем две точки пересечения М,(0, 1) и Мэ(0, — 1) (рис. 4.4). Можно доказать, что если (ч и Аз — две нераспадаюшиеся алгебраические линии порядков т и и соответственно и если одна из этих линии не содержится леликом ад!«угон, то эти линии имеют не более чем т л точек пересечения (см любои курс высшеи алгебры). Рис 44 ф 2. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве 1.
Понятие об уравнении поверхности. Предположим, что нам заданы: 1) декартова прямоугольная система координат Охуг в простран- 6. О пересечении двух линий. Важную роль в аналитической геометрии играет задача о нахождении точек пересечения двух произвольных линий Е! и Е2, определяемых уравнениями Ф1(х, у) = 0 и Фз(х, у) = 0 соответственно. Так как искомые точки пересечения в случае, если они существуют, должны одновременно лежать как на линии Лл, так и на линии Ез, то координаты этих точек должны удовлетворять каждому из уравнений Ф,(х, у) = 0 и Фз(х, у) = О. Таким образом, для нахождения координат всех точек пересечения следует решить систему уравнений )оз УРЛВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ стве и 2) некоторая поверхность 5. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее три переменные величины х, у и г: (4.
12) Ф (х, у, г) = О. Определение. Уравнении(4.12) называется у р а в н е н и ем и ое е р х н о с т и 5 (относитеогьно заданной системам координат), если этому уравнению удовлетворяют координатгя х, у и г любой точки, лежащей на поверхности 5, и не удовлетворяют координат«я х, у и г ни одной точки, не лежащей на поверхности 5. С точки зрения этого определения сама поверхность 5 представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (4.12).
Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение (4.12) является уравнением поверхности 5, то мы будем говорить, что это уравнение определяет поверхность 5. Конечно, не всякое уравнение с тремя переменными вида (4.12) определяет геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о поверхности (и вообще определяет реальный геометрический образ: рассмотрите уравнение х'+ у а+ га+ 1 = 0). Чтобы уравнение вида (4.! 2) определяло геометрический образ, отвечающий нашему представлению о поверхности, следует, вообще говоря, подчинить функцию Ф(х, у, г) некоторым ограничениям (например, требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (4.!2) относительно одной из переменных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
