Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В да!Ьней~ше:"i. чтабi,! паЛ'iеркнуть, 'iTa ре'!ндет а ряле с палаЖi ,iеш,ньвш членюш. мы часта будем абазначать члены такага )Ядасимвоюм Pk вмест!, 'ltk·.~Лы ыа:ж:еы сразуатыетить аснавнае характеристическаесваi!]СТiЮ р!ща с iюлажительИ(,!'iлена:": ТЮ! ",р"v~,"""нч'Частu'Чн'ы:r С'ij,лМi такого р,яда ,явл,яетс,я неубыва!!'ще'Й.Эта паЗiюл!!ет!ам"'тверждеi не.Теорема2. Дл.:!С ПО !!';)lситслJ,i!.ы ',"'Члена,лiU с:rодuлс.я. необходu,лiO U достато'Чно. 'Чтобы nоследо!!!'rnСЛJ,i!.о,rnJ, 'Час пи J'i!ыxэrnогобы"л!' О 'lЮ1l!f,''lС1lU,Н е ах а Д и м а с т ь следует из тага, что.
всякая СJадяща!!с!!iемыiЮG!едавате. !Ьнаст,ЯВ.)Яетс!! аграНИ'iеннаi!]Jвтea~3.8),а с т а т а ч нс т ьвытекает из таго, что ш 'сле"!.аватель~насть частичны!! сумм не убывает и, стала быть, для СJадш\юстиэтаi!] паслелаiiатеЛi,iЮСТН дастата' !На. Чi абi,! ана бi,!ла аграНИ'iена (в силу теареыы2.3.Признаки срав!иени!!В эта'Mi,! устанаi!ИМ р!!дпризнакав, пазво)Яющих сделать заключение а схадимасти (илиiаСJадш\юстиiрассмат] !Иваемага ряда nосредство,лi сравнеюшг2433'lEHAMll1.lbI3./'=1тель1-tым:uu 'Чле1-tа.лiU?U~P!!!!'UC!iП !сть, далее, для всеУ 1-tо.лiеровkсnравед{!()( 3,14)за собой !хо )п !,!ос пЬ ряда2:={k ОЛС'ЧСii!расходu.л!О! т!!k=l2:= p~,рядаk=lД а к а з а т е00Pk и;rai!ь с т в а. Об! значиы n-е частичные суммы ря-002:= P~ caaTi!eTC [ве;k=(1::.14)чает,{S;Jза !iЮ!iаем,что.10 через Sn И S~.
Из Hepa!!eHCTi!a!iTa Sn ~ S~. Пасле;rнее Hepai!eHCTi!O аЗiiааграниченнастьиаСiедавате!Ьнастичастичных суыывлечет за сС!бай j!граниченнасть ИС!Сiедавате!ЬнС!сти частичны!! суыы {Нn} И; наабарат; неаграниченнастъ иаследавательнасти !iастi1чi!ыIx с{Sn} влечет за сабай iearpa!насть иаследавательнасти частичны!! суыы {H~}.силу теареMi;! 13.атеаремае13.3даi!азана.а н и е1.В .·сюв!!бавать, чта[)ы неравенстваTeape!ibI 13.::маЖiЮ тре-была выиошена не Д!Я всехнС!ыерав k, а ли! !Ь j!·а'ЧUi!а!iпСJ>;отОРог!! jfOMCPU k.самаы деiе,в силу и.
3 § ,атбрасывание канечнага числа членав не влияет( 3.14)на схаДн'" асть Рiща.а м еа1::.::еост! пСiЛС.I! с/!раОС )лщзой,еслu в условuu!той mеоре.лiы за.лiе1-tumь неравенство13. 4)пср! Ш'i!С!!! ООМ:( 3.15);дс С-силу и.!юбuя !!!!ЛО.!Н !(,ii!СЛЫl!!'3 § 1,!!!!Cii!O !!!.1l! Я. В сама:' деле; вваирас а схал!!" 'астн ряi.a2:=э !i!Ивалентеi/,=100ваирасу а схадимасти!Яда2:=cp~).!И этам, канечна, ыа:ж:1на тре[)аватъ, чтабы неравенства ( 3.15) была выиалнена, лишьначиная снекатарага дастатачна ба.iЫ юга наыераkсос!J.M·/k'f.ленря!! ГО гтnро,';'k=liiоне'ч,ныii пределхLто CJ;oJUAtQcmb рядаоле {ет за собоu сходимость рядаk=lос!Pk; ра.с;о !U.М,ОС'П!;Lряд!!т=1вЛi'/,('i Пpi,'собоu ра.с;оаu.м,ос'П;'k=lос!р.яrJаLkp~.1Д О К а3а т е л ь с т в о.Так как liш Р:. = L, то, поопределению предела, для некоторого стакой, ЧТО llр;; kN?LСтало быть, приk? N>справедливо неравенство+ос!.4.Р;.NL+c.ПосшдНti ;СР;;15С;i;Дi;С;;СР"15С;L с.
В СIIlу,аJ\1еЧi;ЯИЯ 2 к теор, м; 1;\.3Теорема 1ii---+OC!О найдется номерLПустьpi, < (L(13.1 v;)c)p~.=рис;,ДСТВИС докаЗi;ЯО.ос!LPk UP~ -доа ряда со строгополо нпt'П iл!;,!!.,;t.. МU 'f.лен J.MU. Пуст,!;, !)алее, для всех '!!О.меровkсnраuедлш о нераuенстооPk+1t«Pk;- 1 •(13.J6)Р"ос!Тогда CJ;oJUAtQcmb рядаLP~ илечет за собо/; CJ;oJUAtQcmb рядаk=осLос!Pk; расходимость рядаLPk илечет за собой paCJ;oJUAtQcmbk=рядаLp~.k=lД О К а з а т е л ь с т в о.k = 1 2, ... ,n - 1,ДС n -Запишем неравенстволюбо/;''';'''р. Будем(13.16);;СТЬI/~"'".длягlOЛО,:llТЕIЫ1.lbI11{ ,ВСС наш,с 'ННЫСИЛИPi' ~Посколькуш,i ,С. ,Ci' Ю ра13ею '1'13' ВСР,,peд~с'Га13л"ег собо!·:; nОЛО.Ж im,еЛЫ-l./jjП 'iiiii"iТiОЯ'Н.· {<Ц'lO, 'jje '{j6'!!.С'!!Щ:IJ'IOни.мера.
'п, то,l:ИЛУ ~аЫl:ilCLНИ}l L кTCOPCblCL 13.1TCOPl:bll:ДОЮJ.З!Ш!..i..3а м е ч а н и е3.В !'СЛОВИИ теореJ\IЫможно Tpe~13.4ToiiLТ нсра13СН!'1'130 (13.б,,tjlO 13ЬШ{'номеров k, а лишь 'Н.а"нmая с 'jjenon орого 'j!o({;;НИi KO;;CijО чи{11'рВ,'Хнс 13ЛИ!,С',НС дШ всех(ибо отбрасы~на СХОД""1'"ряда).Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют те!фиведем примеры применения признаков сравнения.1.Иссш дусм ВОЩ}i ,;СХОДИМ, i{ти ряда00L з:ь kд'ЬО.k=lЕсли Ь1,ТО k~Ч'lС;р ;П'ма, РИl!!!,'мог{, ряда,с''1'РС;,;ИТl Я Кнулю при k --+ 00.
Стало быть, нарушено необ шдимое условие!ХОДИlЮСТИ ряда и ряд раСJ;одuтся. Если Жi Ь1, ТО, ЮСКОЛЬКУдля любого номерасправедливо неравенство13 + bkи поскольку ряд00L1kk 1Ь1<bkсходится, теорема сравнения13.3позво~ляет утверждать сходимость рассматриваемого ряда.И{ilero11 ДУСi'ряда:,рос О {ХОДИ ЮСТИ Д Ш люб,!! о а1слсдую~00L1... + k'"1k ", =Этот ряд часто называютПосколькури а ~ 1 ДЛ!' люб,,; о(13.
7)гпр.мо !U'ч,;СnU.il' ряr!о.м.'iiщ'ра k'i!!13iДЛИl!ii 'CI)!J.~венство~и поскольк!' гармоническии рядсравнениядЛЯ13.3аk1расходится),то теоремаk=lпозволяет! тверждать расходимость ряда1.1) РаСХОДИI\lОСТЬ гармонического ряда установлена в п. 2 §(13.1 Т;РЯ,lOВ[И,H t , t aзнака сходимости рядовбtс положительнымии Коши ПришаЮIи Kll iчленами111'H01311 iнии рассматриваемого ря (Д с ря юм, составленным из,рог! ссс ш,а·,с,1'0СХ; i,ШШИ,С,\Т[ементоврядо·'...
,(13. J8)или с расходЯI [имся рядомос!2:1=1(13.J9)k=Теоре.мй 13.5 (ПРUЗ1-/,аn Дшш.мбера)номероucnp(J61k,').1. Если IjЛЯ 6сеlили по 'Х:райне/i Atepe 'Н,ш'ш'Нля с не'Х:оторого HOAtepaIjли60'!!ep(J61k,'!!сm60PHl :;::::1 2)q( PHlPk(13.20)Pkос!то ряд ~Pk Сl;одшпся (раСl;одится).k=П. Если СУЩiСТП6Уi'!Р Прl Ijелk-+OC!Pk+lPkL,(13.21)ос'IТiO pt.a ~kPk СIОijШi СЯ при<и Р(JСlодиmся при>1'.,), II оiiLПназ'.1iZ"ЮТ призна'Х:ом ДалаАtбера (J nj,е~IjеЛi,НО'Й фор,ме. в ,той форме он наиболее часто используется.Д о к а з а т е л ь с т в о.Разберем отдельно теоремыи1.1) Для доказательства теоремы 1 положим р;, = ql' (p~гд'неравенствоI 3.20<(p~+=1),в видеР'+1 ,,::: p~+Pk(13.22)'"1) )KI1': ЛСРОi1 ДаЛl1мбер - франц! зt ,шй мап'ма', икфилософ (1717-1783\.ох;2) П] И этом, конечно, цредцолагается, что все члены рядаLk=lне;" мере начиная снекоторого ноыера) строго цоложительны.Pk (цо крайl,lbIгТ;;;,437lOЛО,'illТЕlЫкакстоди'Гс;;,epalle), сю'~,а ОСНО13а;'Гeope~:\.22,С'111О;;ра ПИРУ';;LТ(13 12) ((В,ходи юсть (р;;;ходимос [Ъ)ос!LPkeopeMa 1 ',оказанаk=l<2) Докажсм т,'псрь тсорему 1.
Если L1 то найд' ля по+ЛО ii,'И'П (ЛI;'!!.Q, число Е такое, что L =2Е иЕ =Е.ПО,р, делению врсдсш,; ;CДi";;;TC "ности дл;; УЮi"З ;нног;, ЕNнайдется номс[,kТ;;I,!,Й. что приL-E<<L~NЕ=-Е.(13.23)]JkLЧю++Ч'1';, LнеравенствЕ1-=>Если же1,и L ~1.;,рем;. n это;'Ряд ,ходите,.число Е такое,;Н'НО13а ,ю, ;;'130ГО из~(при>L-E=lос ,,,;;;;нии TCOl); мы;сходил я[,q 13 '1',получим(13.23)]JkРяд'Т [1Ольто найдется ПОЛО iiПl'П (Л'ЬНО,1.N).Теорс;," 13.5юлносты(;доказ;;на.3а м еч а н и я к т е о р е м е13.5.
1)Обратим внимание нато, что в теореме 13.5 О) неравенство Рн:::;; q]Jkначиная снекоторого) '!!еЛI; iЯ iiJме'!штl; на]Jk+]Jk(для всех k,<<1.В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (/3.12iik+ 1расход" "Я, но дл;; Э'1';;; О-'- = - 7;' 1 (дл;; ВССХ]Jkk 1ров k).ЕслиУ' ;;,щшх',1 13.5 (П) L = 1, ТО нельзя ск ;З;;'1",ничего определенного о сходимости ряда (т. е. припризнак<Да,;;;мб,ряда«НС деЙСi ВУСТ»).= 1,(13.J2) L'ТСn CiiMO;'делс. дл;;;;рмо;;;;'ског;,причем этот ряд, как мы знаем, рас,одится.дл;;'1',ос!L:'(13.k=lтакже'ун;,;тс,,сход"но;тот ряд, как б; дет показано в след; ю; ;ем,;Я.Теорема 13.6 (nризнаn Кошu). 1. Если ;}ля вс;jЮО k, ИJШ по 1ЧXluнеu Atepe НШ'l1mая с некоторого HOAtepak,справедливо неР(Jв(нС'!лво!fPk :::;; q <(!fPkос!то рядLk=jik Сl;одится (расходится).~1)(13.25)ря.,'ЮВП"!jЩ' ,'т !чет пр! делliш(13,26)=L,хос!'IP()рядPk С;iil!'/},'i!'I'Я пр'/},>k=lТеорем'!' П обычно называют при i'i!Л'Х:О,М Коши 6 nредl л ;'!ШUформе.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Разберем отдельно теоремы1.1) дJlII докаЗi3ТС'Т13а '1';'111)('I'ILT 1ТI'Д" Иi(13.,IIЖИ;' P~ = qk).iГ Ш ;'(Pk ~ p~).(13.00Так как рядLkp~, совпадаю; ;ий с рядом(13.18) ((13.19 ),сш1дится (расходится), то неравенство (13.27; на основании теоpi"LТ,iЯ 13.3 гар 'НТИРУi'Т СХОД'I'т,, (р iiХОДИ;ШСТL)ос!LрядаkPk·113.6 а) ДОКi3Зi.iНi3.доказательства теоремыiПОРИ [Ъ сюд; I,i" iaiCJlLCiYнаТсо;нШ;13.6(П) следует дословно по(П), з,,; ,сни;; 130 13ссх13.5ifiik."1ЪЮ докаЗ"на.3 а'м е ч а н и я к т е о р е м е 13.6.; Как и в предыд'(" iей'1';111)(!i'OPC'I'C 13.6 (1) н; ра13; Ш'1'130 ifiik ~ qзаJ\Iенить на {fiii; < 1.2) Пр" L = 1 РИiНак KII; ,и ЩJiДi "ной«Ш д;йствует». J\Iожно сослаться на два примера, ,'('казанные в соответствую;3)ieMзамечании к признак'('lаламбера.Возникает ТliiПрiiС о тны, КiiКiiЙ из 11:ВУХ призн 'КiiВ, ДаЛiiмбеРii и,iиКiiШИ. ЯТlЛii"ТСЯ бiiЛi'i' СiiЛЫii.iМ.
ПРiiаТТii,iИЗiiруе'"этiiт ТliiiipiiC ТI iiТТТiiШПТИiiпришакови Коши, взятых в nредеЛЪ1iОЙ форме. Можно доказать,из СУЩi ств iваnил n,редела (1;;.21) 6ЪU7'iJ;;аеп' СУЩiст6iiва1iиедела (13./6)ф;,,'т п!'uе1iстi!i' этих пределов. (Р10каsaтельство пТ'иведеноТI 11: 'Щ).iТТi !!ИИ 1этойОбрат!! 'е ТТi ш·ртто.са \!ОМлеп<о убедиться в тоы, ЧТО для ряда~(-1)k+з(13.28\2Н1Lk=предел(13.26)i .... щi·ПТl\Тт.сушествует И] авен1/2 в то время;;,,\ КошиТiii\ИМ образ;"", ттризкак П] едел(13.J1) воо!)шеiblTbl\i, 'ii'MБО"iее си,пришак ДалаI\lбера, ибо всякиii Т'а!, когда действует пришак Р1алаI\lберадеiiствует и пришак Коши и выесте с теы существуют ряды (наПРИI\lер" рядг1;;.28)),43')lOЛО,;llТЕIЫ1.lbI,n:л;; которых ·,.еЙс, пу("г при 'П11(( Коши И пе m'йстпуе'( при:~ттак Да-л"мбср"па "'го, призпа(( Дал ,мбср" па практИ«с употрсбл и'тсячаще.
чем П] изнак Коши1)р и м еры.Иссле. ,уем вопрос о с (одимости ря 'дос!Lk=lПри( "НИ('Pk='РИ.шак Да'IХДСJlLi( д)"-k~.k!(Ik)k]Jk(1;1.30)На основании13.30liш РНl;"-+х]Jk1,т. С. ряд(13.2 1}) сходится.Из, чим вопрос О сходимости ряда2)осL(1;1.31 )k.А=1IIрименим признак Коши в предельной форме. Имеемifiik = -vk.2На основании1!yГpk=-(13.32)(13.32)kl1(;;-+хvk=-<l2.Такимобразом, при_з~ак I<оr:rИ'~'~та~~вливаеТСХОД~l\ЮСТ_Ь ряда (13:31).ИнтеГРЙЛЬiiЫИ ПIНiЗiiЙИ.
КОШi'i-Мйи.лорена, Пр"з,и Коши оказываются непригодными для выяс4.киl аламберансни"рядов130111",,'асходи·,;;" 'ТИ ,;; 'КОТОI ,.!Хс положительнымиЭТ"Х Щ",3,,Счленами."с ,ЛЬ130[[ак,"1';;,liстрсча,()щихс"например,с помощью'ХОДИ\'юсти ;;,бобшснного гармонического ряда(13.33)(;; 1хлюбое ве! !ественное число)...1ля вычисленияlill1.-++следует П] ологарис.j,мировать выражениеи применить правило Лопиталя.ря..·ЮВ2 мыpacxo.i.рядаiиi"iляj'l\Я}'i'Шii llШ Ш, Ч'l'ii iрИо; Ц)LПЪР'iZiiПрОСО~1(133:\)сходимостиiQЛО/;iti 1 Л'ЛLi i,iМИiрИ'iН!iК СХii.i,ИЩН·ТИlСi"i 1 iИ.которого, В частности, бу,iет вытекать СХО,iИМОСТЬ РЯ,i.аiрИ аЭТiii ОЭТОМ пункте мы установим е; ,.е один об-приiiЗ(1:\.33)1Теоре,м,а 13.7теоре,м,а Т(О?lш-Ivlа1\,лоре'/-l,а). Пустъфу?!'К'Ция (i) Н10mри'ЦатеЛ!;,/-(,(J и60ipacmaem 6C'lOiJY ?!л nолуnря.моU х ? т, где m - любоu фи'ксиро6анныi1 номер.огда'ЧиСЛОi ой рядf00L J(k)=Лт)+ ЛтЛт1)(13.34)2)k=mи п;·олъ'Ко 6слу'Чае, 'Когда СУ'Щi С'!Л6уеп , nреnоследоuателъностисходится 6дел при n ---+nаn =(13.35)/J(X)diтnдзт С лПУСТi, k - любii[.:; HOi.iCp, yДill,lC, а х - любое значение аргумента1; ~ k.
Ti 1'iQ УСЛOlзиюf(1;творяющий условиюИ.iментаk- 1L Сkmвозрастает на указанном сегменте,то для всех х из указанногосегмента справедливы неравенстваf(k)~х) ~ff(k - 1).(13.3Ii)fФГiКЦИЯх),ра ii и ' ;t1iQiii1'1'iiННОЙ,рируема на сегменте~ х ~(см. п. 5 § 4 гл. 10). l;олее того, изнерав! ЮТВ (13.36) и из iвойства(см. п. 1 § 6 г . 10) вытек ;;''1',чтоk/kdxk-l~/kfdx/~k-lfdxk-lилиkJ(k) ~ /Неравенства(13.37)f(i dx~f- J).(13.37)установлены нами для любогоЗапишеJ\.f ЭТИ неравенства для значений /: = m.mk ? m2 ....1.,n,г441ЮЛО) <llТЕ.IЫlolbIлюб )1С; НО))С! о,,р,1)J(Tn~()) d:J:J.m+ 2)/(т~2/(х) iJX ~ /(т+ 1)т+(n)JЛХ)~d)~ ЛN11Складывая почленно записанные неравенства, пол'! чимt/(k)~J·.-1j(1; dxL j(k).(13.3S)mДоговоримся обозначать символом 511 n-ю сумму ряда(13.34),равнуюnIIриняв это обозначение и учитывая обозначениеСШДУЮЩi)"'р, iюооаiЪ(! 3.35),мы мо-(13.3S):(13.39)Неравенства(13.39 позволяют без труда доказать теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
