Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Теорема доказана. 3. Понятие линейной зависимости векторов. Л и н е й н о й к о мб и н а ц и е й и векторов ан а,, ..., а„будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные веществеиньш числа, т.е. выражение вида (2.3) се)а, ч- гдзаа+ ... + сг„арн где а), ат, ..., а„— какие угодно вещественные числа. Определение 1. Векторьч аь аа, ..., а„называются л и н е й и о з ав и с им ы м и, если найдутся такие вещественные числа ир, аа, ..., а„, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов аь аа, ..., ал с указаниьчми числами обращается в нуль, т.е.

имеет место рзвенство а)а, + азав+ ... + седа„=О. Векторы ан ам ..., а„, не являющиеся линейно зависимыми, будем иазьиать линейно независимтями. Дадим другое определение линейно независимых векторов, основанное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Векторы ан а,, ..., а„называются л и и ей и о н е з а в и с и м ы м и, если равенство нулю их линейной комбинации 12 3) возможно лишь в случае, когда все числа ар, а,, ..., аа равны нулю. Имеют место следующие два утверждения. Теорема 2.2.

Если хотя бьр один из векторов ан а,, ..., ал является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми. ) Здесь под ОА н ОВ следует понимать величины нанравленнык отрезков лииеиные оперлнии нлд ВектоРлми Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, ради определенности, вектор а, является нулевым ), а остальные векторы аз, ..., а„произвольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация (2.3) указанных векторов с числами а~ = 1, аз = аз = ...

= а„= О, одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана. Теорема 2.З. Если среди п векторов какие-либо а — 1 векторов ли~ейно зависимы, то и все и векторов линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности векторы а и аь ..., ал, линейно зависимы, а вектор а„произволен а). По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа аи аа,, аа ь из которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство (2.4) а,а, + азат е ...

е ал,ая, = О. Равенство (2 4) сохранится, если мы добавим в левую часть этого равенства равное нулю слагаемое О а„, т.е. справедливо равенство а а, э азаз ч-й. е а„м,а„, е О а„= О. (2,5) Так как среди чисел аь а,, ...,ал, О хотя бы одно отлично от нуля, то равенство (2.5) доказывает линейную зависимость векторов аь а„..., а„. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Конечно, утверждение теоремы 2.3 о линейной зависимости и векторов останется в силе, если среди этих векторов линейно зависимыми являются не и — 1, а любое меньшее п число векторов. 4. Линейные комбинации двух векторов.

Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линейнои зависимости двух векторов является их коллинеарность. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть два вектора а и Ь линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа а и )з, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство аа е )зЪ = О. (2.6) Пусть для определенности отлично от нуля число )з.

Тогда из равенства (2.6) (посредством деления этого равенства на )з и переброски одного члена в правую часть) получим следующее равенство: а Ь = — — а. ) Мы всегда можем поьгенять порядок следования векторов так, чтобы нулевым оказался первыи из векторов ) ))оменяв порядок следования векторов, мы всегла можем побиться того, чтобы линейно зависимыми оказались первые л — 1 векторов 50 Вектогнля ллгевгл ~ГЛ 2 Вводя обозначение ) =-иЯ, получим, что Ь = ).а.

Таким образом, вектор Ь равен произведению вектора а на вещественное число Л. По определению произведения вектора на число векторы а и Ь коллинеарны. Необходимость доказана. 2) До с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы 2.2.

Таким образом, нужно рассмотреть лишь случай, когда векторы а и Ь ненулевые. Но если вектор а ненулевой, то из коллинеарности векторов а и Ь в силу теоремы 2.1 вытекает существование такого вещественного числа ),, что Ь = ) а, или, что то же самое, (2.7) ка + ( — 1) Ь = О. Так как из двух чисел )ч -1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство (2.7) доказывает линейную зависимость векторов а и Ь. Достаточность доказана. Следствие 7.

Если векторы а и Ь не коллинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди двух неколлинеарнгях векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми). 5. Линейные комбинации трех векторов. Определение. Векторы называются к о м и л а н а р н ы м и, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Доказательство.

1) Н е об ходи м о с т ь. Пустыри вектора а, Ь и с линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа сь, !) и у, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство аа + ))Ь + ус = О. (2.8) Пусть для определенности отлично от нуля число у. Тогда из равенства (2.8) (посредством деления этого равенства на у и переброски двух членов в правую часть) получим следующее равенство: а !3 с =- — а — — Ь.

у у Вводя обозначения ),=-и/у, р=-))/у, перепишем последнее равенство в виде (2.9) с = ) а+ )тЬ. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛЦИИ ИЛД ВЕКТОРЛМИ Если все три вектора а, Ь и с приложены к общему началу О, то из равенства (2.9) следует '), что вектор с равен диагонали параллелограмма, построенного на двух векторах: на векторе а, ерастянутоме в )ь раз, и векторе Ь, врастянутомэ а) в )г раз (рис.

2.10). Но это означает, что векторы а, Ь и с лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Необходимость доказана. 2) До с тато ч ность. Пусть векторы а, Ь и с компланарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Прежде всего, исключим случай, когда какая-либо пара из указанных трех векторов коллиыеарна. Тогда в силу теоремы 2А указанная пара векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все три вектора а, Ь и с линейно зависимы. с Остается рассмотреть случай, когда в тройке векторов а, Ь, с ни одна пара векторов не коллинеарна (и, в частности, отсутствуют нулевые векторы )).

О а Ла Перенесем три компланарных вектора а, Ь и с Рис. 2 )О на одну плоскость и приведем их к общему началу О (рис. 2.!О). Проведем через конец С вектора с прямые, параллельные векторам а и Ь. Обозначим буквой А точку пересечения прямой, параллельной вектору Ь, с прямой, на которой лежит вектор а, а буквой В точку пересечения прямой, параллельной вектору а, с прямой, на которой лежит вектор Ь.(Существование указанных точек пересечения вытекает из того, что векторы а и Ь не коллинеарны.) В силу правила паоалллелограмма сложения векторов вектор с равен сумме векторов ОА и ОВ, т.е.

В РЬ Ь с = ОА 4- ОВ. (2.10) Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а (с которым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1 найдется вещественное число ).такое, что ОА = Ха. (2.11) Из аналогичных соображений вытекает существование вещественного числа )г такого, что ОВ = рЬ. (2. 12) ~) В силу правила параллелограмма сложения векторов и определения произведения вектора яа число (см.

и. 2), ))ри этом мы исключаем тривиальныи слу гаи, когда векторы а и Ь коллинеарны. В этом случае компланарность векторов а, Ь и с вытекает из гого, что эти три вектора, буду ~и приведены к общему началу О, лежат на двух проходящих через точку О прямых; иа олной лежит вектор с, на другои — оба вектора а и Ь. т ) Термин лрастянутыи» следует понимать в указанном в и 2 условном смысле. ~) В силу следствия 2 из теоремы 2А в паре нсколлинеарных векз оров не могут содержаться пулевые векторы.

52 Векторнля ллгеьрл 1ГЛ 2 Вставляя (2.11) и (2.12) в (2.10), будем иметь с = ) а ч- РЬ. Равенство (2.13) можно переписать в виде ) а ч- РЬ ч. ( — ! )с = О. (2.13) с =) аз-)ЛЬ. (2. 13) Следствие 2. Если векторы а, Ь и с не компланарньг, то они згинейно независимы. Следствие 3. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора ). 6. Линейная зависимость четырех векторов. Теорема 2.6. Любые четыре вектора линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего исключим случай, когда какая- нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна.

Тогда в силу теоремы 2.5 указанная тройка векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все четыре вектора линейно зависимы. Остается рассмотреть случай, когда среди С четырех векторов а, Ь, с и д никакая тройка В векторов не компланарна (и, стало быть, нет с ни одной пары коллинеарных векторов и ни од- О а Л ного нулевого вектора )). Приведем все четыре вектора а, Ь, с и с( к абрис. а 11 щему началу О и проведем через конец 0 вектора д плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов Ьс, ас и аЬ з)(рис. 2.11). Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы а, Ъ и с, обозначим соответственно буквами А, В и С. (Существование указанных точек пересечения вытекает из того, что векторы а, Ь и с некомпланарны.) ) Иначе зти векторы оказались Ьн линейно зависимыми г) Согласно следствию 3 из теоремы 2 5 в тропке неконпланарннх векторов не может содержаться ни одной пары коллинеарннх векторов и ни одного нулевого вектора.

Характеристики

Список файлов книги