Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2.42) Рис 2 20 ') Одна из этих троек входит в группу (2.36), а другая — в группу (2 37). Учтем теперь, что могут представиться два случая: 1) ту=ар (когда сс > 0 и векторы а и аа направлены в одну сторону; рис. 2.19); 2) тр = к — гр (когда а <О и векторы а и тха направлены в противоположные стороны; рис. 2.20). В обоих случаях гйп т[г = гйп гр и в силу формул (2.42) | с | = | д! |, т.е. векторы с и с] имеют одинаковую длину. Далее, очевидно, что векторы с и д коллинеарны, ибо ортогональность к плоскости, определяемой векторами гха и Ь, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и Ь. Для доказательства равенства Ь векторов с и д! остается проверить, что эти векторы имеют оди- Ег=ту наковое направление. Пусть О а иа оа О а сс>0(а< 0); тогда векторы а и па (и>0) (о<0) оДинаково напРавлены (пРотиво- Ри, 2 !Ч положно направлены), и, стало быть, векторы [аЬ] и [(Оа)Ь] также одинаково направлены (противоположно направлены), а это означает, что векторы г] = а [аЬ] и с = [(аа)Ь] всегда одинаково направлены.
Свойство 2' доказано. 70 ВЕКТОРНЛЯ ЛЛГЕВРЛ )ГЛ 2 Переходим к доказательству с в о й с т в а 3'. Рассмотрим отдельно д в а с л у ч а я: 1) случай, когда векторы а, Ь и с компланарны; 2) случай, когда эти векторы не компланарны. В первом случае векторы а, Ь и с, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости, которую мы обозначим буквой и. Пусть е — единичный вектор, принадлежащий плоскости л и ортогональный к вектору с, а д — единичный вектор, ортогональный к плоскости я и такой, что тройка еся является правой. Согласно теореме 2.15 [ас] = пр, а [с~ я, [Ьс] = пр„ Ь [с~ я, [(а+Ь)с]= пр,(а+Ь) [с) я. Свойство 3' непосредственно вытекает из последних трех формул и из линейного свойства проекции пря а+ пре Ь = пр„(а+ Ь) (п. 8 э 1).
Пусть теперь векторы а, Ь и с не компланарны. Так как три вектора [(а+ Ь) с], [ас] и [Ьс] ортогональны к вектору с, то эти три вектора компланарны, а стало быть (в силу теоремы 2.5), линейно зависимьс. Но это означает, что найдутся такие числа Х, р и ч, хотя бы одно из которых не нуль, что справедливо равенство Х [(а + Ь) с] = р [ас] ~- и [Ьс]. Остается доказать, что).=р и ) =р ). Докажем, например, что к=р. Для этого, пользуясь уже доказанным (в п. 3 8 2) распределительным свойством 3' скалярного произведения, умножим равенство (2.43) скалярно на вектор Ь и учтем, что смешанное произведение [Ьс] Ь равно нулю (в силу следствия 3 из теоремы 2.16).
В результате получим г. Иа + Ь) с] Ь = ]х [ас] Ь. Поскольку векторы а, Ь и с не компланарны, смешанное произведение [ас] Ь не равно нулю, и для доказательства равенства ) = )г достаточно доказать равенство смешанных произведений [(а ч- Ь) с] Ь и [ас] Ь. Равенство абсолютных величин указанных смешанных произведений вытекает из того, что (в силу теоремы 2.16) эти абсолютные величины равны объемам двух параллелепипедов с равновеликими основаниями ) (на рис. 2.21 эти равновеликие основания заштрихованы штрихами ) Так как по условию томя бы одио пз укозаяпьы сасея ожяпчгго ом кутя, то, доказав, гто я=и=у, ьгы лгожем полелить равенство (243) па число х=р = у, в результате чего получим своиство 3' т ) Основанием одного параллелепипеда служит параллелограмм. постросииый иа векторах а и Ь, а другого — параллелограмм, построенный ~~а векторах а ч Ь и Ь. Равиовеликость указанных вараллелограмлюв вытекает из того, что оии илгеют общее осиоваиие, совпадающее с вектором Ь, и общую высоту, опущенную из конца вектора аз- Ь иа вектор Ь.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 7! чз1 разных наклонов) и с общей высотой и, опущенной из конца вектора с (рис. 2.21). Равенство знаков указанных смешанных произведений вытекает из определения правой (левой) тройки с помощью у с л ов и я 3' (см. п. 1), ибо из этого условия ') очевидно, что тройки асЬ и (а+ Ь) сЬ одной ориентации. Равенство ). = )х доказано.
Аналогично (посредством умножения (2.43) скалярно на вектор а) доказывается равенство )»= у. Свойство 3' полностью доказано. Остается доказать с в о й с т в о 4'", утверждающее, что векторный квадрат любого вектора равен нулю, но это свойство непосредственно вытекает из теоремы ь 2.13 и из того, что любой вектор а колли- Рис 2 21 неарен сам с собой. 3 а м е ч а н и е. Оба свойства 2' и 3' формулируются применительно к и е р в о м у сомножителю векторного произведения.
(Свойство 2' утверждает возможность сочетания числового множителя а с и е рв ы м множителем векторного произведения, а свойство 3' утверждает возможность распределения относительно суммы векторов п е р в о г о сомножителя векторного произведения.) Естественно возникает вопрос, справедливы ли аналогичные свойства применительно ко второму сомножителю векторного произведения, т.е. можно ли утверждать, что [а(ссЬ)1 =се [аЬ) и [а(Ь+с)1 = [аЬ)+[ас).
(2.44) Оказывается, свойства (2.44) уже являются с л е д с т в и я м и свойств 2' и 3' и свойства антиперестановочности 1'. В самом деле, из свойств 1', 2' и 3' вытекает, что [а(ссЬ)) =-[(аЬ) а)=-а[Ьа] = а[аЬ] и аналогично [а(Ь+ с) = — [(Ь+ с) а) = — [[Ьа)ч- [саЦ = [аЫ+ [ас). В заключение отметим, что доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно и производить сочетание числовсчх мнозкителей (но при атом необходимо либо сохранять порядок векторных множителей, либо при иъиенении этого порядка менять знак на противоположнгяй!). В следуюгцем пункте мы будем существенно использовать эти свойства. ) А также ив тото, что вектор а е Ь лежит в окиои плоскости с векторами а и Ь, причем межах пимим Векторнля ллгеврл 1ГЛ 2 а=[Х1, У1, Х1), Ь=(Х2, Уз, лз), то векторное произведение этих векторов имеет вид [аЬ] = [У,Л, — У22н 21Х, — 22Хн Х, Уа — Хау,).
[2.45) Для запоминания формулы [2.45) удобно использовать символ определителя ) и переписать эту формулу в виде 1 ! )с [аЬ]= Х, У, 2, Х, У, Х, 12,45') Раскрывая определитель, стоящий в правой части [2.45'), по элементам первой строки, мы получим разложение вектора [аЬ] по базису 1, 1, 1с, эквивалентное [2А5).
Доказательство теоремы 2.17.Составимизтройкибазисных векторов 1, ! и ]с все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, получим ) [11] = О, []1] = †)с, []ст] = 1, [!И = ]с, []!] = О, [Ь]] = — 1, [Ж] = -1, []Ц = 1, [Ис] = О.
[2. 46) Далее, принимая во внимание, что а=Х,1+ У)+ 7, ]с, Ь=Х,1+ Уд!+ + Хд]г, и опираясь на установленную в предыдущем пункте возможность почленного векторного перемножения векторных многочленов, получим [аЬ] = Х,ХЕ[В] -Р Х, Уз[1]] + Х172[Й] + У1Х2[]1] + У, Уз[]]] + + У12, []Ц+ 2!ХЕ[]с[]+ Х1УЕ[Ц]+ ХД[Щ. Из последнего равенства и соотношений [2.46) вытекает разложение [аЬ] = [УХ2 — У22) ]ф [Х1Х2 — ХЕХ) ]+ [Х, Уа — ХЕУ) 1с, эквивалентное равенству [2.45).
Теорема доказана. ) теория определителей второго и третьего порядков изложена в Дополнении к главе 1 ) 11ри этом мы уяитываем также, ято векторныи квадрат вектора равен пулю 1своистно 4 из и 31, и принимаем во внимание, ято, поскольку тропка 11 й является правои, обе троики ! К! и К! ! являются правыми, а все три тропки!! К! К! и й11 — левьии 1см и, 1, формулы 12.3б) и !2.37)).
6. Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.17. Если два вектора а и Ь определены своими декартовыми прямоугольными координатами 73 ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 4 31 Следствие. Если два вектора а = (Хн Ун Х,) и Ь = (Х,„У, Хз) коллинеарны, то координатна их пропорциональны, т.е.
Х, У г, Хз У г Заметим, что в знаменателях последних равенств могут стоять нули. Чтобы обойти эту трудность, мы раз и навсегда договоримся всякую пропорцию ауи = с,(д понимать в смысле равенства ад = Ьс. Для доказательства следствия достаточно заметить, что из равенства нулю векторного произведения и из формулы (2.45) вытекают равенства У,Л,=У,ХП Л,ХВ=ЛьХП Х,У,=ХВУП а = [Хн Ун Х,), Ь = (Ха У,, Хз), с = [Хз, Уз, лз), то смешанное произведение аЬс равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножагмых век- торов, т.е.
Х, )', 2, [аЬс] = Хь Уь 2е Х У, 2 (2.47) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как смешанное произведение аЬс равно скалярному произведению векторов [аЬ) и с и поскольку координаты вектора [аЬ[ определяются формулой (2.45), а координаты с равны (Хз, У,, Хз), то в силу выражения (2.33) для скалярного произведения векторов в координатах получим аЬс =Хз(УХ — УВ7) е Уз(ХВХ, — Х Хз) ч-Лз(Х Уз — ХУ ).
Если воспользоваться выражением для определителя второго порядка и символом такого определителя, то последнее выражение можно переписать в виде У 27 з Х 2 Х которые в силу сделанного выше замечания эквивалентны доказываемым пропорциям. 7. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.18. Если три вектора а, Ь и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами Векторнля ллгеврл (гл а Формулы (2.47) и (2.48) эквивалентны, ибо при разложении определителя, стоящего в правой части (2.47), по третьей строке получается выражение, стоящее в правой части (2.48) '). Теорема доказана.
Следствие. Необходимьгм и достаточным условием компланарности трех векторов а = [Хо Уп У,], Ь= [Хе, Уз, Уз] и с =(Хз, Уз, Хз] является равенство нулю определителя, строками которого служат координатьг этих векторов, т.е. равенство Х, 1; Хг Хз У Хз )з Хз В самом деле, достаточно привлечь следствие 2 из теоремы 2.16 и воспользоваться формулой (2.47). 8. Двойное векторное произведение. Пусть даны три произвольных вектора а, Ь и с.
Если вектор Ь векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно умножается на векторное произведеиие [Ьс], то получаюи(иися при этом вектор [а [Ьс]] называется двойным векторным произведением. Теорема 2.19. Дггя любых векторов а, Ь и с справедлива формула ) (2.49) [а [Ьс]] = Ь (ас) — с (аЬ). Дока з а тельство. Рассмотримотдельнодв а с луча я: 1)векторы Ь и с коллинеарног; 2) векторы Ь и с не коллинеарны. В первом случае обозначим через со орт вектора с и учтем, что с= (с~ со, Ь =+~ Ь[ ° со, где знак плюс берется для случая, когда векторы Ь и с одинаково направлены, а знак минус — для случая, когда Ь и с противоположно направлены. С помощью этих формул для с и Ь получим, что Ь(ас) — с (аЬ) = О '), т.е.
правая часть (2.49) равна нулю. Но и левая часть (2.49) равна нулю, ибо векторное произведение [Ьс] двух коллинеарных векторов равно нулю. Для первого случая теорема доказана. Переходим к доказательству теоремы для случая, когда векторы Ь и с не коллинеарны. Так как вектор [а [Ьс] ] ортогонален вектору [Ьс], а последний ортогонален плоскости, определяемой векторами Ь и с, то векторы [а [Ьс]], Ь и с компланарны, а поэтому (в силу следствия 1 из теоремы 2.5) вектор [а [ЬсЦ можно разложить по двум неколлинеарным ') См, формулу Я1.16) из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
