Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 14
Текст из файла (страница 14)
О р т ам произвольного ненулевого вектора с назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с с направление. Следствие из теоремы 2.14. Если е — орт векторного произведения [аЬ], а 5 — площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, то для векторного произведения [аЬ] справедлива следующая формула: [аЬ] = Зе. 3 а м е ч а н и е. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что троика аЬе является правой (ибо тройка аЬ[аЬ] является правой). Следующее свойство устанавливает важную для дальнейшего формулу. Теорема 2.1б. Если с — какой-нибудь вектор, я — любая содержащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в плоскости я и ортогональный к с, я — единичньгй вектор, ортогональный к плоскости я и направленный так, что тройка еса является правой, то для любого лежащего е плоскости я вектора а справедлива формула [ас] =пр„а 1с~ д.
(2.40) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление. В силу теоремы 2.14 ] [ас] ~ = 5, где 5 — площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.40), равна ~ с ~ ] прс а], т.е. тоже равна к 5, ибо если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его й будет равна ~прка~, (рис. 2.!7).
Колл инеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (2.40), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны Рис 2 17 к плоскости я (вектор [ас] в силу определения векторного произведения, а вектор пре а ° ~с~ я в силу того, что вектор я по условию ортогонален к плоскости к). Остается проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40), одинаково направлены. Для этого достаточно заметить, что векторы [ас] и я одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка ася является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону от с (по разные стороны от с )) и проекция пр„ а является положительной (от- ) 11ри этом мы исктючаек1 тривиальныи случай, когда вектор а коллинеарен вектору с.
В этом тривиальном случае [ас) = О и пр, а = О. так что равенство (240) очевилно бт ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ чз) рицательной), но это и означает, что векторы [ас] и пре а ~ с] и всегда одинаково направлены. Теорема доказана. 4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три произвольных вектора а, Ь и с. Если вектор а векторно умножается на вектор Ь, а затем получившийся при этом вектор [аЬ] скалярно умножается на вектор с, то в результате получается число [аЬ] с, назыеаемоесмеша нн ым произведением век торов а, Ьи с. Геометрический смысл смешанного произведения поясняет следующая теорема.
Теорема 2.16. Смешанное произведение [аЬ] с равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а, Ь и с, взятому со знаком плюс, если тройка аЬс правая, и со знаком минус, если тройка аЬс левая. Если же векторы а, Ь и с компланарньг, то [аЬ] с равно нулю.
До ка з а т ель с т в о. Прежде всего, исключим тривиальный случай, когда векторы а и Ь коллинеарны. В этом случае векторы а, Ь и с компланарны '), и нам требуется доказать, что смешанное произведение [аЬ] с равно нулю. Но последнее очевидно, ибо векторное произведение [аЬ] двух коллинеарных векторов а и Ь равно нулю. Остается рассмотреть случай, когда векторы а и Ь не колл инеарны.
Обозначим через 5 плошадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, а через е — орт векторного произведения [аЬ]. Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива формула [2.39). С помощью этой формулы и формулы [2.31) для скалярного произведения получим [аЬ] с = [5е) с = 5(ес) = 5 ~ е] пре с = 5 . пр„с. Сначала предположим, что векторы а, Ь и с не компланарны.
Тогда пр, с с точностью до знака равна высоте )г параллелепипеда, построенного на приведенных к обгцему началу векторах а, Ь и с, при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах а и Ь [рис. 2.18). Таким образом, с точностью до знака правая часть [2.4!) равна объему )л построенного на векторах а, Ь и с параллелепипеда.
Остается уточнить знак. Очевидно, что пре с = и- и, если векторы Рнс 2 гз е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, и пре с = -и, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной ') Ибо среди трех некомоланарных векторов не может быль двух коллннеарных векторов (см, следствие 3 ив теоремы 2.5). Вектоенля ллгевгл ~гл а плоскости.
Но это означает, что пр,, с = ч-п, если тройки аЬс и аЬе одной ориентации, и пр„с = — и, если указанные тройки противоположной ориентации. Так как по определению векторного произведения тройка аЬе является правой [см. конец предыдущего пункта), то + и, если аЬс — правая тройка, пр,с= -)г, если аЬс — левая тройка. Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить это значение пр„с в правую часть [2.41). В случае, когда векторы а, Ь и с компланарны, вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда следует, что прь с = О, и по формуле [2.41) [аЬ] с = О.
Теорема полностью доказана. Следствие 1. Справедливо равенство [аЬ] с = а [Ьс]. В самом деле, из переместительного свойства скалярного произведения вытекает,чтоа [Ьс] = [Ьс] а,идостаточнодоказать,что [аЬ] с = [Ьс] а. С точностью до знака, последнее равенство очевидно, ибо как правая, так и левая его части с точностью до знака равны объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с.
Но и знаки правой и левой частей последнего равенства совпадают, ибо обе тройки аЬс и Ьса относятся к группе троек [2.36) и имеют одинаковую ориентацию [см, п. 1). Доказанное равенство [аЬ] с = а [Ьс] позволяет записывать смешанное произведение трех векторов а, Ь и с просто в виде аЬс, не указывая при этом, какие именно два вектора [первые два или последние два) перемножаются векторно. Следствие 2. Необходимым и достаточнгям условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16 влечет равенство нулю их смешанного произведения.
Обратное вытекает из того, что для некомпланарных векторов смешанное произведение [в силу той же теоремы) равно отличному от нуля объему параллелепипеда. Следствие д. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
В самом деле, такие три вектора заведомо компланарны. 5. Алгебраические свойства векторного произведения. Векторное произведение векторов обладает следующими четырьмя с в о йствами: 1' [аЬ] = — [Ьа] [свойство антиперестановочности сомножителей); 2' [[сга)Ь] = а[аЬ] [сочгтатгльное относительно числового множителя свойство); 3' [[а+ Ь) с] = [ас]+ [Ьс] [распределитгльное относительно суммы векторов свойство); 4' [аа] =О для любого вектора а. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 69 Убедимся в справедливости этих свойств.
Для доказательства с в о й с т в а!'положим с = [аЬ], г(= [Ьа]. Если векторы а и Ь коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 с = с[ = О, и свойство 1' доказано. Если же а и Ь не колл инеарног, то векторвг с и г[, вопервых, имеют одинаковую длину (в силу формулы (2.38) для длины векторного произведения) и, во-вторых, коллинеарны (в силу того, что оба вектора с и г! ортогональны к плоскости, определяемой векторами а и ЬЕ Но тогда либо с = д, либо с = — с[.
Если бы имела место первая возможностгв то по определению векторного произведения обе тройки аЬс и Ьас оказались бы правыми, но это невозможно, ибо в силу п. 1 эти тройки противоположной ориентации ). Итак, с = — г(, и свойство 1' полностью доказано. Для доказательства с в о й с т в а 2' положим с = [(оса) Ь], г! =а[аЬ] и прежде всего исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен Ь или когда гг = О.
В этих случаях (в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора на число) мы получим, что с = г! = О. и свойство 2' доказано. Пусть теперь векторы а и Ь не коллинеарны и сс ~ О. Докажем, что и в этом случае векторы с и с[ равны. Обозначим буквой гр угол между векторами а и Ь, а буквой гр угол между векторами аа и Ь. По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что |с| = |гх[ |а| |Ь! В!п тр, |с[| = |а| |а| |Ь| гйп тр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
