Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Эти ограничения выясняются в курсе математического анализа (см. вып. 1, гл. 15, Э 2). Аналогично определяется уравнение поверхности 5 в любой другой (не обязательно декартовой прямоугольной) системе координат. Если (4.12) представляет собой уравнение поверхности 5 в декартовой прямоугольной системе координат Охуг, то, чтобы получить уравнение той же поверхности 5 относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в (4.12) на место х, у и г их выражение через новые координаты.
Использование для определения некоторых поверхностей недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение поверхности имеет при этом более простой вид. ,Легко убедиться в том, что в декартовой прямоугольной системе Охуг уравнение сферы радиуса тт > 0 с центром в точке Мо(а, Ь, с) имеет вид ) (х — а) +(у — Ь) -«(г — с) =Й . (4.1 3) В самом деле, точка М(х, у, г) лежит на указанной сфере тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками М(х, у, г) и Мо(а, Ь, с) (х — а) -« (у — Ь) -«(г — с) ) Эта сфера определяется как геометрическое место точек М (х, у, а), расстояние каждои иа которых от точки Мо(а, Ь, с) равно )с уРАвищ1ия поввРхпюсти и линии 104 1гл 4 равен й . В случае, когда центром Мь сферы служит начало координат (т.е.
а =О, Ь=О, с=О), уравнение (4.!3) принимает более простой вид: хз+ у 2 ч- г = )г' . (4.14) Если ввести сферические координаты г, 6, д, связанные с декартовыми координатами так, как указано в п. 3 3 4 гл. 1, то уравнение сферы радиуса 1к с центром в начале координат принимает вид г = )с. Это последнее уравнение, сразу вытекающее из геометрического определения сферы, может быть получено и посредством подстановки в (4.14) на место х, у и г их выражений через сферические координаты.
2. Уравнения линии в пространстве. Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т.е, как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях Если Ф,(х, у, г) = 0 и Фз(х, у, г) = 0 суть уравнения двух поверхностей, пересечением которых является данная линия А, то: 1) координаты любой точки, лежа|цей на линии Ь, удовлетворяют обоим указанным уравнениям; 2) обоим указанным уравнениям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежа1цей на линии Ь. Таким образом, два уравнения Ф,(х, у, г) = О, Ф2(х, у, г) = 0 (4.1 5) совместно определяют линию 1'., т.е. являются уравнениями этой линии. Разумеется, данную линию Л можно представить двумя уравнениями бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии Л. Аналитически это означает, что вместо системы (4.15) можно взять любую эквивалентную систему.
Например, уравнения двух сфер х жу2+г2=1, хзч-узж(г — 3)2=10 совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность радиусом, равным единице, с центром в начале координат. Ту же самую окружность можно определить и двумя уравнениями: à — — — 12 х'+у'+г'=1, х2+у2+(г-УЙ2-1) =Р2, во втором из которых в качестве )г можно взять любое вещественное число, превосходящее единицу. 3. Цилиндрические и конические поверхности.
Предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Охуг. Определение 1. Поверхность 3 назь1вается пил и н д р и ч вскойй поверхностью собразующей,параллельноиосиОг,если !об УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверхности точка Мо!хо, уо, го), прямая линия, проходящая через эту точку и параллельная оси Ог, целиком лежит на поверхности 5.
Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности 5 прямую называют образующей этой поверхности. Совершенно аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Ох или Оу. Определение 2. Поверхность 5 называется кони чее к ой с вершиной в начале координат О, если она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежаи)ая на этой поверхности и отличная от начала координат точка Мо!хо, у„, го), пря.иая линия, проходящая через точку Мо и через начало координат О, целиком лежит на поверхности 5. Постараемся выяснить, какими уравнениями определяются цилиндрические и конические поверхности. Ради определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Ог. Докажем, что всякое уравнение вида !4.16) с !х, у)=0, связывающее две переменные х и у и не содержащее г, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Ог.
Пусть Мо!х„, уо, го) — любая точка, лежащая на поверхности 5, определяемой уравнением !4.!6). Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (4.!6), т.е. справедливо равенство !4.17) с 1хо уо) =О. Достаточно доказать, что любая точка М прямой, проходящей через Мо и параллельной оси Ог, также лежит на поверхности 5, т.е. имеет координаты, удовлетворяющие уравнению !4.16). Какова бы ни была точка М прямой, проходящей через Мо!хо, уо, го) и параллельной оси Ог, ее абсцисса и ордината те же, что и у точки М„, т.е. равны соответственно хо и уо, а аппликата г имеет какое угодно значение.
Но в уравнение 14.16) входят только абсцисса и ордината, а они в силу равенства 14.17) удовлетворяют этому уравнению. Тем самым доказано, что 5 — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ог. Заметим, что на координатной плоскости Оху уравнения 14.16) определяет плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности. В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями: с!х, у)=О, г=О, УРАВНЩ1ИЯ ПОВЕРХ1ЮС1И И ЛИНИИ 106 1гл 4 первое из которых определяет рассматриваемую цилиндрическую поверхность, а второе — координатную плоскость Оху ). 1 В качестве примера приведем уравнение х 4-уз = г г, определяющее круглый цилиндр с образующей. параллельной оси Ог, и с направляюгцей, представляющей собой лежащую в плоскости Оху окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Перейдем к выяснению вида уравнения конической поверхности. Напомним, что определенная для любых значений аргументов функция Е(х, у, г) называется однородной функцией (степени п), если, каково бы ни было вещественное число )г, справедливо равенство (4.18) Е(/гх, ггу, ггг) = гг'Е(х, у, г). Докажем, что уривнение Р(х, у, г)=0, (4.1 9) в котором Р(х, у, г) является однородной функцией любой степени п, определяет коническую поверхность. Пусть М„(хо, уо, г„) — любая отличная от начала координат точка, лежащая на поверхности 5, определяемой уравнением (4.19).
Тогда справедливо равенство (4.20) Е (хо, уо, го) = О. Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка М(х, у, г), лежащая на прямой, проходящей через точку Мо(хо, уо, го) и через начало координат О, координаты х, у и г этой точки удовлетворяют уравнению (4.19). Так как векторы ОМ и ОМО коллинеарны (как лежащие на одной прямой) и вектор ОМО является ненулевым, найдется (в силу теоремы 2.1) вещественное число гг такое, что ОМ = )г ОМО . На основании линейных свойств координат вектора (см. и. 8 8 1 гл.
2) можно утверждать, что координаты вектора ОМ равны соответствующим координатам вектора ОМ„, умноженным на число )г, т.е, у = )губ г = )гго- х = )гх„, Из последних равенств и из того, что р (х, у, г) (как однородная функция некоторой степени п) удовлетворяет соотношению (4.18), получим г(х У г) =с(ухо )гуо )гго) =гг г (хо Уо го) а отсюда в силу равенства (4.20) окончательно будем иметь Е (х, у, г) = О. Доказательство того, что поверхность 5, определяемая уравнением (4.19) с однородной функцией Е(х, у, г), является конической, завершено. ) Ибо уравнению а = 0 удовлетворяют координаты тобои точки, тежагиеи на плоскости Охло и не УдовлетвоРЯю~ кооРдннаты нн однои точки, не лежащеи на атон плоскости !о? УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической поверхности, называются ее образуюи(ими и что все образующие (как это видно из проведенного доказательства) проходят через начало координат О.
Простейшим примером конической поверхности может служить круглый конус, определяемый уравнением х + у з — гз = О. Эта поверхность исследуется в п. 4 ~ 3 гл.?. Функция Р(х, у, г) = = ха + у а — г', задающая ее уравнение, является однородной функцией второго порядка. 4. Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве. В и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
