Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 88
Текст из файла (страница 88)
О Н'ВИДНf' на таю ,йfРЯМО;:'kОТЛИЧЮ,IХ от О точе1fветствующая последовательность+ k2 '= kx.гдеri'ЮfТ~ИИ поСле' ш послеД4.ша,еЛ,Н04.'ТL {МПЯНЮ,I И Р 11ТНЫ ~.делзначенияТак как приi::.kсходиТ' 'я к ТОЧ1f" О, то '! ютимеет пре-3 fаче fИЙ Фунюо этот предел отличеf' от НУШfнеС01 1"1Да,"чаСТЮ,IМ ша Н'НШ.'м Фуню ШИfЦИЯраЗРf,шна'1п ,й[ке на 'iассматрива,'f,Ш'MOf.:'ность функции на 1юордина1Ю,IХ осях 1Ъ1текает из 10ГО, что ееша н'ния на Iних о' ях раВЮ,I НУЛf'iожет СЛОЖИТЬС>f впечатлен{к fИЯ двух пере-мс'нных непреРf,шна на Лf"боi'rпроходя н ,'й н'р'" данную точку, то эта фУНКТ~Юf непрерыв [а в vказанной точке. Сле-Дующю:' при:.1ер Ю1fаЗf,ша, '1, [то.вообще говт ,ря, не 1a1f .Рассмотрим фУНКЦИЮ{f(M).что.
хотяl.,2 y,,40(0, О)Прi'-+О-+4У#2НКЦИ'А непреРЫВНi: нс: люБО{·i ПРЯ'ю{i,= kl.'равны---:;---k'"на о'·'фУНКЦИИ на паi.аболе у= pl.,2р~- - - . 1 ак1 + р2как при.../IВf,пеКi:{'Т'ругой стороны, значенияпостоянны И равныНКЦИ" Прi' СТi.Н'i','i'Н"И' :iЧКИпараболе также равнои ПОЭТОМУх-О.того. что ее значения на этой оси равны НУШО. Сде"ыюеlнаЧi'НШ'у2она не является непрерывной в этой точке.самом .:,.еле, значения фунюfИИ на прямой упри ХХприНi:ЯХО1\Я н.еЙ через точку+ ,;2:р2' И ПОЭТОМУ пр е-К точкепо i'iазаННО{iО этот пре ,ел отличен отнуля И не совпа1\ает с частным значением фУНКЦИИ в точке О, то функ fИяразрывна в i,ТОЙ точке.тнихт.ИИН:'~ооьН:'~ихныесвопс:ретvтенных.lCTBittи\tнепрерывныхt,CTt;aос<дпереJ\IенныхЭТttхан а,ны дока; ,тельствам соответствт<"t<at<пп;;'м;'нной,пояспеппя,tt;;'РЖД;'Нtранил!),fl<ункций О,шой\tbl'танать;jjf,KpaTKtt f'предс)стат;ляя д;,'тали дс)казат;,'лт,стн ттитате,ттю.10. Арифп р еры в н ы м иунстОС!тесопациадФ у н к Ц и я м и.
Спр:шедливо следующее;;".Пусть фу'Н/к'Цшtf(NI)фу1-t'К'Цшt (M)+g(M), J(иg (f.;!)-непрерывнъ! в то'Ч'Ке А. Тогда((M)·g(pblB1-tыl в то'Ч'Ке А ('Часпmое при УСЛО61Шg(A)и :~:~ непре# О).Доказате"tь~ство этого утвер +;дения совершенно :шалогично дока; ,тельству4.2.рын отлж нй Ф у ндем понятие сло +;ноП функции нескольких переменны20.ф<'н[;еПусть;;ttиХl = epl(tl, t2.··· ,tk),Х2 - ep2(tl, t2 .... ,t/),(14.11)Х т = epm(t ,t2 .... ,t/);ад:шын"мно +;естве{N}еВКЛИДОВitПРОСТР:ШСТВitEk(tl.t2 .... ,tk[<о )liДtt tatbl[;'Кпр!)еtран{'tt;;,). Тifдак<,ждой точке N(tl.
t2, ... . tk) И; MHo>t<eCTBit {N} ст:шится в соответствие с помощью формул (11. 1) точк<, f.;f(Xl' Х2, . ... Х т );'t;t<ЛИДf)t;aпростраt tCTt;a Е т .О;i<!зна'fttM{\tнож;'~ство всех тitких точек. Пусть и Хl. Х2 .... ,Х т ) - функ~цtt 1n-tt;'pe\tet tЬTX, задаt tая на указаtн!жестt;;' {J\;f}.этом СЛУЧitе мы будем говорить, что на MHO>t<eCTBe {N} евклидова простраНСТВit Е/ определена CiЮ;JfC1-tпя фу1-t'К'Ция иГ(Хl. Х2 .. .. ,X тn ) где Хl, Х2, ... . Х/< янляют{'я функцtt \tи переменных tl t2, ... ,t/ причем эти функции определяются COOT~нош;'юt \tи 14.11). Сttраt;едлино {леД<'Юt\'тt;ерждение.Пусть Х= ер (t...
, :Гт = epm(tl, t2 .. ..а фу1-t'К'Циfi и = ЛХl, Х2... ,Iim ). гд~ bi = epiда СЛО;JfC1-tа/f а/ун'К'Ци/ !представляютсобой. t2tk), Х2(tl, t2.··· ,tk) . .. .,t/ 1-tепрерыl1-tьll в т/ 'Ч'Ке А(аl' a~ ..... а... ,Х rn ) непрерывна в то'Ч'Ке В(Ь 1 , Ь 2 .. ..аl.а2 .... ,ak), i = 1,2, .....
Toг~и = Г (Хl. Х2. . .. .где Х Х2···, X Тnопределе1-t1-tыевыlеeфу1-t'К'ЦшtapгY,MeH~тов tl, t2, ... . tk. 1-tf:прерыl1-tпп в то'Ч'Кг А(аl' а2, ... . а/ . HaMe~fЕСКОЛЫ:ИХ4%[Нf [ХfИ\! ')('НОНН ,!е этап!,! до 'аза !елы' !на этог;) У! Н! ржд! Нi!П\'''!ЪА,п),оиз!;оm,ная СХ;)fЯщаяся К А!е,! )!;а!е,!ь-},i-ность точек из обл tСТИ {N} заf шия функций <р, (t ,/2,, t;),а {с;;от!;ет(' !нующая пос !;донат;'тотте!! ,fИ-В силу.,, t(n))'f,;непрерь,вности функций <ре В точке А, последовательность {сходитсяк точке I?,Ь 2 , . ..
,(не ИСКЛ!ifчена ВОЗJ\Ю!!!НОСТЬ совпадения!;'К l'vlnт;)'!ю)й. В С!!е!!реры!;!!'''!и н TOTf!'J' В функции= Л[ 1, Х2, ... ,Х т ) ПОС1еДОВifтельность {j(iVln )} сходится,, ,КО,,орь,х'"нать,К(В. Н;)(,(п)'1' t(n)'),,равнь,,та посл;до!;ат;'л!,!!редста!!Ля;"с;), ;;)й посдовательностьшачений сложной функции, отвеча!!" !ую сходящейся К А ПОСЛiдонат;'Л!,! !'" !и N n } тотте!! област!!задаНi!;tK ЮtК J\lbI убедились, что послеДОВ;tтельность {f(iVl;; } схоД!!тся К !астно\!" зна !;'Нi!Ю f(B) тосам!,!Нi'П) ,;'т;!,!нност!,слО>!!ной функции ДОЮt;аНif.За J\1 тт аПj '!'! !;еде!здесь Д жазат; m,стн;) Щ ,;Д(' !анляет собой обобщение н" случ tй нескольких переменных ДOIШЗif!елы' !на т;'оре\!ы 4.5 о нi пI); f;!,1!;HOCT!! сложн )й фУНКЦ!!'!Дн)йпереll1енноЙ.30.нпТо р еep!,1HHайф14.4.Теоремас т о й ттЦЗ Н а К аЕс;;ш фу'!!'Х:'Ция и = ЛМ) 'Н,! nрсрыl'нлл в то'Чi-х:е А евх:лидова nространстваи если( )О, то существует тах:ая д-ох:рестностъ то'Чх:и А, в пределах х:оторои вовсех то'Чх:ах области своего зада1-tи!! (J1) не обращаетс!! в 1-tуЛЪи и.M~~т знпх:, совnадП1О1Циuзнах:о,м,(М).
Справедливостьfт;'оремыНi'Посредстне!ff;ьпеf!аето! !ределе!!!Я нi Щ,;-рывности ;I;ункции В теРМИНifХ «Е - д».40.Т еункзнар е м аиичерео х о ж Дн и илпромежуточноебоее п р е!,1нйн и е.14.5. Iycmb фу1-tх:циявсех тО'ЧХ:(fХ свя !ного ,m,1-tО;JfCгстваства вт, nтш'Че.М ЛА) и ЛВ)-uМ}j(Henpepынаa воевх:лидовп npocmp(i!-31-tа'Чеюt.!! этоu t/.if/1-tХ:ЦIШ в то'Чх:ах А и В этого M1-tО;JfCесmва.
Пустъ. далее. С-любое 'Число,зах:лю'Че1-t1-tое .Nle;JfCJf/ {А) и j( В). Тогда на любоu Henpepыноиi1х:ривои L, согди1-tяm1ЦГU то'{х:и А и В и ц"}.их:о,м, располагаю!! "ися в {iV1}, наидетс!; то'Чх:а N тах:ая, 'Что j( N) = С.Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть... ,= <pтn(t),а ~t~ (3ур;шнения непрерывной кривой L, соединяющей точки А и!!НОЖ;'''fна {Цi'Л!fЮ);! ра('полагаЮf f;'Й('Я н {J1 (с\!.
п. 5 § 1).На сегменте [а,определена СЛОЖН;!Я ;1;УНКllИЯ и - f(X1' Х2""-,где= <pi(t), i =,2, ... ,а ~ t ~(3. Очевидно[нихзна [\'Нi!Нi!''')Й функцtt\tи ф\'на ('tTM\'H tet<циии] с it;падают ('О зна'(М) на Крttt;\)йt,f!;УНКЦИЯ одноП переllIеннойL,t<азанная (Л\iжнаяв СИЛУ утвер}t<дения рtettpepbl;tta ta (';TM;'Hte [f; и] И, ('oetaettKe' \t;'Hta [СУ, и] прttн t (taeT зttаттеttие СRtKe N t<рИRОЙС ююрдttНатамtt CPl(~)),СРrn(() ('праR\дшtpat;ettCTt;" (N) = С.
Т;'орема дOtазана.пункта,tеt<ОТОР\iЙ... ,50.н аО г рн и ч е н н о с т ь Ф у н к Ц и И, н е п р еры в н о й\'з а м к нТ ОО Г Р ан о жс тТеоре,м,а 14.6 (nервпя т[;преАШ ВеU[;рштрасса). ЕсJШ фУ'Н'Х:'ЦИ.я=(}.;!) 'нгnрерыlнлл нл ;а,м'Х:'Нутом огРПЮl'{е'Н'НО,М ,м'Ножестве М}. то о'На огра'Ни'Че'На 'На это,м MHOftf!eCmBe.!становимся н" ДОЮtзательстве ограниченности(М) сверху. ПредmШ\iжtt ,ттто И(М) Нi' orpaHtt t;'Ha СВ;'РХ\' на М}.Выделим (юtк и в ДОЮtЗ;tтельстве ;\Н tЛОГИЧНОЙ теоремы 8.7)ПОСЛ:ДОt;ат;лt,t{J1nМ}, д,tяI()N.СИЛ\'§ 2) И; {}.;[;;} lIю>t<но выделить сходящyt' ;ся подпоследов tтель-ff=>HOCTt, М/Сn } ПI'\Д\ЛБо, t,llaho-I kЙПf;jjтрасса,ПtЛу зам; 'tattриttад t\'ЖИТ множ\'(' tt;y {.
овидно, последовательность {Л}.;[;n } бесконечно большая.ДРУfОЙ CTOP\iНi,t,('НЛУ Нi'ПР\'Рt,tRНОСТ; ф\'llИИ RtKe,itaпоследоютельность {Л }.;[;J} ДОЛЖНit сходиться К Л}.;!). ПОЛУ-t\'HHOe tp, iтttROpeTНte60.наД о с тжмкнутомо и Хы ХД\fКазиЙ,огрН и ч е н н о ме п р еы R нм н о ж е ст вЙе,г р а н е й.Теор[;,м,а 14.7 (вторая теоре,м,а ВеUерштрпссп). ЕслифУ'Н'Х:'ЦИ.я и (М) 'нenpepы'но(j 'НО за,м'Х:'Нутом ограЮl'Че'Н'Но,м,м'Ножестве М} то о'На достигает 'На это,м ,м'Ножестве своихfто'ч'ныx вcpx'Н~и и ЮlЖ'НСU гра'Н{;и.Mt,IС' it;ерш\'нно ана,tHO1,0Юt;ательство этой теоредоt<азателы'у;у т\'оремыt;тораятеорема ВейеРШТРitсса для f!)УНКllИИ одной переменноп).Т.
Понятие равномерной непрерывностиФн к Цио л ьХ перн ы Х. Ф!j'Н'Х:'ЦИ,f{И =(М) 'назыlпетс.я р а в 'Н о М е р 'Н О 'Н е n р е р ъl в-f'Н оu'На ,м'Ножестве {М}1)ев'Х:лидова nрострп'Нства Еn;, еслилюбого nоложителъ'Ного 'Числамож'Но у'Х:азатъ та'Х:оеnоложитс.i<Ъ'НОСзпвис.ящг\' mO.i<b'X:O от Е ,'(то д;;,л\}mб'Ых дву;!'то'Че'Х: М' и М" м'Ножества {}.;[} , удовлетвор.яющих условиюр(<д, выnл'ннетс.я 'Нераве'Нство !Л J1")TeOpeMit.-(М')!<Е.Имеет место следун;щ,\Я1) При ЭТОМ предполагается, что множество {М} плотно в себе, т. е. влю;;{л"r Е-окрес ;юсЮ';{iДОЙ то ;ки М это; О ,i;ш;жес ;ва имеются {;тли ;;;ы;'от М ТОЧ;iИ множества {М}.497iEenff?epbl,BiEO~ст'n).иа за.М}! uщпл}tf O?jIO {ifi,'Че (iIШ.М .ми(); if'г{"mне{М} фУ'Н'К;'ЦUЛ рп!,CT!!i!iHi.МГРU() 'ги пр!:р .fл'На 'НаказаТf'ству теореJ\IЫ'<\!TMf'H!la, ьна{!{ВУ Мр(М',М").1 ),2!!но\!«!i!жеСТВf!иf(зовеме.!ную!!t'f'!!i!ЗМОЖIx!!ерхнюю!blf'ff-,,-!а зам!{!{В!,! ХХ'I на СИ,J!ЮЛдиа,метро,м ограниченногограю,ТОТТ!{ттисел;,/Г С,!i!жест!!азуя понятие ди (метр" множества, отметим следyt!"m'П\!'li!,IRН!,IХ'fi!казаТf'М}», за\!f'Н!,!заJе!!ы в ,!раЖf'm!й т!!Паа!нои получается из него путеМfi(мены теРМИНit»\!НОЖf'"и'i{'J-l!iJICеi'ПI,(jf Дo~С' !!!еРШf'ННО ан а,ГДf't'ПОЛ!,-!ее свойство!iiT!,IX огран!! !f'HH!,IX M!!ii}!{eCT!!aX Функ~ций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
