Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2 мы рассматривали линию в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен и очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Как и для случая плоской линии (см. п. 2 ~ 1), этот подход приводит к параметрическому представлению линии в пространстве, заключающемуся в том, что координаты х, у и г любой точки данной линии задаются как непрерывные функции некоторого параметра ( (представляющего собой время). Итак, при таком подходе координаты х, у, г любой точки линии ?. задаются как три функции (4.21) Р() У '!() А() определенные и непрерывные в некотором промежутке изменения параметра г.
Конечно, этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей. Чтобы убедиться в этом, предположим, что хотя бы одна (например, третья) из функций (4.2!) допускает обратную. В таком случае из третьего равенства (4.21) получим, что ( = )( '(г), и, подставляя это значение г в первые два равенства (4.21), получим уравнения двух поверхностей .= р!()('(г)1 у= у!(у-'(г)1, пересечением которых служит данная линия.
В качестве примера приведем параметрические уравнения окружности радиуса г > О, лежащей в координатной плоскости Оху и имеющей центр в начале координат. В декартовой прямоугольной системе на плоскости Оху такая окружность определяется одним уравнением х + у (см. п. ! Э 1), в пространстве же эта окружность определяется двумя уравнениями: хзеу =г~, г=О, первое из которых определяет цилиндрическую поверхность, направляющей которой служит рассматриваемая окружность и образующая которой параллельна оси Ог, а второе уравнение определяет координатную плоскость Оху.
уРАвнш1ия ИОВЕРх1юсти и линии 105 ~гл 4 Из п. 2 ~ 1 мы уже знаем, что на плоскости Оху параметрические уравнения окружности х 4- у = г имеют вид х = г соз д у = г яп Г, где 0 <1< 2п. Очевидно, та же окружность в пространстве задается тремя уравнениями: х=гсо5 й у=с 51п Д г=0, причем параметр Г пробегает полусегмент 0 < 1 < 2п. Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров р и Ф Убедимся в том, что три уравнения х='Р(Р сг') У=ту'(Р с)) г=к(Р Ч) (4.22) определяют в пространстве некоторую поверхность. Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех уравнений (4.22) может быть разрешена относительно параметров р и д. Допустим, например, что из первых двух уравнений (4.22) р и д могут быть выражены как функции х и у: р = Ф,(х, у), 41 = Фз(х, у).
Вставляя эти значения р и 4) в третье уравнение (4.22), мы получим уравнение с тремя переменными: г — )((Ф1(х, у), Фа(х, у)1 = О, определяюгцее, как нам известно, некоторую поверхность ). В качестве примера приведем параметрические уравнения сферы радиуса г > 0 с центром в начале координат: х=гсо5051пср, у=г51п051пф, г=гсо510. Здесь параметры 0 и ср представляют собой угловые сферические координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы (см.
э 4 гл. 1). Для того чтобы все точки сферы обходились один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками 0 < 0 < 2л, 0 < 41 < и. 5. Классификация поверхностей. В полной аналогии с классификацией плоских кривых устанавливают следующую классификацию поверхностей. Определение!. Поверхность называется а л г е б р а и ч е с к о й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнение,и с тремя переменными. Определение 2.
Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной. Определение 8. Алгебраическая поверхность назьгвается поверхностью порядка и, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраигсеским уравнением степени и с тремя переменными. ') Коне шо, нри этом требуются некоторые ограничения.
уРАВнения пОВеРхности и линии 1ОЯ Для установления корректности этих определений необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.2. Если поверхность е некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность и е любой другои декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени и. Доказательство теоремы 4.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.1 и опирается на доказанное в 3 2 гл.
3 у т в е р ж д ен и е: каковы бы ни бьыи две произвольные декартоеь4 прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линеиными функциями координат х', у' и г' той же точки относительно второй системьн С помощью этого утверждения н рассуждений, полностью аналогичных тем, которые проводятся при доказательстве теоремы 4.1, мы получим, что если поверхность 5 в некоторой декартовой прямоугольной системе Охуг определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе 0'х'у'г' определяется алгебраическим уравнением степени н е в ы ш е и. Поменяв ролями системы Охуг и О'х'у'г', мы завершим доказательство теоремы 4.2.
3 а м е ч а н и е !. Так же как и в случае плоской линии, вводится понятие распадаюгцейся алгебраической поверхности. 3 а м е ч а н и е 2. Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной. 6. О пересечении поверхностей и линий в пространстве. Для отыскания точек пересечения поверхностей или линий (или поверхностей и линий) следует рассмотреть совместно уравнения, определяющие указанные геометрические объекты. Решение полученной при этом системы н определит нам координаты всех точек пересечения. Если полученная система не имеет решений, то точек пересечения нет.
Так, например, если заданы две линии, первая из которых определяется уравнениями Фйх, у, г) = О и Фа(х, у, г) = О, а вторая — уравнениями Фз(х, у, г) = О и Ф4(х, у, г) = О, то координаты точек пересечения этих двух линий (в случае, если точки пересечения существуют) обязаны быть решением системы ч е т ы р е х уравнений с тремя неизвестными: Ф,(х, у, г) = О, Фз(х, у, г) = О, Фз(х, у, г) = О, Ф4(х, у, г) = О. Так как число неизвестных меньше числа уравнений, то последняя система, вообще говоря, не имеет решений, т.е. две линии в пространстве, вообще говоря, не пересекаются.
УРАВНГПИЯ ПОВГРХ1ЮСТИ И ЛИНИИ 11О 1ГЛ.4 7. Заключительные замечания. Линии и поверхности выше второго порядка не входят в учебные курсы аналитической геометрии (им посвящены специальные курсы). В нашем курсе мы ограничимся изучением плоских линий и поверхностей первого и второго порядков. В гл. 5 будут рассмотрены линии и поверхности первого порядка (их называют также линейными образами ')). В гл.
б изучаются плоские линии второго порядка, в гл. 7 — поверхности второго порядка. ) Термин «линейный» объясняется тем, что в левой части уравнения первого порядка стоит линейная функция ГЛАВА 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ Эта глава посвящена всестороннему изучению прямых линий на плоскости и плоскостей и прямых линий в пространстве. Убедившись в том, что этими обьектами исчерпываются все линейные образы (т.е.
геометрические объекты, определяемые линейными уравнениями), мы вводим в рассмотрение различные виды уравнений прямой и плоскости и останавливаемся на их использовании для решения важнейших задач. й 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости 1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на плоскости я задана произвольная прямая линия В и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая В определяется в этои системе уравнением первой степени. Достаточно доказать, что прямая В определяется уравнением первой степени при каком-то одном спедиальном вгяборе декартовой прямоугольной системы на плоскости я, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости и (в силу теоремы 4.1). Направим ось Ох вдоль прямой Ь, а ось Оу перпендикулярно к ней.
Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у = О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой ь, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой ь. Утверждение доказано. Докажем теперь, что если на плоскости и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию. В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени (5. 1) Ах ч- Ву ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
