Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В(13.35) ()чiчто lli)' )iOД{)){))'1'Cд)'ш." из фОР\'iуность {а n } является неубываЮi iеЙ. Стало быть, для сходимостиэтой посшдоват)'льНl)('ТИ НI'{)бходима и до('таточн))ность.диi,)и ДО("1'))iОЧ)неравенствнич)'на()гранич)'нIля сходимости ряда(13.34) в силу теоремы 13.2необхоОГР))ЯИЧ)'ННОСiЪ ЮСШДО13))iiOJlLiОТе) {5 u }.з(13.39 вытекает, что последовательность {5n } ограи '1'{)тогда, когдара)lli)'тогданость {а n }, т. е. тогда и только тогда, когда последовательностьа u } <ходитс" .доказ)ша.р и м еры.Прежде всего применим интегральныйПРИ.шак Коши-J\)I)),клорсНi), для выясн)'ния СХОДИJ\Ii)('ТИ обобшо)'нного гармонического рядараСС i ))'1ОРИ13аiЪ какфункцияj(13.33 .
1Iосколью' ряд (13.33) можноiрИ m1 j(1;~ и13ида(х) убывает и положительна на полупрямой х~"Ca1,ря..·ЮВ,рос(ходигюсти ряд!!. (133;\) ЭК13И15 'ЛСН'l'!мости Ю("ности {п n'.Сl-а,росу о !ходи~при1при=1Из вида1лементов а n вытекает, что последовательность {а п }, 111 сходилЯ,ри а ~1и сход, 1"Я11'1--+00при а ~1 (ЭТi1сходится при арсход,л 13 рядри аГ' та1>частности,(13.рич!1,аким i1бр" ЮJ\.f, ряд1ХОДИ!,ЮСТLприаюсшднсмрасходитсядру, И 1 'юсобом) и2 ряд (13.33) пе~КОТОР!11 оутверждать.2)Исследуем вопрос о сходимости ряда00L kЫЗ k'(13.40)k=2дс (3 - Ф,1К1'ИРО13 1111i1ЖИТС "нос 13СШСС, 15С1ЧЮ(13.40) можно рассматривать как ряд вида (13.34) при mJ( х)= --,-. 1Iоскольку функция:" l1!' Х=2и(х неотрицательна и не воз~раст "'т Н11 полупрямой Х ? 2, ВОПрi1 1СХОДИМ!11ТИ ряд" (13.40),квивалентен вопрос',' о сходимости последовательности {а n .},гдеnап =J1--.-,хl11di~{21111З Х1- 3X-l1!lnl; I -nвытекает,(13.40) сходи'!iСЯ при3х=2Х=.!Из вида \Т[ементов а niХОДИТС.! llрИ (31и5.11111n -11,1-З1fJln n -что111ln 2при(3при(3i=1,1.последовательностьfJЩ1,1~ 1.
Тii'iИГiи рп.сходится при (3 ~Признак Раабе. Пришаки ДалаI\lбера и Коши были основаны наср,шнении Р".i.iмаТРИВ1Н'МiН'ii ряРЯ'n:iiI\l, ПР!''n:СТiШ.Шi!Н'1ИI\l .iобоiiCYM1iYгеОI\lетрической прогрессии. Естественно . возникает идея о получении бопризпаксш,остто 11ШТТЫХ1111 .ipan1П1ИИрасе· 1припас'·1ОГОрясдр' ГI1I\1И стандартными рядами, сходящимися или раСХОДЯШИI\IИСЯ «медлен-''''Мpi1'n:ЭТОМ'1.Ш г!'омстрической ттрогрессии.'.
'Ыпризпак, iiСТТСН11ШТТЫЙ па ср шттсттии расе·"триваемого ряда с из' ченным в п] едыд! щеI\l пункте станда] тныы рядом(13.411443lOЛО;,;llТЕIЫPl.lbIпр ninaiii'1М MiipOB,,'ото?1iii+lk,или1iOMepi' k, сnр: i.едлиi О Ноер: i'е1iстiЮ0'011 ,2)(1342 iр:хто р.я,д ;-:сr:одитс.я,Phk=lП.;уще;rnвуеrn чреде'![. (11П1k-+=- РАс+1)- - =L,(13.4;;iiXJС.Т iJu ii;.я, 'ipu2.:]Jkто>L1 и<L'ipu1.Ас=1"б ,iЧПО паз ,ШiiНЛ iiризпаком Г iiiбi' вформе.О к а' а т е л ь с т в о.
Раз ;ерем отдельно теореыы1)ДЛii ·i.Оiiаза·i i'.ii.(iT"·· Te"pi'M ,i1 ПСРi'пише'··{ РН 1qТакiiaI< q>>ПiiЙ 'iiiТСЯ пск(л1,+п ii()i.ie iпей фОР'·.iУ.Пi':> 1 _ ~}"/'(х+ х)'2 § 15)"'n:iiПЛi' iПiiрiПОЩСС Пi'ра-цо фОРI\lуле Маклорена сг. i. 8) бу н'м иметь+g'= -l/k. iiО.i)"ЧИМ1-:::' (1)k .k(13.45 igg(1/k)ПОi кольку цоследовательность ~ является бесконечно I\Iалой,пексл "рого п; Р. 'i'pako(13.45)и(13.46'.14)на-(13.46 iа.ШiЛУ П1I\! НСРiШi'НСТВО1Срап iПТИi' ТТi рапеП i тптоспр iШ''n:ЛiШ'' ТТi рапеП i тп"g(l/k)~~qСОШiСТiШiЯЯпи,n:е(13.44)k'"POi' 'iiiСЛО>венстваы qQ1.
Рюложив ФУНКЦИЮ"CTii п'чным ЧЛi'Н"" П фор'.!!· lсано (см. ц.1и(13.42)пер iiiПТСТ iOиqk(ц] и(13.47k o).17) ,n:aeT(цриk ?:]Jk1 По ;еф Людвиг Раа (е -швеilцаРi кий математикyi)l i,онечно, цри ЭТОI\l цредцолагаетсячто РЯД2.:PkЦО к] ailHeil мереАс=1начиная снекоторого ноыераимеет строгоnОЛО:J/CnтеЛ'Ь1iЪ'.е"iЛе1iЫ.ря..·ЮВР(+lPk(kk-1>Поскольку !,яд (13.41) схо'iИТСЯ при Qнеравенства (13.481 и теорема сравнения1 и расхо'iИТСЯ при Q = 1, то1:\.4 позволяют утверждать, чтоосрядI: Pkсходится (расходится). Теорема1 доказана.k=l2) I'о'ШО а1< же.
ка1< иму П К теореме1. IYCTbП" "пределению пределаIk (1с 1<ОТОРОГОпризна!<аХ Даламбера и Коши, мы СilедемсначалаL> 1.Полшким с(13.4:\" для этог"LI < с,]Jk±l)ео! еL 1= -2-' q = 1 +:0 = Lможно YKa:~aTЬ номерс.на-,стало б,.I'1"1., спране7\ЛЮЮ ле,юе<"еране"стно (13.42). Еслио .
".[ !юло !<им с =и, испол,.зу<определение предела (13.4 \!, получим, чт", начиная некот· .рого номера f!o,справедливо правое неравенство (1:\.42). Теорема 1 \.' полностью доказана.3 а м е ч а н и е. Отметим, что в теореме 1:\.!·' (1) в левом неравенстве(13.42) неш.З<q= 1,'l'OM СХО7\ИМОСТ,. р<ща .
Ю<i<ет не и\,е!'Ь . ,еПри L = 1 теорема(П) «не действуел> (в. ·!можна и ''Ходи]\шсть,и расходимосГJ. ряда).При м е р.Исслед.. вать вопрос о сходимости рядахLPk,где{а =const> О).k-')Ле! 1<0 про!\ери'!'ло "ризна1<i' ДаламбераКоши н "ри\,е"ении комуря !у ·,не 7\еЙствyr· ,Лс. 1рименим признак Раабе. Легко проверить, чтоНетрт!но сообразить, что последняя 7\робь при k ---+ CXJ стремится к производной функции аХ в точке х = О, т. е. стремится к ln а. В силу признака>>Раабе рассматриваемый ряд сходится при lna1, т. е.
при ае, и распри ln а,т.принопрос О сходимостиряда требует д'шолнительного исследования, так как при:~нак Раабе «не<7\eiic!!\\'е<Дрyrи\, примером ряда, н примене! ии к 1<ОТО! о\,уел. пришак Раабе, может служить ряд6.«,е дейстну(1:\.40).Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже отмечали. что признаки Даламбера и f<Оii!И основаны на сравнениях рассматрива-емогодля'равнении с. 'сте'reor.,e !'l)И'lеС!(оiiпро,рессии, а призна1<'аабемедленно сходящимся {или расходяшимся) рядом- на(13.41) .твенно, во:~никает вопрос о том, 'Не существует ли та1;;ОU у'Нивер-м· ')'еn'Но!)'Не'Ние с 1;;отор'ь,'(-р.\.д,позволило бы сделат,.
за1;;люче'Ние о сходи . ·,!остирасходимости) любого 'Наперед взятого рядаилиnОЛО:JICител\.'Ными чле'Нами.ШЕе>; ГТЪI;'шше; С;,Л1f\B;,;юг() РЯf\;'11,;"б"ш;,чим "Ю\IБ"Л ,мисх, 'дящих;;я ряд;,и"';"тв; т-,Х·с;; ;;;'нЮчто Р; дихр.яд11,ee,Pk,Е;'Меслищег"с;' р; да су" еств;;етI:что для nа;нсдого 'ходямедле11,nеесамо',Х·деле, ,;ус';I:любоii сход;;щи iся ряд; г n --его nй ос ;а';ок. До ;ажем,k='что рядp~, где 1) p~ = ~'Гk-ly7k, сходится мед ;еннее, чем ряд-00самом деле, если г' -nй остаток рядаI: p~,ТОk=llim г n = lim ~ =0.n--+,Х· T~,''-,--+00vr;:Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение скоторым позволило Г;Ы сделать заключение о сходимости любого напередизя ;'ОГО с;;о';яшегос;; ряда.
В само'';еле, если б;,[ та;юii уни;;ерсальн;,[ii схо-,Х·д;;щи iся РЯf\I: Pkсушес;; ;;о;;ал,О,f\ля не;о ПОС'l'роен;;ый ;;ыше рядk='мы ПОЛУЧИЛИ бы. чт"lim Р; = limk--'"k--'"rk-l ~ -г;VТk=Таким ;;;';ра:юм, из сраВ11,е11,ИЯ срядо','lim (vrн + vrkRО.k-+(X)Pk11,елъзя сд;;лаmъ заnлюч;;11,ИЯ о00I: р;.А;шло;и'шо f\оказ;,шае'; ся О'; с;' ;'С'; иие ; ;;;шерсаш,k-lного расхо';ящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходя ;;егося ряда.§ 3.Абсолютно и условно сходящиеся ряды1 ПОRI5:RТИЯ абсолютноусловно сходящегося ряда,Теперь ыы шрейдеы к изуч~нию рядов, чл; ны которых являютСЯ вещ~ств~нныыи числами,;,бс:го ;нака.Оnределенuе1.Буде,м называтъ ряд(13.49)1)Запринимаем всю суммуI: Pk.k-lря..·ЮВтн() J()ее!!·;!00LkчтоiiИ [!П!!!fipe1\e.!ieiiiieCi·;a:~af!O о 1'ОМ, преПО.!iага,тся ли при :'JT,!M СХО1\ИМОСТЬ са1\ЮГО РЯiiа(1:3.49).UKa:bI-'i!!~ТСЯ.
т !i';O~ ПР!Дi!ОЛОЖ!НИ! оказ,.!.ЛОС:!. бы излиш iИМ,В!"iip'!-i.!iИва СЛ~1\\'!!'щая T!op~Ma.Теорема 13.9. Из сх idUMocmu рядади.мость ряда (13.49).Д озО.ШИ 1\.!!Я РЯ1\а (т.Bblm"x:aem схо-(Во! i!ОЛhЗУ~М!'Я i';РИТ~РИ~М Ко-13. ). Тр~бу~тся 1\ока:шть, что 1\.!!ЯHOM~P N 1'aKO!'i, '[1'0 для iIC!X HOM~POH N,>люСю! О GОiiiВШТВiiРЯПЩИХ • СЛОВИi!'~, и 1\ЛЯ люБОГii натуральНi то рn+рL< с.!ikkn+любо! G> О.Тю; i·;aK руд(13.50)С:ОДИТ! Я, 1'0, R ! илу1'!OP~MЫ 13.1, Н!!ЙД~1'СЯ HOM~P N Т!!i';ОЙ, ,[то Д!, ilCTX HOM~POH N,iiiВЛiТВОРЯПЩИХ \'СЛОВИi!! n ~, и 1\ЛЯ любого нату] ,аЛЬНiiГО рn+рLkИМ~ЯiIИДУ.чтоlltkln+lМОДУЛi.!'уммыii~! i·;ОШ,t.fВiiСХО1\ИТ С! ММЫ ИХ МО1\.;Ш й.
мож~мn+рkслага!';аписатьn+рL!ik:(kn+Н!Р !il,RCT!','3.52)С.L(13.52:Iщl·( ::.53)n+(13.53:,получи.' Н!Р !il,RC[ ilO). Т!ор~маюка :ана.Оnределе'Н,uе 2. Ряд (на8ыаетсяя у с л о вд я 'Щ и .М с Я, если этот ряд сгодшnся, в то вре.мяо с х осоотr.;ar.;ветствующий ряд из модулей (13.5О) расходшnся.абсоЛ'!отно СЮ! !ЯЩ!ГiiСЯ РЯ1\а мож~т СЛУiЕИТЬ ря001) kko.1= 1-~+- -40+ ... , Г1\~ а1.СХО.iiИТСЯ абсолютно, ибо П] 'и аСХО1\ИТСЯ ряПРИВ~1\~М приы!р условно СЮ! !Ящ!гося РЯ1\а. Докаж~ми УСЛОВНО, Х{,ШЕС'1Г4471.·lbIос!L!,=11123Так как со, тветствую! !.ий ряи:~ МО1\' лей (га] .1\юническиЙ РЯ1\)как мы '.'же "',насы, расхоJшnся, то i.ЛЯ,·ходимост,i ряд"+niOKa"',aTe.ibcTBaусловной(13.54) до,.·'Га! ОЧ!Ю до !.;" зarъ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
