Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Так как остатокряда (13.7) стремится к нулю при k -+ х, тоД'Ш :юложител:.ного чн: л:, Е/2 iJ:'ЙДi'Тi.Я нг,":ер k o т ,кой, что TkЕ/2 прнkk o. Таким оГ:разом,<<?:) L:) L<~2k=k oХk-1k=:oОстается доказать, что .!ЛЯ Х, достато :но ::лизких к е.
:лнице.(1 -х) kГk х k - 1 1-1k=12'но это очевидно, иГю сумма. стоящая в последнем неравенстве, ограни':ена.РегУ'ШРНО:":е: гда Пу;:ссона-Абел'" .ю :::'З;iНа. ПL(-1)k-1 = 1ПРНМiра снова+ ...1+k=Для:того ряда с· ,ставим: Тi'пеннойряд ви.r.a (13.-х+_ х3+ ...k=1Абел., (13.82)·:Т;iНОВЛiтриваемомслучаеследуетположитьустремить р к бесконе':ности.в25.о и затемря..·ЮВ:т;S(:T;) =го рисуммирvем м' то,",омПуассона-Абеля равна 1/2.нннма;ше на то'1:'01Iv::c:суммаАбеля совпадает с его СУМ;,ЮЙ в смысле;аiiн:.:м: М02Ю:О доказатт,;3.124)н ГМ;.:Г.I1е ПуаСi'она-Этот факт не является слу-;то есшСУММИ; ·уем мето.:ом Чезаро; то0;;су;,;миру; м и методо;; Пуасс;:на-Абеля приче;; су;,;ма этого ряда в смысле.
Iезаросонпадает С е;'О суммоi н см;.:сле Пуассона-Аijе·;;;. Более того. суще. "'тодом Пуассона-Аб;'ля, но ш· су;.;миру; мы;·мето:ом Сезаро;). Детал .;:ое ИЗУ';е;ше ;;се;:озмо:ж;;ых мето:о;; о;:о;;;;;ен::оСТВУЮТ РЯ1\Ы, сум;.;ируе;.;ыего СУМ; шр;:вания расходящихся рядов пр.
·водится В . ;;;нографии Г. Харди«Расхо; ·;;;шес;; р;щы»-М.: ИЛ,1951г.1) ТакИ!; обра :ом, можно c;ia:~aTb. что мет ..д Пуассона-Аб; ля является. "'тодом с; м;.;ир' ·вания че;; мето:; Ч;·:аро.б. ·лее «сильным>Г л А Б А14Функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХПонятие функции нескольких переменных§ 1.1.О чlzункцт!ональнык завт!стпzюстпк между Н4Ч:КОКЧ,кими переменными t~еличинами. При изучеНШI многих вопроCiJВС4тествознаниявстр,'чаютсятаки,';аВИСИМ04ТИмеждунесколькими переменными величинами, КОГ1\а ЗШ1чения О,;шойэтихПСРСМСllШП;l;С,iИ LiИll11ОШЮ4 т"юниями остальных переменных.ли60;i11ределяются,a'l;Так при ра4 смотрении какиххарактер lt:'гИi',,а(;апримсрCl';;п;;;'Гш;сти рили темпеР;1ТУРЫ Т) ю м ПРИХО1\ИТСЯ УЧИТЫК1ТЬ изменениеэ'Гих хараl','Г;РИГприкаждаямиКООР;ШШ1Т;1МИх,ЮТiЮ4 ть;;'Г од; юй 'Го LiКl,' 'Г,ла'r;;"l"aуиТiлаZ,тоопрсдс,яе'Гс';;'ГрсмяРЩ'СМ;1ТРИК1емыедскартоных; рактерш:ти-'ГеМllсра'Гура Т) опрсДi' ,ЯЮ'Г4';;тnpex переменных х., у иямиZ.При р;н:смотрении физических процессов, меняющихся воl;РСМСllИ.опрсдс.' ЯЮ'Г4 н;;значениями 'Четnырех переменных: трех КООР;ШЮ т точки х, У,lipСМСШlплотностьt.
Hallр';iТОГОзнт", ;l;ЫХllpllП1заИli;влениеzми четырхx псрсмснных х, Уиt.р,с6аflИЙопре1\еляr;;тсяzа.;азначенияД;я И3,У';СНИЯ таю;го р;щазависимостей в это;; гшше ВВО1\ИТ4 я понятие Функт~ии нескольПСРСМСllllЫХ и ра.;;ИRастся аlllapaTдЛЯ И4 слеДОRаllИЯ такихФунк;иi';.В теории;ий нескольких переменных У1\06но пользо-ваты:я геомст;ич,'СЮ)Й тсрмин;; 'i;г:иеЙ. Непосрсдствснн;; ЯСШ;,что 06ласты;; з;ланияЯRЛЯСТСЯства).llСКОТОР;;Р;иишух (или трех) переменныхЮ;'l{еС'ГRОДля геометризат~иипш;п,,; ;стинаших пре1\ставленийПр;.)(:тра;;оФунк;ииПСРСМСllШП; уд06;ю l;Rес'Ги llО11Я'ГИС т-:, ,'р;юго пр;;с'Гра;;ства. 0606; ;;;ю; ;ее хорошо известные понятияшумерно;; плосmкости и трехмерного простраНСТВ;1.;;ше послеlyt.
,щее изложе-IНЫХс,1ЯСНСНИЯIЮНЯ'ГИЙ,Понот&!я еволидовоii нлосоост&!страНСТщ~5±ОРДllзнеС'Гffые;ат;аопрсдс,;снияеволидоваа; ;,IЛf,I'Гичео;ой 1еометриПШiО;, IС'ГИрасстоянияроо рано 1;Смсжду дну;)"ТОLн;амиНРО-IЯ ко-и;ам'Д,1'ГЬ ис-ПОi±ьзованы Дi±Я аналити'1ССКОГО ввсдсния понятий плоскости Ипространстк;.Ji.lно:ж;ество всевОЗМ.О:Ж;НЪfХ уnор,ядо'Ченн'Ых пар, у) "ещ! !mlfenHbl,T 'Ч'шел х 'Ll у НО !ъ/'вастс! к;н о 'йnл о со р д и н а т-о с т ъ ю.При этом I,;аждую IIЩ)f (х,,1 БУД'\I наfына'IЬ 1'11 ','11'Й этойl'vI.плоскости И обозш;ч,;ть o1\Hoi'!Чш:л,1 х и у ш;зык;-Ю'ГС'I' КОI1рДIfна'Гами ТОLН;И l'v1. За Ш(Ъ l'v1(x, у);а'rас'Г, сго 'rOLi-Ю' М имеет КООРfШШ;ТЫ х и у.КОfi!fд'ШfЛтно.,я !!АОСК;(iO';О;;аЗъ/',оет;,яек; л иоо иn л о со с т ъ Ю,!'слu ме:ж;ду люБыl:uu двум.,я то'!!,ам!!М',и l'v1"(x" у") к;оорд'ШfЛтноu nЛ.i!к;ост'Ll О/!редслсно рассто,янuе р(,") по Форм.ул го(М', М")=V(x" - х')2+ {у" -у')2.Совершенно аш!Логично ВВО1\ИТСЯ понятие КООР1\инатного и евКЛИ1\ова пространств.
Мно:ж;ество всгвоз.;\ло:ж;ныlx уnор,ядо !ен-;;blX тnроек; (х,,z) 'Чисел х, у 'LlZНО !ъ/'ваетс!к;'LlН ыl М,у,про с т р а н с т в о М. При этом каЖ1\УЮ\IЫ буД'";азьп;а'Гь 1'11 ,I'111Й э'Г.11 О ПРfн:тра! !с'Гначать ошой буквой. ЧШ:ШI х, у и z назыкнотся КООР1\инат; ми1'11"М.
Запис; М(х. у.;a'raCT, сго TOLiKa l'v1KOfiP1\ИШ;ТЫ ху иz.!!jюстр;, ;;ство НО !ъ/'ваетс! е в к; л и дв ыlпро с т р а н с т в о М"есл!! м.е:ж;ду ,!юБыl.!! двум.,я то и,а-.M:Ll l'vI'(x' у''Ll l'v1"(x", 1;", z") к;о.·!fд'ШfЛтногfi nр.чтран! ,;Оопределено рассто,янuе по формулер(М', М") =J(x" - .1')2+ (у" -у')2+ (z"- z')2.BBeleHHbIe нами понятия КООР1\инаТНОi! плоскости и коор шнаТНОГl1 пространства прсдставляют ОiбfiЙ анаШiГИ ЧИС!11ВI)Йпрямойа еВКЛИ1\ова плоскость и еВКЛИ1\ОВО пространство прес'Ганляют собой аналOl'И свК;Л'Llдfil,ОU npf!,'o!oU, которую \ЮfКll11опре,flелить как числовyr, , прямyr" меЖ1\У ш<>быми 1\ВУМЯ точках'х" "11''ГfЧЮЙ!о раС I то шис р(х' х") П11 ФfiР;,IУ,;Со(х',х") = V(x"-x')2 = Ix"-x'l.Р;н:смотрим некоторые множе; ТВ;1{} точек евклиювойплоскости и еВКЛИ1\ова простр;шства.1о.J\Iножество {М} точек еВКЛИ1\овоi'! пло; кости, КООР1\инатых и у которых уювлеТВОРЯf<>Т нер;;веН!тву (х - а)2+(уь)2:::;; R 2477П<.ШЛИЕj"aKизн,сгш"l'v1!)(0";аЗ;,I'ГСЯради\ сасli'ii'ГРiJ"Н'ГОLiЮ';а'Гы :Г и У \Дон"''Гноряют ci !ЮГ'f'АУ нсраЬ )2R 2 , то множество {М назыв;;ется)венству (:ГО'П/,'К:РЫi[, ''ь/,,\, , 'К:руго,\"сн j', идоном пр{;с'Гра;; с'Гнс мн, '}КССТ1""точек, КООР1l,инатыу и(:Г- 0,)2+ (у -ро.м.
р;!1I,иу; \1иzь)2Rуд' fj;ЛС'jТ1 f МНОЖi'ство+ (zz! М}которых у;ювлетворяют неравенствуг)2:::;;fj2,j"aK ifзнеС'ГfЮ, наЗЬШ;1е'Гся j\jД-С T~eHTpOM в точке(а, Ь, с). Е; ли КООР;ШЮ ты х1:1 fРЯЮ'Г 1'1 юл;стс'Гнующсм\с'Гр,ilом\l'v1} на.ъrвастся отк;ръииъ/"М ш fjЮ,,'ран,; !(:тну,H. 1 ).J\Iножество {} точек еВКЛИ1l,овоi пло; ко!'ти (еВКЛИ1l,оваjjро!'траш л;а), ко{;рдина'Гы хУ,уz) " 'iJ 'Г{;Р;,;Х \Донш''Гно-20.ряют неравенствамIy - 1 d 2Iz -Ix cl0,1 :::;; d 1 иIyьIx1 :::;; d 20,1:::;; d 1,}:з) , на.;ынастся к;оор(}/kат'НЪ/..м np,f;,м,оуголъ'Нш,о.;\Л (к;оорди'Нат'НЪ/..;\л nараллелеnиnедо.;\л)[ентром в'riJ' ;l'v1оЬ (j; 'riJ';l'v1оЬ, с) ) .3.
Понятие Функ!~ии /!,ВУХ и трех переменных. Исполь'уя гс{;мстр}г !с!'кую т,; fМИНО,ЮГИЮ МОЖН1 f слсдующим обраЗ1)Мсформулиров;;ть уже изве; тное ш;м понятие Функт~ии o1l,Hoi'! пер1""юЙ.Если ;,a:JICJ07l то (и~из 'Не;,;оторого MHo:JICccmBa {то-св;,Лf7дово"/J nр,я.м.о"/i ставитс,я в соотвстствие по ffзвест'Но.М!!;ак;о"\' 'Н!'к;оторос} зада'На фу'Н;,ци,я{'Гспср;'Ч/Ll\ЛО и= и(тог01Юр,f;,т.) и;!и=J('Что"а).jюня'ГИС функции двух;ых.Если ;,a:JICJo"/J то'Чк;е М из 'Нек;оторого .;\Л'НО:JICества {М то'Чек; е1;к;ли)овО7l nло;к;ост'/l ,т f!;umC;; в ,оот1;ет;т1;ие !;о '/l{вгст'Но.м.у зшко'Ну:JICef;if!;e!l'vI}'Нс'которое'Чf7СЛО;а);; "а фУ'НК;Ц'/I,я '/1 =то,Jовор,ят.'Что'На.;\Л'НО-иЛ'/1 и = .f;;1метим что понятие Функт~иишух переменных отлич;;ется "т !'формулиронаНШfjО,внс ПiJ;фу; j',uиiJДШ;Й "1'рСменнои лишь тем, что вме!'то !'лов «еВКЛИ1l,ова прямая»и!'поль-;устся 'ГсрминiИДiJj;а П"fП"iJС'Г; ,>.
СОНi'РНТСНШf а"аювво1l,ИТ;Я понятие!.ии трех переменных. Для ';того вместоЮfКi'с'Гна {l'vI} 'rOLiCK 1'Нj',лидоной;УfКШf j;зя'ГЬюсксс'Гно {М}сн j', идона щ){;с'Гра!! с'Гна.Т;;к ю;к ТОЧЮ 1 М евкли.;ювоЙ плоскости опре1l,еляетсяшумяХ'IJ, а тосн,а l'v1 CHj', идонаjЮ; п;а!;!,'Гj;аКООР1l,инагми х, у' и z то 1I,ля функт~иi'! 1I,B Y"x и ;рех переменных"!iЮРДИ ;ата;;;мы б\дi'М ';ш;трсб,;ять СО1)ТВСТ;ТВСНН;; iJбiJшачi'НИ!' '" = .f(x,И.f (х, у, z). Если!.ия= J() за u1 на на множествеl'v1}, то Э'ГiJ ЮfКi'СТНО на.;ынастся оБЛ"fтъю(f!упк;ци'"и = .f (). Число и соответ!'твyr<>щее 1I,аннойиз мно1))чевидн".
11рУГ И шар представляют собой f,ШОЖf'ства {1VI} точек ШIOС-1<ОСТИ И;ространства ДЛЯ 1<ОТОРЫХ р(М М(;) ~ Н.[НЫХскес'Гна1М},аз; ,1 ';а'Г;81-/,/; ЧГН'!!Г,Мn; 0''1/1\; е J\;1СОВOi;УПНОСТЬвсех ч;!стных зю чениП фун ;т~ии{;аз;,п;ае'Гся ,н;;ож:сс пво,;;'=f(M);;{f'ЧеnuuуmоuДляЩИ 1\ВУХ переменных можно ввестифиr,;а, ИМСШlii'фi!;;К;ЦUU 'Ll :г, у';fПО;';рхnо;mъ, mо'Чк;u к;оmорои u неюm к;оораинаmы (х,Р!н:смотрим примеры1о. U=..;4 -, f(x,!.иЙшух и трех переменных,х 2 - у2, Обла! ты" з!лания;iТОЙ функт~ии явля!'Т! Я круг радиуса ~ с цснтром В начако;;рдинат, а множествозначений пре1\ставляет собой сегмент О:::;; u :::;; 2.. О'!)Л!Н:ТЬЮf!!НИЯ120 . u =VX2 + у2 -этоПщи явля-4ет! я множество точек, лежащих вне круг!! р!лиус;;;а'!ал!' ;,"!ОРД!! ;ат, а2!.ентром!!й прсд! та1;ля! 'Г собойОТКрЫТУЮ полупрямyr;·;.
<)бла! т ,ю задания эТi!Й фу нкции ЯRЛЯ-3. u = Jcos;x'МШ!сКССТf;;; 1М},ко!!рдинаг ,1;,,, ;г!рых ;ДОRлеТRОРЯ-+ у2) ? О. Это нер! вею тво+ ',1,/1. "~ ~2 2kп _ 7r2ЮТ нер!шенству cos(x 2Ю равенствам:::;;"k = 1,), ...разом{Мкруг!!iaKfMiiбсостоитизрашуса2'J!! /2центром в точке0(0, О),ш'образшп!стеП (рис.;швивалентнообла14.1).4 . u = 111x1/z. ОблаСТЫОf!!НИЯ этоПП!!ЯR''''тся!о +!ес'Гно{М} точек, коор!шН!!тыЮ.JТ; ;рыхуд;!Влств; ;ряютнеравенству :гу z!Оскес'Гномвсячи!-ос<ювая<>О; азнаLiСНИЙ+ос,5. u = х 2-пf ямая1Г+Обшн:тыо з!лания это!';функции яf; ;яе'Г! я нс!'КЛИ1\ОВОпростр!шство!Оскес'Гнома'ие14,знаLiСНИЙ?полупрямая иО.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
