Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 80
Текст из файла (страница 80)
'!'ГОряд с:о-1\ИТСЯ. Докаiffеы, что ря t13Jll СХО1\ИТСЯ к числу 1п 2. В п. 2 §гл. 8 ыы получили разлож, ние по форыуле l\liiклорен" функции1п(1+х)2.зЬ(1+x;)=x-~+~Там жешя всех х и: сегментао !iяка ос, ifТОЧ!ЮГОl)n-l Хn +Rn+ х). (13.55)4+"'+U~nх ~по. !f·чена С.:lе1\упщаяЧ !е!ш:IR n +11x)1+1и (Полагая в1п2=1--+::.56)х= 1,БУ1\ем иыi ть1зг(1) In1И.:lИ1[1-~+~-~+ ... + ( 1~n-l] -1п21 <()Гюзначая черезSnn 11n-ю частичную суыыу ряда (3.54), мы можем ш {уписать пос. [е1\нее нi равенство в ВИ1\еISn -1п2<1n+l.им обр;,'1.ЗОМ, Р;,'{З fOCTh Sn111пр< д,СТ jl:~ЛЯ~ГГ саБО!-l ;'ССКОН< '{но ма.:lУЮ ПОСl' юваТi .ilbHOCTb.
Это июка ыветT СЮ 1 lИыость ряда (13.54:1н2, О персстановке ЧЛСIН. Н.i уСЛОШ.НJ CHO,.'j,.fR.11R..CrOCfR. ряда,имиз Rаж!!еiiших1ТiОik'ГR1·УММЫ коне'!но, о'!исла Rещественных слагаеыых является nеР'·.iVkстuтелъное свойство. Это1·BO:t"kTBOутвеРЖД118Т, что от пере1.·тановки 1.Л1.1Гi.18МЫХ СУЫЫ11 неменяется. Естественно, ве1 :никает вощ .ос, остается ли справе1\ло1ТiО!fi·'ГRОдля су.··с;.:одящеГО1.·ЯрЯД1.f,.
е..iVюжетлu U8.iVLе,штъся CY.iVLMa сходящегося ряда от nерестанов'Х:н членов это?о ряда? В :'J'ГОМ !lYHKTe мы RЫЯ1·П1МRОПрО1.· R о'Гношении условно сходящегося ряда. l\lbI начнеы наше рассы, 1Т]Уние с и :f·чения некоторой конкретной ш {установки ч. [енов ря;!аря..·ювДля удобf1'Кf(13.54)RifДe54)11-!1в i·;Оiще преДi.fДущего iiYHKTffи имеет суыыу-1докаЗf.f.Лii ЧТО ряд (13.54) (·хоПереставиы тепе]·ь членыln 2.бы посл~ 01\НОГО ПОЛОfЕИТ(ЛЬНОГCf ч. i~Ha стояли.iiblX fiЛ~iia.
В р~зут.fff1'( 1'аi·;ОЙ ii~P~f 1'аНО;Кiiчл~нов получим ря4~) +. ..1!k - 2ДокаЖfыйР(ЗУ'Ъ1'аi ~fзанной ii~Р~f"ГfНОi;КИYi·;ря/М~iЪШУЮ,(13":)7) СХО1\ИТСЯ и иыf(13.54:. Будс" оБОЗНffЧffТi.с\"ммы РЯ1\ОВи (чл~нов РЯ1\а7)сиыволаыи13.57)Sm(т с\мм\, в.шо(тn-( fffН"1'ИЧНi.!~ИCOOTB~TCTB(H-iЮ. Мож~м заПИCff1'14ff -124k(так.Дат f '. Cfч~ви.;шCf, чтоS~m-l1-S?2 ~тS';m-lПОСКОЛЬКУЕтm-+х, (liшт-+ооИS2m(= -S,S,+4m13.59)+ -41 2'в ПР~1\~Л~ приш лучиыт-+ооS~m-l=~··S'2liшmс (мы;; О ·;Oii iaТ~ЛhНО ДОi·; fзано, fi1'O рядiiМ~~1' СУ:' ".fY" раRiiУЮ1"2.
i- S.3.60)Т11.-S.ПОСКОЛhКУS=2 =(13.57)2i--S.С:ОДИТf яО, Яf iЮ. fiTOCTiL7IO быть, в результате У1ИЗШН'Н,Ой выше nереста-'Н,ов1Иl чле'Н,ов су,м.ма услов'Н,о сходящегося ряда (uз.ме'Н,uлас/). Рассмотр~нный нами конкр~тный прим~р пока:~ыва~т, что44~)lИЕС~l Гl.·lЫУС:1ОRI1О ~'ходящий~'Я ряд не n{)./uxJaeiYi Т!~P~ ·~E.ec п1!.т~ л'/)н ;К.М С;Ю1t~·rnло.М. ПОШfУЮ я~ f1ОС~ hна суыыу УCJЮВШ~RОПрО~' О RШfЯНИИ ffepe~ 1ННОfЮf'; ;шеf1ОRcx\~ шщегося РЯ1\а вносит сле1\\'1i;щее'Ге. 11.f1Ое .'/1'Rерждеff<аыеча-flрfffIaд.Т{'орема3.y~то. 1'О;{УХОШ 'НЛ1U'jНд ('!.! ~tЛj(); 'Ч'/J,/.MO:J/Cно та?;' n;'реставшnь 'Чле'Ны этого ряdа, 'jтобы nреобразован'Ныйряд сходился n 'Чис/!у L.Дк аа тл ь с т В О.Пусть13.61ltk1kЩ JО]Т;В, льный\'C.ilOBHO схо;шщийся РЯ1\. Об" шачим ч~р~;iiоложшnель'Ные 'Чле'Ны р ТД~~ (13.61), Rblflffbl'Втаю~мПОРЯ1\Ю.ВкакоыонистоятВ·jТОЫ])Я. а ч~р~;ql, q2, qз ...
.моJ.iули отри'Цат~iЛЬНЫХ ',Шiнов ряда ( 3.6 ). выпиcaHHЫ~ В такоыПОРЯ.;fК~, В какоы они стоят В :'JTOM РЯ1\~. Ря(13.61) соД'ржит бесnоне'Ч'Ное 'iUслоположительных. тап и-,Р2,, ...отрицатель'Ных 'Чле'Нов. ибо ~С:lИ бы чл~новшогошака бьгоf,;Оff~'ff1О''~i1fЛО,ТО.ff~liЛИЯЮЩ"fIaС:ОДИi)О;·'Гf.f·;O-ff~Чf1О' чисю mрных 'fЛiНОli. мы бы f1ОЛУЧИряд. ;'остоящийи; ч.'liНОВШОГО :~нака,f.;Ш которого СХО1\ИМОСТЬ ,у;нача.
la быабсолют'Ную ;·ХОДИМОСТh. И'Гак. С РЯДОi\'СRЯЗ jffbl(13.61);'СС-кон~чных РЯ1\а с nоложшnель'ныlivшш чл~наыи ~ Pk и ~kk1\~M обо:~начать ш рвый и; :'Jтих РЯЮВ символом Р. а вт, .роЙ ;'ИМliОЛОМ Q. Дою~ж,'fTO об;~ ряда РQ ЯR ;яют;.·Я Р ;;'ходящиыися. Обошачим симво./юм Sn n-f!' частичн\'i' с\'мм\' РЯ;fа(13.61).;'ИМliОЛОМ P;~ -CYi\"YY liCiX f1ОЛОЖИТ~ЛhНf)'fЛ~f1ОR, liXO-1\Я; ;JIX В Sn, СИЫВО.ilOЫ Qn - с\'мм\' МО1\\'ЛiЙ ВС, Х ОТРШfаТiЛЬНЫХ'fЛ~f1ОR ю:одящих R Sn. Тогда. О'f~liИДНО S~.Рn - (Jn'ГЮ;как по УСЛОВИf;; РЯ1\ (13.61) CX\~ lИТСЯ к Ш юно] JOM\' числу S, тоlim[·-+х(Рn -сто] J'шы.
так как РЯQn) =::.62)::.6 )'Не сходшnся абс iлютно,тоliш13.63)(n--+оо{13,(;2:{13,(;3:,получи!.кон~чногочислап~рвыхчл~нов:'JтихРЯЮВ.и; оставшихся чл~нов как РЯ1\а Р. так и РЯ1\а.5= 00, liшQn =n--+". 1\ока:шно. что оба РЯ1\а Р и Q расхо;штся. И:~ расхо.;lИ~р YДOliИ Q'fTO даж, f1ОСЛ~ удаш ния люСю; О= 00. т.МОСТ"liш Рnn--+"В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьIыыQВfЯтьСТ, ль большо~РЯ.lOВ"ЩЛО 'f.'feHOf; что ИХ"ЩЛО. Опир 1ЯСf.
Н1.'. Эfffре;зойде'Г ,'fюбое н 1ffеред нз лоеДОf';ffжем, ЧfО можно 'Гак переС1;1-вить члены ИСХО1\НОП; РЯffа(1361),чте; в pe:~y.ffbTaTe получитсяряд, с:одящийся к ;jffеред нз ЛО\fУ 'fИСЛУПО.f1.·ЧИМ требуемый РЯ1\ c.ffe1\\ 1f;щиыисходно! о ряда(13.61)P01JJfOLВ С1МО:: деле. мыСначала выберемс УШ/!/Ы;!О положи'Гел .ТТЫХ 'шеНОf;Р1, Р2 Р:3,··· , Pkl ' чтобы их сумма+ + ... + Pklпревзотпла L.'sатеыюбавиы к выбранныы членаы ров 'НО ст iЛ'ЬКО отрипатель-q1, -q2,··· ,-qk·" что;'" оБЩ;1';'Р1 +Р2 + ...q2 - ... ока ;ал ась меньшеснова 1\оба~f;и:: ров'Но столъко fюложитеЛhНf.f··: члено; Pk +l,Pk, ... ,Р k з,чтобы общая суыыа Р1 + Р2Pkl - q1 - q2 - ...
- qk2 ++ РА 1 + + ... + РА ока;алась больше L. ПРО1\олжая аналогичныеТТЫХ члеfЮНq 1-. . .+Р А 1 -рассуждеffД;1лее, мы fЮЛУ fИМ ;'еСf,;онеЧНf.fторого ВОЙ1\;;Т все чле'Ны ИСХО1\НОП! РЯffа (ряд. н ;'ОСТ;;1' ко::.6 ),ибо каж.fыIйраз Тта:: ffриде ;;'я добанл пъ хотя бы оди'Н fюложитеЛhff1'илиотрицательный член ИСХО1\ноге! РЯffа. Остается 1\OKa:~aTЬ, что полученный ряд СХОДИТ1,'Я кЗаыетим, что в полученноы рядеПОС.ffе1\овате.fЪШ!fУf()ТСЯ груnnъ! поло шител'ы!ыlx И групп'!,!отрицателъ'ныlx 'fЛеНОf;. Ее!Ч;1(;ТИЧff 1Я 1'умма lю';уче f1ЮГО ря-1\а :~аканчивается пол!! iстъю заверше'Н'Ной группой, те! отклоне-ие лой ч ff''ГИ'fноi! 1'УММЫ О'Г1l0с;еД11е! О е! о ЧШИ;1L 11е 1fp1 нос:оди! модуля.
Е1ЛИ же Ч;1(;Т1·1Ч11 1Яется 'Не пол!! iстъю :юверше'Н!!)11 группой, то отклошниеfТОЙО'ГL 11е 1fренос:оди! модуля 1юслеД11его члена пре1\ПОС.ffе1\неЙ и:~ гр;;пп. Д.frя установления СХОflИЫОСТИрядаL ДО1,''ГЮО'ТНО убеД11'Г1.1 я'ГОМ, 'Т'ГО модули 1юслеД11членов группбесконечш! ыаЛ'у!f\ посшювательность.а :'11'0 неП01'реД1'твенно BbITeIOfeT из необходиыого условия 1,'ХОДИмости исхе!шого РЯ1\а (::.6 ).Теорема Римана 1\OKa:~aHa.О перестановке членов абсолютно сходяще, ося ряда.п))fыI\;;щеыы пс;нкте мы!Ока;али, что услов'Но сходящийсяряд 'Не обладает f!ере,местителъ'Ным своЙство,м.
В :'J'ГОМ пуН!·;'ГС мы докаже'тто для вСЯi;;ого абсолют'Но сх:одя JJегося рядасправедливо nереместшnелъ'Ное свойство.3.Теорема13.11(теорема Коши). Если да'Н'Нъи'l рнд сходится абсолют'Но, то любой ряд, nолуче'Н'Ный из да'Н'Ного рядаnосредство,м 'Не!;fоторой nереста'Новки'fле'Нов, также сходитсяабсолют'Но и имеет туСУМ,МУ, что и да'Н'Ный ряд.Д о кз а тл ь с т в О. Пу;'ть рядос!LЩ::.64)k=ll) Ибо мы ';обанл;е"f\аШ1"'Г; груп !у 'lлеш.! рон!;о ';ообщая сумма ,'не переЙдеп. через числоL.е;; пор, покаlИЕС~lPl.·lbI00LU~(1365)k=lряд, полученный из РЯД1J.(13.114)llосреДСIНОМ llеЕОТОРОЙ llере-~~Т~~:~Т~~ИС~:I~~;;Тlр~шную s; tO~~~~~;~ l(l~~~f>~ТДХоДится ~,~~~~~~~но. Дока/j<ем снача.iта1).ЕN>Он~;йдется номерДостаточю~ 1\OKa:~aTЬ, чтс~lЛЯтакой, что ттриs>ТТРОИЗRШIhное ЕnN(13.6(;)Е.О.
Так кю; ряд(13.64) ~'ХОДlfТСЯаБСОJШ;ТЮ~ и имеет сумму, павную. тс~lЛЯ выбраню то ЕUможно указ ;ть номер N o такой, что будут ~ праведливы неравенства<.::.2(р - любос HaTypa.ilbHoe число)::.67)ищ _Выберем теперь номерстичная с\мма ;~;~; рятаNs <Е 1::.68)столь большим, чтобы(13.6<;с HO~Hсодер шала 6се nep6ЪU~'Члеij 16 рядаОт~еним pa:~HOCTЬ, стоящую в левой части (13.66), ИlOкажем, что при nNТ.lЯfТОЙ ра:~ности справсlЛИВО неравен~THO (13.6(;).?~'aMOM дел~nLU~-, указiНную р~.;.зность можно преД~.·.тавить в виде(t U~-п-1lOMepi1ераиеi1С'l·Иа;.~~ щ) + (~щ -s)п-1(13.67)k-13.68)мож~ю изя ~Ъ p;fU'/i U то;;;;не<;.
В самом деле, предварительно :~аписав YKa:~aHHыe два неравенства сразными номерами N o , мы затем мол,ем взять наибольн;ий из flBYX номе-N o.2) Такой номервыГ;рать можно, иГю ряд (1:\.6,)) получается и:~ ряда(13.641 посредством некот 'рой пере;~тановки членов ..5*РЯ.lOВ;·:::кмодуле!]\:оду.:Ъ'Го изсу\"Д;;ух ве.;;(13,(;9)iieiiревос:оди[:]ММЫi1ОЛУ [ИМn-5 ~ L'/},~- L'Щk!ik -kk=lИз Н1р:.:.В1НСТВИ (13.~O) оч; видно, что для докаЗ::Т1ЛЫ тваH~paB~HCTBa (13.66) 1I,остаТОЧНОfC)ка ;ать, что при n ? N(13. ~1(13.71) З::М~'ГИ\;.
:[то 1iрИ nп~рвая и:~ С\ММ, СТ; ящих В л~вой части (13.71), содер:житДЛЯ ДО1'; :заТ~ЛhСТ;':' 11~paB~1}:''ГBaNо ":рвыl' j .лсJ-lовв( 3.64). ВСЛ~Д;'ТВИ~fТОГО р;,;зностьnи;:,k=-LUJ:72)k=llР~Д;'Г;R:;;'обой су\ \;у (n - N o :[Л1НОi; ряд;;раыи, 'Ка:Jlсдый из 'Кот ipblX nревосходшn N o .Е; 'ЛИ1Iaтураш.11О1 р ;'ТОШ. бо:ъшим,+РNвс:nревос:годил номера всех (nу,;азанной Ci;M,Mbl, то для Р;;З11ОСТ;1110\;:[тобы 110\ 1р- N o) членов тОЛ'/J'КО чтово i;С;ЯКО\' СЛУ:Ia1(13.справ~1I,ЛИВО н1 раВ1НСТВОnN()LU~-LUJ: ~LIщl·73);"=.\'0+1Из H1P;;i;1HCTi; (1:.73)(13.67) В1Л~1;;;е'Г H1P;,ii;1HCTi;O (13.~1).Т1Ы с;мыы доказ;;но нер rвeHCTBO (13.6(;), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
