Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе рассматривается один из важнейших вопросов аналитическая' геометрии — вопрос об аналитическом представлении линии на плоскости и поверхности и линии в п)зостранстве при помощи уравнений, связывающих их координаты ). Обсуждаются простейшие задачи, связанные с таким аналитическим представлением, и приводится классификация плоских линий и поверхностей.
Доказывается, что порядок алгебраической линии (и соответственно поверхности) не зависит от выбора декартовой прямоугольной системы. ф 1. Уравнение линии на плоскости 1. Понятие об уравнении линии. Предположим, что на плоскости и нам заданы: 1) декартова прямоугольная система координат Оху и 2) некоторая линия т'.. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины х и у ) Ф(х, у) = О.
(4.1) Определение. Уравнение(4.1) называется ура в н ен и ем л ин и и г'. (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежа- и(ей на линии ь, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии 1.. С точки зрения этого определения сама линия й представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удав.гетворяют уравнению (4.1) Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение вида (4.1) является уравнением линии 1., то мы будем говорить, что это уравнение определяет линию ь.
) По поводу самого понятия линии (или соответственно поверхности) отсылаем читателя к гл, 11 вып, 1 настоящего курса ) Равенство Ф(х, д) = О, где Ф(х, у) — заданная функния двух переменных х и у, называется уравнением, если зто равенство справедливо не для всех пар вещественных чисел х, у. Равенство Ф(х, у) = О, справелливое для всех пар вещественных чисел х, у, называется тождеством.
уРдвнш1ия новеРхности и линии 1гл 4 3 а м е ч а н и е. Нетрудно указать такое уравнение вида (4.1), которое либо определяет геометрический образ, отличный от того, что мы привыкли понимать под термином «линия», либо вообще не определяет никакого геометрического образа. Так, уравнение хз+ у = 0 определяет на плоскости Оху лишь одну точку (0,0), а уравнение хз+ уз+ 1 = 0 вообще не определяет никакого геометрического образа. Для того чтобы уравнение вида (4.1) определяло геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о линии, следует, вообще говоря, подчинить функцию Ф(х, у) некоторым ограничениям (например требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (4.1) относительно одной из переменных).
Эти ограничения выясняются в курсе математического анализа (см. вып. 1, гл. 15, Э 2, п. 3). П р и м е р. Убедимся в том, что уравнение (х — а) +(у — Ь) =г (4.2) является уравнением окружности радиуса г > 0 с центром в точке Мо(а, Ь). В самом деле, точка М(х, у) лежит на указанной окружности тогда и только тогда, когда расстояние между точками М (х, у) и Мо(а, Ь) равно г, т.е. тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между указанными точками (х — а) + (у — Ь) равен г . Таким образом, координа- 2 2 2 ты любой точки М(х, у), лежащей на указанной окружности, удовлетворяют уравнению (4.2), а координаты любой точки, не лежащей на указанной окружности, не удовлетворяют уравнению (4.2). Уравнение окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат имеет более простой вид, а именно х2+у2= .2 2.
Параметрическое представление линии. Для аналитического представления линии ь часто бывает удобно выражать переменные координаты х и у точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (или параметра) (: (4.4) х=ср(О, у=т)г(1), где функции тр(Г) и т)г(() предполагаются непрерывными по параметру ( (в некоторой области (() изменения этого параметра). Исключение из двух уравнений (4.4) параметра ( приводит к рассмотренному выше уравнению вида (4.1) '). Параметрическое представление линии на плоскости естественно возникает, если эту линию рассматривать как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. В самом деле, если переменная ( представляет собой время, отсчитывае) Такое искяючение заведомо возможно.
если котя бы одна из функции з = фа) изи у = дг(1) имеет обратную 1достато ~ныс условия ддя этого см в и 4 Г) 2 гз 15 выи. 1) УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ мое от некоторого начального момента, то задание закона движения и представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=ср(!) ну=~у!!) времени С П р и м е р ы. 1) Установим параметрические уравнения окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат. Пусть М (х, у) — любая точка этой окружности, а à — угол между радиусом-вектором ОМ и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки (рис. 4.1). Очевидно, что !4.5) х=гсоз С д=гз!п С Уравнения (4.5) и представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности.
Параметр ! может принимать любые значения, но для того чтобы точка М !х, у) один раз обошла окружность, следует ограничить область изменения параметра полусегментом 0 < ! < 2к. Заметим, что для исключения параметра ! из уравнений (4.5) достаточно возвести в квадрат и сложить эти уравнения;мы получим при этом уравнение !4.3) предыдушего пункта. 2) Установим параметрические уравнения так называемой циклоиды, которая определяется как путь, описываемый одной из точек М окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Примем за ось Ох декартовой прямоугольной системы ту прямую, по которой катится окружность, за начало координат — одну из точек, в которых точка М катящейся окружности выходит на указанную прямую, и направим ось Оу так, чтобы ее положительная полуось лежала по ту же сторону от Ох, что и катящаяся окружность (рис.
4.2). Рис 4.2 Рис 4! Фиксируем произвольное положение катящейся окружности и обозначим для этого положения буквой С центр, а буквой А точку касания с осью Ок. Примем за параметр ! угол, на который повернулась катяшаяся окружность при перемещении из положения с точкой касания в начале координат О в положение с данной точкой касания А.
Так как качение происходит без скольжения, то ОА = )сц где )с — радиус окружности. В силу того, что декартовы прямоугольные координаты х и у точки М равны проекциям вектора ОМ на оси координат (см. п. 9 ф 1 гл. 2), и в уРАВню1ия НОВВРхпости и линии 1гл 4 силу линейного свойства проекции вектора на ось 1см. п. 8 и 9 8 1 гл. 2) получим х=прх ОМ =пр, ОА +прх АС +прх СМ 14.6) у=пр ОМ =яр„ОА 4-пр АС 4-пр СМ.
Учитывая, что угол АСМ, отсчитываемый от вектора СА в направлении по часовой стрелке 1рис. 4.2), может отличаться от угла 1 лишь на величину, кратную 2к, будем иметь прх ОА =ЙС пр, АС =О, пр, СМ =-Й гйп й прд ОА =О, при АС =Й, пр„СМ =-Й соз й Вставляя эти значения в формулы 14.6), окончательно получим параметрические уравнения циклоиды 14. 7) х = Й11 — з)п 1), у = Й11 — соз 1). Параметр 1 в уравнениях 14.7) может принимать какие угодно значения. 3 а меча н не. Часто линию 7. определяют не уравнением 14.1), а разрешенным 1например, относительно у) уравнением 14,8) у = 7 1х).
Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением 14.8) представляет собой частный случай параметрического определения этой линии 1при х = С у = )П)). 3. Уравнение линии в различных системах координат. Вид уравнения линии 7. зависит не только от вида самой линии 1., но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к другой, так и при переходе от декартовых к каким-нибудь другим координатам. Если 14.1) представляет собой уравнение линии 7.
относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху, то, чтобы получить уравнение той же линии 7. относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в 14.1) на место х и у их выражения через новые координаты. Так, например, линия 7., определяемая в декартовой системе Оху уравнением 14.1), в полярной системе ') будет определяться уравнением Ф,1р, ср) =О, где введено обозначение Ф,1р, ср) = Ф1р соз ср, р гйп ср) (см, формулы пере- хода от декартовых координат к полярным; гл. 1, 8 4). ) Конечно, ири этом предполагается, что полюс совметен с началом декартовых координат, а полярная ось — с осью Ох уРАВнение линии нд плоскости 14.9) р = а гр, где р — полярный радиус, гр — полярный угол, а — коэффициент про- порциональности, который будем считать отличным от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
