Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это приведет нас к следующей однородной системе трех уравнений с тремя неизвестными: зл преОБРАЗОВАние декдртовых пРямОуГОльных кООРдиндт !Гл 3 Обычно говорят, что соотношения (3.27) задают линейное преобразова- ние плоскости. Определитель Л= (3.28) ам азз назьшается определителем линеиного преобразования (3.27). В случае а л О преобразование (3.27) называется невьтрожденным, а в случае Л = Π— вырожденным. Мы в дальнейшем будем рассматривать невырожденные линейные преобразования, т.е. будем считать б и О '). Такие линейные преобразования называются аффинньтми.
3 а м е ч а н и е. Наименование линейное преобразование объясняется тем, что координаты х ', у ' точек М' — образов точек М (х, у) (сами эти точки называются прообразами точек М') являются линейными функциями координат х, у. Отметим, что определение линейных преобразований инвариантно относительно выбора декартовой системы координат, поскольку координаты точки в одной декартовой системе координат выражаются линейно через ее координаты в любой другой декартовой системе координат. 2. Аффиниые преобразования плоскости. В предыдущем пункте мы отметили, что аффинные преобразования плоскости — это линейные преобразования (3.27), для которых би О.
Перечислим некоторые свойства таких преобразований. 1'. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Это свойство проверяется непосредственно. 2'. Тождественное преобразование х'=х, у'=у также является аффинным. Действительно, для этого преобразования 1 О б= =! юО. О ! 3'. Преобразование, обратное данному аффинному (т.е. преобразование плоскости к, переводязцее точки М'(х', у') в точки М(х, у) ), также является аффинным.
Докажем это свойство. Обратное преобразование может быть получено следующим образом. Найдем х и у из соотношений (3.27). Для этого перепишем их следующим образом: анх -!- а!Яу = х — а!з, аюхч-аззу =у' — аап ') Если А =О. то с помощью преобразования (3 27) все точки М (х, у) плоскости л преобразу|отся в точки М' (х', р '), расположенные на некоторои пряыон.
Действительно, если Ь = О, то оп — — Ао„, аз~ —— )азз, ! )озтоыу, если ыы уыпожиы ва — А второе нз соотноп~ении () 27) и сложны с первыы, то получим х' — Хд'= = п, з — Аон, Мы видим, что координаты х', )(' точек М' удовлетворяют линейному уравнению, т.е все точки М' лежат на прячои ЛИНЕИНЬП! ПРВОБРАЗОВАг!ИЯ $ з! Решение этой системы имеет такой вид; х =Д,ггД, у =Д гД, (3.29) где а,г х — а|з агг аи х — ам г-О, Д. = г Д у агг у — агз агг а„у' — аг, аи Д= а., агг, ам, 1 азз ам х = =х' — — у' —— агз "гг (3.30) аг) азг ! у = — — х'е — у' —— Д Д Д аг, агз Видим, что обратное преобразование является линейным.
Чтобы убе- диться, что оно является аффинным, остается доказать, что его опреде- литель Д'~0. В самом деле, аг Д гггг Д аиагг — аыаг, Д 1 Д Д Д "г1 Д ап Д Итак, доказано, что преобразование, обратное данному аффинному, также является аффинным. 4'. Агрфинное преобразование представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости. Это означает, что каждая точка М'(х ', у') есть образ единственной точки М (х, у) и в свою очередь каждая точка М (х, у) представляет собой прообраз лишь одной точки М'(х', у'). Докажем это свойство.
Предположим, что две точки М (х, у) и М (х, у) преобразуются с помощью (3.27) в одну точку М' (х', у'). Тогда путем вычитания из соотношений (3.27) аналогичных соотношений для координат х, д точки М получим следующую систему линейных уравнений для разностей х — х, у — у: ан(х — х) ч- аш(у — у) = О, аа!(х х) Р ага(у у) =О. (см. Дополнение к гл. 1, формулы (Д!.8) и (Д!.6)). Раскроем выражения для Д, и Д„по формуле (Д1.2) и подставим полученные значения в (3.29). Получим следующие выражения для ооратного преобразования: 86 пгеОБРлзовлнне декхРТОВых пРямОуГОльных кООРдинхт ~гл 3 Эта система имеет нулевое решение х — х = О, у — у = О, а так как ее оп- ап аы ределитель б = ' ~ О, то это нулевое решение единственно.
аз~ а22 Итак, х = х, у = у, т.е. точки М и М совпадают. Таким образом, каждая точка М'(х', у') есть образ единственной точки М(х, у). Обращаясь к формулам (3.30), путем аналогичных рассуждений мы убедимся, что каждая точка М (х, у) представляет собой прообраз лишь одной точки М '(х ', у ') . 3. Основное свойство аффинных преобразований плоскости. Докажем следующее утверждение: Теорема 3.1. При аффинном преобразовании плоскости каждая прямая переходит в прямую и пираллельные прямГяе переходят в параллельные прямые.
Доказательство. Рассмотрим на плоскости и прямую 1., определяемую уравнением Ах + Ву + С = О. (З.З 1) Чтобы выяснить, что представляет собой совокупность точек М' (х ', у')— образов точек М(х, у), расположенных на прямой 1„— подставим в уравнение (3.31) вместо х и у их выражения через х', у ' по формулам (3.30). В результате получим соотношение вида (3.32) А 'х ' + В 'у ' + С ' = О. )У(ы видим, что х ' и у ' удовлетворяют линейному уравнению (3.32), т.е.
точки М'(х ', у') расположены на прямой 1.', определяемой уравнением (3.32), Итак, доказано, что все точки прямой 1 при аффинном преобразовании (3.27) переходят в точки прямой 1.'. Так как при обратном аффинном преобразовании (3.30) все точки прямой В' перейдут в точки прямой 1, то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования (см. п. 2, свойство 4'), прямая С переходит в прямую 1'. Итак, при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть 1ч и !а— параллельные прямые, а 1ч' и 1,~' — их образы при аффинном преобразовании (3.27) плоскости я. Допустим, что прямые 1.,' и 1.,; имеют общую точку М'. Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, то М' — образ только одной точки М, причем М должна принадлежать и 1ч и 1.м что невозможно, поскольку 1ч и 1.з параллельны.
Следовательно, 1.~' и Л,; не имеют общих точек, т.е. параллельны. Теорема доказана. Естественно поставить вопрос о геометрическом способе задания аффинного преобразования плоскости. Определенный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение: ЛИНКИНЬП1 ПРКОБРАЗОВАНИЯ У з) х,' = а н х, ч- а Рау, ж а ш, Хэ = а))Ха -1- а1ЗУЗ -1- ага, хз а11хз 1 а)зУз 1 а13 (3.33) которые можно рассматривать как систему трех линейных уравнений относительно неизвестных ан, арм аьр ОпРеДелитель этой системы х, у, 1 хт уа 1 хз Уз ха — х, уз — у, хз — х, уз — у, (3.34) отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма,построенногонанеколлинеарныхвекторах М,Мз и М,Мз ).
Поэтому система (333) однозначно разрешима относительно ан, ам и аж. Обращаясь ко второй из формул (3.27), с помощью аналогичных рассуждений убедимся, что и величины ад, авв и аш определяются однозначно. Таким образом, однозначно определяется линейное преобразование (3.27), переводящее точки Мп Мв и Мз соответственно в точки М;, М; и Мз'. Остается доказать, что определитель Л (см. (3.28)) полученного преобразования отличен от нуля. Обратимся к определителю .тт хг Уэ Уг (3.35) ) Так как точки М1.Мт иМгнележат на однои прямои, то векторы А( М, и М М, не коллинеарны В системе координат Окуз (ось Оз перпендикулярна плоскости и) эти вектоРы соответственно имеют кооРдинаты (ха — хп Уа — Ун О) и (хз — хп Уз — Ун О).
Поэтаму модуль векторного произведения этик векторов равен модулю определителя (3 34) и, как известно, равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Теорема 3.2. Аффинное преобразование плоскости определено однозначно, если заданы абра ног трех точек, не лежащих на одной прямой и зти образы также не располагаются на однои прямой. До ка з а тел ьс тв о. Пусть точки М1(х1, Уг) Мд(хв Уд) Мз(хз Уз) плоскости я не лежат на одной прямой и точки М1'(х,', у,'), М,;(х,;, ут'), Мз'(хз~ у;) этой плоскости также не лежат на одной прямой. Убедимся, что существует единственное аффинное преобразование плоскости я, переводящее точки Мы М,, Мз в точки М;, М;, М; соответственно.
Пусть искомое аффинное преобразование задается соотношениями (3.27) с неизвестными коэффициентами ап, аш, апь атн аам ааз. Докажем, что при наших предположениях эти коэффициенты определяются однозначно и, кроме того, определитель Л, вычисленный по формуле (3.28), отличен от нуля. Этим, очевидно, и будет завершено доказательство теоремы. С помощью первой из формул (3.27) получим соотношения 88 пРЕОБРЛЗОВЛние декЛРТОВЫХ ПРЯМОуГОльных кООРдИНЛт ~ГЛ 3 Этот определитель отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах М;Мз и М;Мз ').
С помогцью первой из формул (3.27) получим для элемента х.;-х,'определителя (3.35) следующее выражение: х; — х,'= ап(хо — х,) + аы(уо — у,). Аналогичные выражения получим с помощью формул (3.27) и для остальных элементов определителя (3.35). Подставляя найденные выражения для ху' — х~', у ' — у,', хз' — х,'и у; — у,'в (3.35), после несложных преобразований получим х,' — х,' у„' — у,' ап а,а ха — х, уе — у, (3.36) ха — х, у, — у~ ан ам ха — х, уа — у, Так как определители х.,' — х,' у.,' — у,' хе — х, у, — у, ап а1 отличны от нуля, то из (3.36) следует, что и тл = л О. Теорема ал ан доказана. а1~ аы 3 а м е ч а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
