Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

,Nm } выпол­няеТС1 неравенство (14.4). Иными словамИI при n ~ N выполняется ж'ра i('HClltO р(мп А),где А ,ка Е т снатами CL ,а2,... а т . Таким образом. последовательность<СХОДИfi'Я к,ке А. Ле: U"la до!,:а')ана.Сформулируем определеffие фУfщаментаЛЬfЮЙ последоваlеЛ1.Н01'ТИ точеl, в П1-Мi'РНО: 1 i'I3l,ЛИД11I30М'TPllН1'TBe. Послсд!!ватеЛ'b'J-lQстъ {l'vIn } то'Чек ,п -мер'Ного евклидова простра'Нства'Называется Ф у 'н д а'н т а'Ь 'н О U или nослед!!ва­теЛ'b'J-tостъю Коши. если для любо,'о rюложитеЛ'b'J-lQ,'О 'Числа Gмон, 'Но указаm'ь mакои 'JfЛ,мер'Что при 11 ~И дляго 'НатураЛ'b'J-tо,'о р в ы.nол'Няется 'Нераве'Нство р( Мп +р _Мn )СправеДЛИIi след, !(,щий критериП СХОДИМ01'ТИии (lЧШТi'РИЙ Коши).<с.ю· i(OДOli"T(' ,ьно­ПГ:.IЕ··тiPO ''!{Мn } rnJi''l(''!''побы~Jt.t(p'/-/,opoilЛ'Ш)бы 1!!, с.Уод,я, цей!н,собi од iMOто !.'I-/'О,ОН!! f)bl!!.a фун.дuмснт !JI,'ЫШЙШТЫ'Я всправедл lВОСТИ сформулирова lHOrO критер Ш, достаточ 10 за­('!м!iИТL,СТИчто{}{X~ИЗ!!Словия!!!R.·lам!.я !!еЛ:!НОi'ТИ1О!:ЬH!'~сле.lует, что после.1Ователь 1Ости {.у\п)},} координат точе:! lvlфунд ,,:ента :ЬН!.!I.

и Ha~nобор'! " !'СШ:!;1занные поС :еДiшате !!,НО!'ТИ ю ЮliДинат'!'Hдa~ментаЛЫIЫ. то фундаментальной будет и последователь 1Ость, и затем{lvln}:римеНИi!. критериП Ко! !и дЛЯ ЧИСЛО!!LIХ 1OCТIe­ДО!!!1Т!':LHOCie(i к 10· ,,'До! !1Т!' :LНОСiЯI! координат точе!! {Мn } илемму1ЭТОiО пункта.Некоторые свойства ограниченных последователь­НiР!I'леl,; ·ЩОЧ.ект-меРIЛОМ еВ.Р!,!iИДОВОМ простраНil·Л.ве.Введем ПОНilтие ограниченной последовательности точек в т­2.мерном евклидовом пространстве. После{)ователъ'/-/,остъ {то'Чсх; т~,MepHoгo св'Клидова nростран,ства называстс,я,ор a~>н и 'Ч е н н оесли существует та'Кое 'Число аО, 'Что дл,я,всех 17, выnлн,я,етс,я, неравенство р( О, lvln ) ::;; а, "де О - то'Ч'Кавсе 'КООjн)инатъ!, 'Которо!! jJaвнъ! нулю.11 нымисловами.

последо-ватеЛ:.НО!·ТL {Мn } ю;ляется ограни· :енноЙ . е!лиЭ iОЙточ!!и {Мnюследоваiеш.ности находятся внутри или на границе неко­шараT~eHTpOI! в нl' :!еле!!оординат.Справедлива следующаil основна,я, теорема.14.1Теорема(теорема Во.лъ'Ца1-/,о-ВеЙерштрасса).Из тобой ограни'Чснной nослсдоваmСЛI.ности lvln } то'Че'К т~мерного ев'Клидова пространства можно въ!,делитъ сходжщуюс,я,nод17,осле{)ователъностъ.Доказательство.Убедимся,{X~)}что последовательности {х(n)}, {x~n)}нат точек М"какЯВЛЯЮТСilограни·:! 'Нp(O,lvln ). / (n)2(п)2-_ VХ1+ Х 2(.n)2 + ... + Х т,то17, ВЫПОЛIШЮТСil неравенства1,ДlЯlHaTBi'ex 17, !ыI~::;; а. Посю!Л:.ку Р(О.Мn )отсюда следует::;;а, Ix~n)что ДЛil всехI: ; а, ...

, Ix~) I: ; а ..иНL 1!И сло!!аl,Ш, юследо!!атеЛLНОС! и ;T~n)}, {x~n)коордкоорди­огра lllче lНЫМИ. Действительно, такю· ,,'До! !1Т!' :LН!iСЛ' {Мnюлняется неравен!тв!!во-первых., ... ,x~)точек МN 01раничены. В силу теоремы БОЛЫ1ано-'а ДlЯtИСЛОВ! ..IХю·1П. 3) из последовательности {х(n):LНОСiеП10(.4 §4выделить последова-fНl,fXтель юсть {:г('11)},lрИ:сходя НУЮС>f К некоторому ч fелу {Чшослен lва'l'еЛ,НО,'ТL {:r~nkl }ДОf l i1Т" fLНОСТИ BTOPf,IX Ю юрдинаfтеоремыизточеli{ :!подпоследовательностиЮДl юслеДОllатеЛLНОСI( nk 2){ Х2L,МNnk 1 )вательности{X (ln k1 ) }В си ,у '1'11Й /Ееможно(Щ2}:!{сход fТСЯ к числу атель ности""" {x(n k2))}oTBeTcТl1eHHo. Очеl1IIДНО,СХОДlfТСЯ[то если ;ыI извыдел [тьHeliOTopoMYсходящуюся,у а2.

З1;"lетим, что П I JДП I1 след,шатеЛf"НО,'ТLассмо-x~nk3)},подпоеледова-КЧ fеламаlиа2суждеНИlfюднослеДОllатеЛLНОСТИllLlJIe'твеНН11{Xink3 )},ШС>fам:T~nI3)} {x~nI3)1f2 1fз. ПР1JД11 f/Еая этимы, HaKOHeT~, получим сходя ТТУЮС>f К некоторому чис-,у а т ШДПl1след,шатеЛf,НО' тькоординат{x~nkm)},со-к некоторому числу аз подпоеледователыюстьюдю' 1tДОli1Т,'fLНОСТИсходятся,п" с,ед,)-{ x~nk")} послед,ша 1 еЛf"НО' ти Tf)' 'lЪИХ li011рдинат точеi МNлим СХОДЯЩУЮС>fчис-'".{xm(nk m )}"'о' '"'до'", """т"'"'LНiiСТИ"', ""'К МN fрИ' " 'м ПI JДП11слеД11ваl ел "но' ти... , {x~km)}Х11ДЯТ'Яветс} ",'нно. Н11 тогда, в сичи,ле;lIlf"I} поеледователыюсти точек {ю юрдинатами, а2, . .. 1f т.1,и .{xinkm )},,а тal 1f 211'-ХC011l-ПI JДпос fед,шате ""но,'ть} сходится к точке А с{ДI1I\:а' )iша.а м е ч а не.

Предел А поеледователыюсти {} точек,fРИНiщле/Еащих )ilIlliH;'TO;, МНОЖl'Сll1У j\;I} такж,' щ ,инад'1жит этому множеству. Чтобы убедиться в этом, достаточно за­МlТИТL,Е I)Ю)",'СlНОСТИ. е. ТОЧliИ множеСll1аfки А ИМl''''Т''Я{J\;I} , и ЮЭТО;,lVfки Мn ,lO'fKa А Яlляется либоВН;'ТР,ЯНl'Й, fIЛЧ1 Гf'iШИЧНОЙ ТОЧliOП {М ,а['ДО! !1Т,' [ЬН11 принадлежит {3.ПОRЛЯТИ*, нредеЛЬНО20 32лаче2ЛИЯ функции неС21НЛR,­ких переменных.ассмотрим функ lИЮ u = j'(M), опредеl"ННУЮ на ;ШI1/Ее,'тве {М т-м! 'рНОГI1 е! ЮШДОl1l' fРО,'ТРiш,'тва,и ТОЧliV А этого множеСll1а, был, можеl, и не принадлежащуюMHO)[\:!'Cll1Y {М, Н11 11б;,ю тс'м'твом, что В Лfобоi'lЕ-окрестности этой точки содеРЖИТС>l хотя бы од [а точка м ю-Жl'Сli"{М,ш шая от А.Определение'НЪ!з'На'ЧЧисло Ь ндзъtваеmс.яn'Нифу'Н'Х:'Ции1.еел(М)ъ-в487ПГ:.IЕ··тСили''!),Ml,lvIJ.,Ме' !'(J, д {,я,МNторой(70{i(zтел'/) юст:/)е'ц!юб ,й сход,я,'Щ( й:тnо {ГХ; мн i:J/C( Cjji"nот А ) (Мn(М1 ),ипр!!ifi([, TJe !.bl-lОСrn!!; '{.е" ,;итп:ыМ"А).,I((М2 ,'Х;П: 'нведенное определение называеТС>l определениеы предель­ног{) значения ФУНЮ шию: i iЩНО п{)след;шаiел,.но;·т,'Й.

СФОР­мулируем другое определение предельно, о значеНЮJ ФУНЮИСJЮ,LЗ!'Я «Е-д» т"рминоюгИ!о.Оnреде,/l,ение 2. Число Ь 'НЛЗЪi.ваетс,я, nре{)еЛЫ-lы.л.t З'J-lа'Че'Ниемфу'Н'Х:'Ции и.f(lvI) в то'Ч'Х:е А, если дл,я, лю60ю nОЛОJICителъ'НОР О 'Числа Е .л.toJIC'НОта'Х:ое nОЛОJICителъ'Ное 'Число д,='Что ()л,я, всех то'Че'Х:твор,я,Ю1ЧИХ условию ОствоЬII(M)I<Е.из области зш)а'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овле-< p(lvI. А) <д. выnл'н,я,етс,я, 'Нераве'Н­3 аа н иО ;; "Дi' ;;'ния 1 и 2ън{)го ,на ,,'нияфункт~ии эквивалент {Ы. Справедливость этого утвержде JИЯ ыо­)[{i'" б,.!л· до!,;сзана ТОЧНi i так )[{i'как и Э!,!ilшаЛ"НiН{)СЛ, д!!ухопределениП предеш .

НОГО зна· ,ения фуН!щии одной ,ере: !енноЙ.Д!Я обозначения Пj!едеШ . НОГii значенияj!'нщии иI(M) в,ке А и;'П{)л,;)ует'ся 'Jндующая СИМВ{)ЛИ"i.liш лм)и шI'v[ --+АЬ,liшXl --+а;З;2--+ U 2,а т - к юрдинаты,ки А.шр!'е: ощ ·еделение ,Р'Дi' ,LШТО ша ,,'ния j!'н,т~ииИ!!1i стреылении точки l\6 к бесконечности.Onpeae,/l,f':HUf': 3. ЧИС/fi' Ь 'Называетс,я, n р е д е л '/) Hi,tгде а 1, а2,СФор:. ..з 'Н а 'Ч е 'Н и е .л.tУ 'Н 'Х: 'Ц И И Иnе д е л О .л.tУ 'Н 'Х: 'ц И И при М= I (М)---+при---+ ос (илиос), если ()л,я, любою nо­MOj!fi 'НО у'Х:азат'/) та'Х:ое nо.!{ i:J/сителъ'Ноеи.i области зада'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овле­творюо'Щих условш!! р( О, М)выnол'Н,я,стс,я, 'Неравс'НствоШ:J/сителъ'Норо 'Числа Е'Число а, 'Что дл,я, всехII(M)Ь< Е.Арю j:!еТИ',f'СКЮ' опера1fИИ н tД Фунюшя:.ш 111имеющиыи предель юе значение в точкецию.!, такж,' ИМ"ющю! предеш.ное ша ;i'НИ" Вснра"iДШВii след!;i'pf'MfJНHLIX,,пр ШОДfJТ К функ­,ке А .

.иМfJННО,!'твер)[{дение.I(Пустъ Фу'Н'Х:'Циии g (М) и.л.tеют в то'Ч'Х:е А nредеЛЪ'НЪi.еЗ'НШ'lе'Ни,я, Ь и с. Тшда фУJf.'Х:'ЦИИ лм)(М), I(lvI) -g'(М), I(M)·1) Это требование объясняется. в частности. тем. что функция 'и = j(lvI)может быть не определена в точке А.[Нl [Ха {ЛЧГJ-l'{j"я, (''l(]'{ тn шепр!! УСШfi'Ш!! СДока'О), ронные со iТJ!B! ТJ].СТПН![Ь' 'ТВ"' } п ,ГО,твеР)Кfения'J-lШ Ьс, Ьсс,'"веРШf нно ;сна ЮГИЧНf,доказательству теореыы 4I:>есконечно маЛЬНf ФУНКии,ии,БСС'Х:О'Нf 'Ч'НО малой в то {,'Х:!зывafliIll= О.еслиМ-+Л+ ...fеГ1Ю убедиться, что функция I(1'vЛ = (Х1 - а )n 1"'")'TLm( - IО ,,; О )китf'' ILHI"If''С"тгд,,\ n1 ... ,nШ ",I'а ,тляеТС>l бесконечно малой в точке А(аЯli-а2 ... ,а т ) 1).Если фу'Н'Х:'Ци,я ИI(1'vI) ИЛfсст рав'Но ! nРfдеЛ'IJ'Ное з'На"lс'Ниев mO"l'X:e А, то фу'Н'Х:'Ци,я o:(NI)(М) - Ь ,явл,яетс,я бес'Х:о'Не"l'НОмалой в точ'Х:с А.

Де!" твит" [ьн"liш ff(1'vI)liш и(М) -)liшМ-+ЛI (1'vI) -I'v[ -+ АНс ЮЛЬЗffЯliш ЬI'v[ -+ АМ-+ЛУЧffМ спет~иалыюе предстаЮIе fие для функт~ fИ, иыеющей рав­ное Ь Щ ,едеш,ное значениеТОЧ1," А:= Ь+ о:(М){деliIll 0:(М-+А= О.СравнеШfе бесконечно ыалых фУНЮlИЙ нескольких переыен [ыхпроизводится точно так же, как это указано в п. 3 § 2 гл.длябе, 1юнечн" маШ,IХ функций, Дной.

ОТ11етим,какв случае одной переыен юй, под сиыволоы 0(;3) ыы будеыЮНИ1,1ал,бе"1юнечн" 11аIУЮданноП ТОЧ1," А фУНКЦИЮболее ВЫСО1,ОГО порядка маЛОСf и, че11 беС1юнечно малая В данно!',[ке А фffНКЦИЯ ;3(М).5.Необходиеюе и достаточное условие существованиянредельншо 'НlаЧZfRIИЯ функи f,И, И, (критерий Коши).

Буде1lОВОРИТЬ, что фУНЮlИЯ Г(М) !fдовлетвор,яет в mO"l'X:e М = Аусловию Коши, "сли ДfЯ ЛIобог"ю,юж:ит" [ьногО чи, [анаПдется положительное число д такое, что, каковы бы ни были дветочки М' и М" из области задаНЮl функт~ии I (lIп, удовлетво­рЯlощие ж'ра ,"НС},'О < р(М',А) < д, О < р(М",А) < д, ДfЯсоответствующих значений функт~ий справедливо неравенствоII(1'vI') - I(1'vI") I < Е.СправедлИl ;с слеДf'Теоре,м,а'Ци,яI (М)14.2О{'Нfшная тс'оре1,1а(к;ритериu Коши).торо "lтобы ФУ'Н'Х:-имела 'X:oHe"lHoe nредель'Ное з'На"lе'Ние в mO"l'X:e1'vI= А,1) Достаточно учесть, что каЖ1\ая из функций 01\НОЙ переменной /(;1',,)=(:1'" -является бесконечно малой в точке Х;.

Характеристики

Список файлов книги