Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(3.13) 9 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве 1. Общие формулы преобразования. Пусть в пространстве заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом О и базисными векторами г) К и в т ар а я, определяемая началом 0' и базисными векторами 1')Ъ'. Поставим перед собой цель — выразить координаты х, у и г произвольной точки М относительно первой системы через координаты х ', у ' и з' атой же точки М относительно второй системы.
') Так как определитель системы (3 9) равен единице, то ату систему можно разрешить относительно х' и у . Общее преобразование координат (3.9) распадается на сумму двух преобразований, одно из которых отвечает только параллельному переносу системы, а другое — только повороту системы вокруг начала на угол гр. В самом деле, полагая в формулах (3.9) угол поворота гр равным нулю, получим формулы преобразования координат при параллельном переносе системьг вдоль вектора 00' =(а, Ь): ЯО пРеОБРАЗОВАнне декАРтовых пРямОуГОльных кООРдинят ~гл 3 Заметим, что координаты х, у, г совпадают с координатами вектора ОМ в разложении его по базису 1!к, и координаты х ', у ', г ' совпадают с координатами вектора 0'М в разложении его по базису!'1Ъ', т.е.
ОМ=х! ж у)ч-гК 0'М = х 'г ' ж у '1 ' + г Ъ '. (3.1 4) (3.15) Если обозначить через а, Ь и с координаты начала 0' второй системы относительно первой системы, то 00' = агж Ь)ч-с1г. (3.1 6) 1' = ан1+ а,з)+ гх1зК 1' = аю)ч- Паз)ч- гхзз!г, )г = гхз1! -~- гхзз) ж гхзз(с. (3.1 7) В силу правила треугольника сложения векторов ОМ = 00' ж 0'М.
(3.18) Вставляя в правую часть (3.15) значения 1', 1' и !г', определяемые формулами (3.17), и после этого подставляя в (3.18) значения ОМ, 0'М и 00', определяемые формулами (3.14), (3.15) и (3.16), и группируя слагаемые относительно 1, 1 и К получим х1+У)+г1г=(ач гхнх +сга(У +гхз1г ) !+ +(Ь+гхых +ОазУ +'хзгг )1+(с+очах +сгззу +гхззг )" (319) В силу единственности разложения вектора по базису из равенства (3.!9) получим искомые формулы преобразования координат: Х = а ж ГХПХ'+ аюУ'+ анг', У=Ь+и, х' - У'+гхз г = С + СГ!зх .~' ГХХЗУ + Гхззг Итак, доказано следующее фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные декартовы прямоугольные системы коордннат, координатьг х, у и г любой точки пространства отиосительно первой системы являются линейными функциями координат х', у' и г' той же точки относительно второй системы.
Умножая каждое из равенств (3.17) скалярно сначала на 1, а затем на 1 и на К полУчим следУющие выРажениЯ длЯ чисел а,м: ан=соз(х!), аы— - соз(!!), а,з- — соз(!)г), Оа,— — соз(!!), Егза— - соз(и), ааз — — соз(!!Г), Ом = соз ( !г г ), О!зз = соз ( !г 1), гхзз = соз ( !г !г ). Так как любой вектор можно разложить по базису 11(г, то найдутся девять чисел а, (1 = 1, 2, 3; т = 1, 2, 3) таких, что ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНЕТВЕ 81 8 з1 2.
Выяснение геометрического смысла. Углы Эйлера. Уясним геометрический смысл формул преобразования (3.20). Для вычисления чисел аг и их геометрического значения предположим, что первая и вторая системы имеют г' 0 общее начало (т.е. а =() = с =О). Ради определенности будем считать, что обе системы Охуг и Ох'у'г' являются п р а в ы м и., У Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующие расположение осей второй системы относительно первой.
Обозначим через и ось, и совпадающую с линией пересечения координатРис 3 3 ной плоскости Оху первой системы с координатной плоскостью Ох'у' второй системы и направленную так, что три направления Ог, Ог' и и образуют правую тройку рис. 3.3). Пусть теперь тр — угол между осями Ох и и, отсчитываемый в плоскости Оху от оси Ох в направлении кратчайшего поворота от Ох к Оу, 0 — не превосходящий я угол между осями Ог и Ог' и, наконец, тр— угол между осями и и Ох, отсчитываемый в плоскости Ох'у' от оси и в направлении кратчайшего поворота от Ох' к Оу'.
Три угла ср, тр и 0 называются углами Эйлера ). Очевидно, по трем углам Эйлера и по направлениям осей Ох, Оу и Ог однозначно определяются направления осеи Ох', Оу' и Ог'. Если заданы три угла Эйлера, то преобразование первой системы Охуг во вторую систему Ох'у'г' можно представить в виде последовательного проведения следуютцих трех поворотов: )) поворота системы Охуг на угол тр вокруг оси Ог, переводящего эту систему в систему Ох,у,г,(рис. 3.4); 2) поворота системы Ох,у,г, на угол 0 вокруг оси Охн переводящего эту систему в систему Охгуггг (рис. 3.5); 3) поворота системы Охауагз на угол тр вокруг оси Огг = Ог', переводящего эту систему в систему Ох'у'г' (рис. 3.6).
Уг хг ,(хг) Рис. 3Л Рис 3.6 Каждый из указанных трех поворотов производится в одной из координатногх плоскостей соответствующей системы. Поэтому для ') Леонард Эйлер (1707 — 178:1) — великии математик, член Петсрбургскои Академии наук, большую гасть жизни провел в России, по происхождению швеипареп. 82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ !ГЛ 3 х = х1 сов 1р — у, 5!и зр, у =х, яп1р + у, со51р, г = гб (3.21) 2) для второго поворота х, =хм у, =уесо59 — гзз)пО, г, =у,з!ПО ч- гзсо59; (3.22) 3) для третьего поворота хз — -х'со51р — у'5!ПГр, уз -— х'5!ПГр+ у'со51р, гз — -г'. (3.23) Внося (3.23) в (3.22), а затем (3.22) в (3.2!), получим х=(х'со51р — у'япГр)со51р— — ((х'51пгр+у'со51р) со59 — г'5(пО) яп1р, у = (х ' сов 1р — у ' яп Гр) яп 1р ч- ч-((х'51псрч-у'со51р)со50 — г'япО) созтр, (3 24) г =(х'япГр+ у'созгр) 5(пО+ г'со59.
Сравнивая формулы (3.24) с формулами (3.20) (при а = б = = с = О), окончательно получим выражения для чисел 1х1 через углы Эйлера: 1х„=со51усозГР— 5!Н1РСО50 51пф, 1Х15 = 51П 1р С05 Гр + С05 1р С05 0 51П Гр, ГХ11 = 51П О 51П Гр, 1хз1 — — — соз 1р 5(п Гр — 5!и т!Г соз 0 соз Гр, 1хзз = — 51пзу 51п ГР+ сов 1Р с059 соз ГР, сх„ = 5!и О ° р, 1Х51 = 51ПТр 51П О, 1хзз = — соз 111 51п О, СГзз = с 05 О.
(3.25) Для вывода формул (3.25) мы использовали допущение, что обе системы имеют общее начало. Разумеется, отказ от этого допущения не изменит вида формул (3.25), ибо ни направление осей координат, ни величина углов Эйлера не зависят от того, где выбрано начало первой и второй систем. Самое оби(ее преобразование координат представляет собой суперпозицию (последовательное проведение) параллельного перено- соответствующих координат при каждом таком повороте будут справедливы формулы вида (3.13) (см.
3 1). Это позволяет написать следующие формулы: 1) для первого поворота линниньп! Пязозялзовю!ия 1 з1 (гх„— 1) х '+ пюу '+ пз,г' = 0, и, х' -(и — 1)у'+ст %1зх + о азу + («зз 1) г = 0. (3.26) С помощью формул (3.25) можно показать, что определитель этой системы равен нулю. Стало быть, в силу п. 8 Дополнения к гл. 1 система (3.26) имеет нетривиальные решения, ко~орые определяют совокупность коллинеарных векторов О'М', лежащих на оси вращения.
Одним из таких векторов будет вектор О'Мо — — (х', у', 1), координаты х' и у' которого определяются из первых двух уравнений (3.26) при г'=1. й 3. Линейные преобразования 1. Понятие линейных преобразований плоскости. гуинейным преобразованием плоскости я называется преобразование, при котором каждая точка М (х, у) этой плоскости переходит в точку М', координаты х', у ' которой определяются формулами х'= а„х ж ащу е пня у'= ащх+ аязу+ агн (3.27) са и трех производимых в соответствуюи(их координатных плоскостях поворотов и определяется фор,кулами (3.20), в которых (при условии, что обе системы являются правыми) числа а, вьгражаются через углы Эйлера по формулам (3.25).
Формулы, аналогичные (3.25), могут быть получены и для случая, когда системы Охуг и О'х'у'г' либо обе являются левыми, либо имеют разную ориентацию. 3 а м е ч а н и е. Если Охуг и О'х'у'г' — две произвольные правые декартовы прямоугольные системы в пространстве, то первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса, совмещаюгцего их начала, и о д н о г о поворота вокруг некоторой оси в пространстве.
Для нахождения указанной оси, во-первых, учтем, что она проходит через общее начало О' совмещенных посредством параллельного переноса систем (ибо это начало остается неподвижным при повороте), и, во-вторых, заметим, что если О'М' — произвольный вектор, лежащий на искомой оси вращения, то координаты точки М' не изменяются при повороте. Отсюда вытекает, что для нахождения координат х', у' и г' точки М' в системе О'х'у'г' следует в системе (3.20) (взятой при а = Ь = с = О) положить х = х', у = у', г = г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
