Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 16
Текст из файла (страница 16)
5 )(ополлег~ия к главе 1. ) для запоминания эгон формулы удобно следукгптее и р а в и л о Вводное векморг*ое произведение ровно среднему вектору, умноженноно на скалярное произведение двух оггмоггьньгх, ннттс друеоа вектор внумреннего пропзведення, умггожеггггьггз гго скалярное ~роизвевение двух остел он ьы. Это правило годится и для случая, когда вы у грсииее векторное произведение относится к первым двум всктораьг с его помогдью получается следующая формула 1(аь) с)= Ь (ас) — а (Ьс), являющаяся следствием (2Л9), з ' ) В самом деле, элемеитариыи подсчет показывает, что как Ь (ас), гак и с (аЬ) равно ч(Ь( ° (с]- (асо) сь ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 75 4 3) векторам Ь и с как по базису, т.е. найдутся вещественные числа а и ]1 такие, что [а [Ьс]] = гхЬ+ [зс. (2.50) Остается доказать, что се = ас, ]) = — аЬ.
Докажем, например, что гх= ас. Воспользуемся теоремой 2.15. Для этого обозначим буквой к плоскость, определяемую векторами Ь и с, буквой е — единичный вектор, лежащий в и и ортогональный к с, буквой и — единичный вектор, ортогональный плоскости и и такой, что тройка еся является правой. По теореме 2.15 [Ьс]=пр„Ь [с~ а. (2 51) Если со — орт вектора с, то правая тройка есои образует декартов прямоугольньгй базис, Разложим вектор а по этому базису, учитывая, что координаты равны проекциям вектора а на базисные векторы: а = е пр, а+ со пр„а+ н прл а. (2.52) Умножая векторно (2.52) на (2.51) и учитывая, что [ен] = — со, [сои] = е, [нд] = 0 (сравните с формулами (2.46)), получим [а[ЬсЦ= — со пра при Ь [с) фе пра прЬ [с).
(253) Сравнивая формулы (2.50) и (2.53), будем иметь аЬ+]зс=-со. пр,а пр, Ъ )с[+е пр,а пр„Ь [с). (2 54) Остается умножить обе части (2.54) скалярно на е и учесть, что Ье = пре Ь, сое = О, ее = 1. Окончательно получим гх пр, Ь = пр, а пр, Ь ]с[ или а = ~с~ - пр, а = ас. Для доказательства равенства ]3 = — аЬ следует в проведенных рассуждениях поменять ролями векторы с и Ь и учесть, что [а [сЬ] = -[а [Ьс]].
Теорема доказана. а = (х, У, 21, ь = (О, У', /'), с = (О, о, 2"). Применяя формулу для векторного произведения (2 45), будем иметь (Ьс) = (УХ", О, 0), а отсюда по тои же формуле (2.45) (а (ьсй = (о, ЕУ'х", — УУ'2 "1. (2 55) Далее. очевидно, что (ас) = Хи'Т (аЬ) = УУ'я ХХ', а позтол1у Ь (ас) = (О, У'ХХ'С Х'ХХ").
с (аь) =(о, о, УУ'х" ьхх'х "1 Из сопоставления равенств (2.55), (2 56) и (2.57) выз екает формула (2 49) (2 56) (2.57) 3 а м е ч а п и е. Дадим другое доказательство теоремы 2.!9, основанное па спепиальпом выборе декартовои прямоутольнои системы и иа непосредственном просчете в координатах всех выражений, участвующих в формуле (2.49) Направиы ось Ог вдоль вектора с. а ось Оу возьмем в плоскости векторов Ь и с Тогда векторы а, Ь и с оудут иметь следующие координаты. ГЛАВА 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе устанавливаются формулы, по которым преобразуются координаты произвольной точки плоскости (или соответственно пространства) при переходе от одной декартовой прямоугольной системы к произвольной другой декартовой прямоугольной системе.
Мы доказываем, что координаты произвольной точки относительно первой системы являются линеиными функциями координат той же точки М относительно второй системы. Попутно мы устанавливаем, что если две декартовы прямоугольные системы на плоскости п (в пространстве) образованы парами (тройками) одной ориентации, то одна из этих систем может быть совмещена с другой посредством параллельного переноса и последующего поворота на некоторый угол <р в плоскости я (вокруг некоторой оси в пространстве). ф 1.
Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости Пусть на плоскости к заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом О и базисными и У векторами ! и 1, и в т о р а я, определяемая началом О' и базисными векторами ! ' и 1' (рис. 3.1). Поставим перед собой цель — выразить коор- динаты х и у произвольной точки М плоскости я ! ' е относительно и е р в о й системы координат че- О' рез координаты х' и у' этой же точки М относи- тельно в т о р о й системы координат.
х Заметим, что координаты х и у совпадают с рис, 3.! координатами вектора ОМ в разложении его по базису 11, а координаты х ' и у ' совпадают с координатами вектора О'М в разложении его по базису ! '1 ', т.е. (3.1) ОМ =х(еу1, О'М =х'!'+у'1'. (3.2) ПРЕОБРАЗОВАИ)ИЕ КООРДИПАТ НА ПЛОСКОСТИ 77 Если обозначить через а и Ь координаты начала 0' второй системы от- носительно первой системы, то 00' =а!+ Ь1. Так как любой вектор на плоскости и можно разложить по базису 11, то найдутся числа сьп, аы, сьвг и азз такие, что = гхг ~1 ь Се|21, 1 = Сс211+ гх221.
(3.4) В силу правила треугольника сложения векторов (см. рис. 3.1) (3.5) ОМ = 00'+ 0'М. хт ж у1 = (а ж о) их '+ сс2, у ') 1-~ (Ь -~ Бегах ' -~ сьззу ') 1. (3.6) В силу единственности разложения вектора по базису из равенства (3.6) получим искомые формулы преобразования координат: х = а+ сь~~х -Рсдзгу у = Ь + се,зх '+ сеззу '. (3. 7) Мы приходим к следующему замечательному выводу: каковы бы ни были дее произвольньге декартовы системы на плоскости я, координаты любой точки плоскости и относигпельно первой системы являются линейными функциями координат тои же точки относительно еторои системы. Установив этот фундаментальный алгебраический факт, перейдем к геометрической интерпретации полученных формул.
Для этого договоримся обозначать символом соз (аЬ ) косинус угла между векторами а и Ь. Помножая каждое из равенств (3.4) скалярно сначала на 1, а затем на) и учитывая, что В =1,11 =1, 11=0, получим ) 2 се~1 = со5 ( 1 1 ), О12 = соз ( 11 ), Оа~ = сов (11), сь22 = с05 (11). (3.8) Будем существенно различать следующие два случая: 1) случай, когда базисные векторы направлены так, что оба кратчайших поворота от 1 к) ) Возможность сгрудоироват ь слагаемые относительно 1 и ) вытекает из своиста линеиных операции над век~орами (см и 24 ) гл 2). з) учитываем также, что скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между ними.
Вставляя в правую часть (3,2) значения Г и 1', определяемые формулами (3.4), и после этого подставляя в (3.5) значения ОМ, 0'М и 00', опре- деляемые формулами (3.1), (3.2) и (3.3), и группируя слагаемые относи- тельно 1 и 1, получим ) 78 пРЕОБРАЗОВАние деклртовых прямоуГОльных кООРЛИНАт ~ГЛ 3 от ! ' к!' совершаются в одном направлении (либо оба по часовой стрелке, либо оба против часовой стрелки); 2) случай, когда базисные векторы направлены так, что кратчайшие повороты от ! к 1 и от 1' к!' совершаются в противоположных направлениях. В обоих случаях обозначим через тр угол между базисными векторами ! и 1', отсчитываемый в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от ! к 1.
Тогда ан = соз тр. В п е р в о м случае угол между базисными векторами 1 и 1' также равен тр, и поэтому первая система координат может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего пах' ворота в плоскости к вокруг начала на угол ср 0 'Р, (этот случай изображен на рис. 3.!). ! Во в т о р о м случае угол между базисными 0 1 векторами 1 и 1' равен я — гр и первую систему координат невозможно совместить со второй посредством параллельного пере~оса и поворота, Рис 32 не выводящего из плоскости к (нужно еше изменить направление оси ординат на противоположное или, что то же самое, взять изображение плоскости я в плоском зеркале. Второй случай изображен на рис.
3.2). Пользуясь формулами (3.8), подсчитаем для обоих случаев коэффи- 1т циенты гхн, а12, аа1 и аез 1. В не Р в ам слУчае полУчим: ан = сов 1Р, став =соз 1Р, огш= )гя (л — СОБ ~ 1Р) = 51П18, 1221 — С05 ~ ф = 51П18 1,2 ) ),2 Во в т о Р о м слУчае полУчим: ап = соз тР, сева = соз (к — сР) == -соз 1Р, Гхщ = с05 — — сР = 51птй, О!11= соз — — 1Р = 51псР. х2 у х2 Таким образом, в и е р в о м случае формулы преобразования координат (3.7) принимают вид х = а + х ' сов ср — у ' 51п тр, у = Ь + х ' 51п ср + у ' соз ср. (39) Во в т о р о м случае соответствующие формулы преобразования принимают вид х = а + х ' соз ср+ у ' ып ср, у = Ь+ х ' гйп ср — у ' соз ср.
(3.10) Есги мы примем договоренность рассматривать только такие системы координат, у которьгх кратчайшии поворот от первого ) Все углы отсчитываются в направлении, отвечающем кратчаищему повороту от!к) г)РБОБРАзовтигие кООРдиг)Ат ИА плоскости 79 у г) базисного вектора ко второму происходит против часовой стрелки (будем называть такие системы правыми), то второй случай будет исключен и любое преобразование координат будет определяться формулами (3.9).
Приходим к выводу, что, каковы бы ни бьг ги две правые системы координат Оху и 0'х'у', первая из них может бьгть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол гр. Разрешая уравнения (3.9) относительно х' и у', получим обратные формулы, выражающие координаты х' и у' любой точки М относительно второй системы через координаты ее относительно первой системы ): х' = (х — а) сок гр + (у — Ь) Б( п гр, у' = — (х — а) з(игр е (у — Ь) созгр. (3.11) х =аз-х', у=ба-у'. (3.12) Полагая в тех же формулах (3.9) координаты а и Ь вектора 00' равными нулю, получим формулы преобразования координат при поворопе системы вокруг начала на угол гр (в направлении против часовой стрелки) х = х ' соз ср — у ' з(п гр, у = х ' гйп гр ч- у ' соз гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
