Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 81
Текст из файла (страница 81)
~. доказ;;но, что ряд(СХО1l,ится И им~~т суыыу, равн\';::. Оста~тся 1I,oKa:~aTb.'/1'в~ржд~ 11[~ 2) о 'ГОМ, :[1'0 ряд (13.65) С:ОДИТ;Я абсолютно. Дока ;аТ~ЛЬСТВОfТОГ1; \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ СЛ~1I,:;Т и:~ \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ ), 1C~ли1ГОПри1iРИМ~11РЯД;,iМД01·;аЖ1";'ХОДИМОСТh i;TOPO; О из рядов (13.~4)1I,OKaif';bl абсолютн\';:: СХО1l,имость РЯ:1аполность Ю1 ока <ана.i13.6;i:.T10p~Ma13. 1ППЕГАllИ:: К§lИ"lИС>l РЯ,Ариф,метические оперi:Ш,ИИ над сходящимисярядамивllараграф! МЫ расс:.IО'ГР:"'1ле llЮГО сложе11иR(Лl\:,11011POCхТ{'орема';11ОСТ:' 11011ере:. ножения сходящих: Я р !ДОll3.
2.ji,C!!'/},Lдоа рядах~ ;'k с:год f.IYiСЯ'/},/сk=lи и,меют с.! м,мы, соответственно равные И и Уто и рядхLltk± Vk)сходшnся и имеет C.!jM,Mfi, равную И± У.k=Обо:~начиы n-~ частичны!Vk) ;'ОО'ГR~'ГС111;ННО '1iр!З= иnУn . Так как 1iш ИNД о к а :~ а т ~ л ь с т в О.LL VkМЫ рЯДОllltk,Уn и SN. TOГi1a,±11Ш ~~L = У, то ;огласно 1'; op~Ma:.n-+х±':.9n-+·х'3.10,=,И,;'УЩiСТ1,УЕТ 11Р~Д~i:±=liш SnИУ. Т; ор~маюка;ана.nТшиtм образо,м любые сходЯ'iJJ,иеся ряды ,можно i!очленносnладыватъ и вы'Читатъ.П~Р~Xi! lЯ к ВОП] .осуния ря юв,1\OKaij<iblBO:~Ы! iЕНОСТИ почл~нноГi! п~р~множ~-СЛ~1\\ "!Щ!!<;ТВ~РiЕ1\~НИ~.ххТеирема3. 3. ,",сли два рядаLltk иL Vlсходятся абk=1=1солютно и и,меют су,ммы, соответственно равные И исоставленныu из всех i! роизведениu видащто(k=,2 ...
;l=,2 .... )зану,мерованныlx в nаnо,м уго)но по! ядnе. тш,;ж,сходится абсолютно и его су,мма ра6JШ ИУ.Д о к a:~ а т ~ л ь с т в о.1;РОИЗR~Д~11Rlща ltkVZ1Об!!шачим ч~р~; Wl,W2 Wз, ...... : l1,Зii11УМ~РОRа11хны! в каком; ГО1\НО ПОРЯ1\Ю . Д! каж~м, чт!! ряL IWiСХО1\ИТСЯ.LП\'сть- n-я частичная cYblblaiToro РЯ1\а. Суыыа Sn состоити; ЧЛiНОВ ВИ1\аИН1iКСОВ k и l таких чл~нов, вхо-IltkVII.ДЯЩ11Х!'УММУобо:~наЧИ1\/.наиболъшш'lS .. ,1Щ~1';С, 1';О'ГОРЫЙ МЫ111.Тог 1а в!! всяю м случа~13.правой части нсравснства!''ГИ'1Н г: !'УММ РЯДОR(13.7';;L lltkl Lстоит ПРОИ:~В~1\~НИ~ т-х ча1. в силу С:ОДИl\Ю!,''ГИ У1'; :занных пя 1Ов С ПОЛОЖИТ~,;lЬными ч,;;~наыи вс! их частичны~ суммы(а CT~JТii быть, и их проиш! 1iНИ! ограни'Чен·ы.
ПО'iТОЫУ огРШiи-ря..·ЮВ',;ТОt<a':bIB:t: тИtим;;(тьСХО. tим: ;(ть1.Ui[;,Ч1'О п; ;следt шij ряд И;," :;т су .;! ;'iYН\'Р;ряд; ;,':;дитсяр:сумм:!SтоН; .;пm::·'Um от.6ВS.рав-(илуj:OiJiOPO,' М'!;:его 'у чм'Uруем. Каt<Ую бы мы ни взщIИ после ювательность (астало С,ыть, и nодnосл:;доваm.:;ЛЫ-tОСТnЪ 1)) частичных сумм этого[а, она сходитс:t к числуS.'Ш: заведомо равнаибо именно к этому числу схо tитсяНо вTat<oMслучае суммаS[аасLUV.i=lnодnоследоваmелъносmъVYm = (ЩvYmчаСТИ'i iЫсумм ЭТ010 ряда в !Да+ 'и2 + ...
+ 'Um)(Vl + V2 + ... + V m )·Теорема 13. 3 юказана.3 а м е ч а н и е. ПРОИЗi едение рядов(х)k=lk=liЛЯ многих целей у юбно:аписывать В виде( ~ 'Uk) (~Vk) =k=lk=l-'и'UlОтмети;" без доказатеЛЬСТЕа, '!ТО ряд, iЮЛУ'iеi iЫЙ iю,шеi iЫперемно.ж:ением двух рядов у<а:анным специальным обраюм,сходится и в случае, [<огда mолък;о один из двух перемно.ж:аемыхюв СХОДИТС:i а. ·:ОдlОт.н.о (а,)тойможет при этомсходиться ТО. iioКO YGTIOi iЮ). В СЛ"'iае, когда оба ряда с:,:одятся,'словно,почленноеперемножениеприводит вообще говоря,§ 5.ихдажепоэтом,'правилу,асход:tщеМУс:t ряду.Признаки сходимости произвольных рядовВ § 2[;1 устаtювили ряд iiризнаков сходю.юсти для рядовС nОЛОJICШJi.елън.'Ы·.":; 'Член.а чu. В этом параграфе мы изучим воiipOCО iiризtiака:·: сходи;,юс;и для рядов С чле iЮ.Ш";;;010зtiака.Итак, пусть(х)L'Ujk=1) в силу п.
1 § 4 гл. 3.(13.76)ряд, чл, 'Ю,l Ю ,'111Р,имею'! какИ(' УГОД! ю зн;rю,!,111з rмети\!, ЧТ11 дЛЯ уст;! 111вле! 1!,fЯ абсолюп;uоii, т,еПр, 'l}lде"'1Щ1IМОСТl1 3ТОГ11ДЛ11 у<таю>вл, 'ния СХ11 lИМ, ,<ти ряда с п' ,ложительными"'11'н;rмиLUkIг1мuж:но примеЮ1ТЬ любой и; Пl'ишаков §(признаll Даламбера,ОШ!l, Раабеинтеграл fЫ!!ризнак). ОДl!акоодиниз yrlж;анных признаl10В не дает вu;мuж:ности ВЫ11СНИТЬ (олееmOH'x;uii вопрос об условноii сходи.мосп;·и ряда13.
(6) 1Нил;:е мы и;аймемся ОТЫСllанием более ТОЮIИХ ш ;и'шаков,позволяющих \'станавливать сходимость Р"1Да3. (6) и ~B тех случа11Х ког, Щ этот ряд не 11ВЛ11ется абсолютно схо, ЯЩИМС11.1. Признак Лейбница. ПРИЗ1!ак ЛеЙСНffща ОТНОС11ТСЯ квесьма распространенному частному вид\ ряда3. (6),такназываемому JНaJ;очере1)унnцеЧУСJl ряду. Р11Ha;bIBaeTC11!'rta'х;очередующ'UJv!СЯ, если 'lлеЮ,l этого ряда 11О0'1ередно и\!е С1Т тополuж:ительный, то отрицательныйряд10шаКИ.1накочереДУЮЩИЙС1!записывать так, ЧТОС1Ы бl,l.Шl выя; лен,1знаки всехего членов, т.
е. в видеР1?!де все-+ РIР2- ...+ ( - l) k- 1Pk + . .. ,(13.77)О.Теорема 13.14 (nризнаХ', Лейбница). Е1ди ';/iе'Н:ы!'Нл!;оЧ!!jп:дУЮЩ1:гося ряда, будуч'U взят:ь; по Jvюдулю, обраЗУЮП 1 невозрастающую бе1'х;nнечно .малуюто этотряд сход·uтся.3 амечание'яд, удовлетвоl'"!ЮЩИЙ УСЛОВИ !м теоремы13.14,'lасто !аЗ1Баю! рядо.м Леiiбнu'Ца.1) Заметим, впрочем, что признаки Да,"амбера и Коши можно применять для усmШIiО6ле'liUЯ расходи.мосmи ряда с 'Ч.ле'liа.лш любого З'liШ/ШгаfЮМ Дi'ле, Ш'Zlкий раз, Ю1гда признак Даламб1'раpf'"раГХОД11'ШПЪ рида из М1Щf'лейL=l1tklk-й(13.76).К11ШИ к ,,1ссга1'И-рида1tk н''k=lгегр' f1Ик Н' '1Ю приk --+ OG,ПРИМ1'ра УГ1"аН шим, Ч1'О ридег. е.
ридfk! (I)kрагходиегсZl. В ка'1еСП1"расход 1егсм дли люб11Г"'=1>ванног "" ;~начения.. '4fвлеТВОРЯЮЩ1'ГО HepaB1'HcTBf'е. По 1чет 1fЮ'М,11еп ,греДГ1'веЮ1аи пр"ш'рка 1'01'0, Ч1'О k-йрасс,"а1'р"шаеf Н 'Г" ридане стремитсянулю при'f,является ;~11ТРУДНИТ1'ЛЬН,,1.Применим кр 1ссмаТРИВ11ем 'Mf' т'ядf' ПРИЗН11К ДаЛ11мбеР11. Об 'ЗН11чая k-й член этого ря-Д 11 через а1,РаС';()'fИМОСТЬ ряиметьralak+11 =а1 ''Щ<11;~;ша.Ixl(1 + ~) k 'ОТf"Д11'lill1 lak+11 =k-+oola1l1El > 1.еРЯ.lOВказатряд(1:\ 77)ли ИЗftе i ТН!', чтt,являt·т(яН!$; Гср н таЮt tей и бесюшечнt,сумму··'Т' ,гс'порядка В2 пря.
[аIPl - Рп+-+ (Р2n··········,+Pf)- Р2n(1\.Так как каждая кр\тлая CKof)Ka в (13. (8) неотрu!?ателЪ1-/л 1ясю. 'fТO ffрИ возрастанииfюслеДОЕателnюстьтоне убы-аает,tугОЙ стороны. В2n можно переписать в ви [еС= Р - (Р2 - Р:З) - (Рl - Р;) - ... - (Р2n-2 - P2n-lii,- Р2п,~ Pl. Ta~1i OfO Ю\fера n б\-деf В2 потю\-да Оifевидно, что для[<им образом. последовательность 'Четных частичных сумм В 2nне \·Г,ывает и ограНИifена сверху. В сил'·TeOpe\ff,1 3.15ювательность СХОДИТС!f к некоторому числу В.
т. е,эта fЮCffе-limВ2nВ.n-J-CXJ+И. очеви. [ного равенства B2n - 1В2n12n и из того. чтоliIll Р2пО, Bf,IТeKaeT, 'fТOllоследовател ,f юсть не'Четн'ыхn---+хI В2П - C-:ОДИ'f ся к тшр· же 'шс.лу В. . е.В. Та 'им обра юм. вся после ювательность {Вn }'fаСТИ'Шf,1Х суммlimВ2n -СХО. fИТСЯВ.3 а м е ч а н и е 2. ПРff доказате ff,CTBe теоре ·.ff,1 13.14 [,1обнаружили. что пос.ледовательность 'iemH'bti частичных суммВ2 ..} сходится к пределу В не убывал.(Р2 - Р:з - (Р'ь - РБ) - ... - (Р2n-2 - P2n-l)B2n - 1 = Pl вытекает.чтоAf fаЛОГffЧf ю из paBef [С, ваfe'feTH ,1Xпос.ледовательност'чаСТИ'f[ысумм{В2n - } СХОДИТС!f к пре. fелу В не возраста i .Таким образш.!для любогоЮ\fераn~ В ~ В2П - .(13.79)llоскольку В2n 1 - В2n - 12n и.
неравенств (13.79) вытеfiает,что В - В2 п ~ Р2п и B2n - 1 ~ Р2п ~ P2n-l. Те! СЮ.ff,1М[,1получаем, что ДШf любого номераnсправедливо неравенство(13.80)Неравенство(13.80)широко исполь.уеТС!f ДЛ!f прибли.ж:енныхвы'шс.ле ffiЙ с fЮМОШЬ С, рядов.iiачестве Щ tимеl саpaCCMoTl tимуже неОДНО·l атно фигYl tировавший выше p!rд00"'_-----:'-_.-_'~=1--+~-~+234... +(_1)1-1k+ ...k=1)Бсле 'СТВИi' ТОГ'.что {рс} Нi'BOiPi!CT<JA'T, Т.р,? рс.+ 1.(13.Ю)iГ{1Н,ПОЛlНЫХ ря..·ЮВ457что ряд (1:\:Ч) яв. шеi ся ряд()м Лейбница, а П1(·1ТО··:ОД;iМ()СТЬ 1ТО щ,гукаст из Т""ремы13.14.Пусть, Н:ШРilмер,ну.ж:но вычислить сумму ряда ( 3 8! ), т. е. число1стью Д1'силуi.енки ( 380) ··1Т:; суммаН11' Тi,Ю С" f1 iiада,т с В11т,2.1 - ~2-+ -'\ -~4Признак Дирихле-Абеля.+,'Ст()чн()-IIIН]iaHOBiения еще Од!;0-ГО тою\ого Щ ;ишака сходимости рядов выве. [.ем о.
[.НО интеl ;есноетождество, представляющее соСюй аналог формулы интегриро~вания по чаСТ\iМ. ПустьiiРШiЗВОЛ ,iiЬie 'ШGтrа,'и2, 'Uз,...,/11,и1=1'1 1'2"З ... -+ 'и2 + ... + и п ,рn-HO~мера. Тог [а справедливо сле. iующее тож. [.ество:п+рLп+р-1'Uk ' kSkk=nВn+!/и n + р'Uk+1)Вn-1 ' n·-(1::.82)k=nТождест;.о (13.82) обi,pj 10 называ;С1Т m.о:ждесm.вом Абеля 1).Ы в о Д т о ж Д е с т в а А б е лУчтем, что 'Uk- SI.и подставим это значение Uk в левую часть (13.1'~2).llолучимn+рn+рn+р-LL'UkVk = Lk=nв ПОGлеДiнияk.сумме уме; ;ЬШiiМk=nединиц,'iaiдекссуммирова-Получимn+рn+р'Uk'Uk = LLk=nk=nSk'Ukk=n-1k=nп+р-1Lп+р-1+ Sn+pV n+ p -I.=nLSI. Vk i 1 -Вn-Vnk=nn+р-1Lkn1) Если рав;'НСТВО (13.82\ пет '·писать в ви';""рL(5;1 -k=111'0 ссган Ш!1СГСzt о';еВИДН1,IМ,k=nпреобраз '"аiiЮ' Аб;·л;; юш;;есгсztсущесп;\'фогм\'лой с\'ммигования по частям, ПГ"дставляющ;'Й собо,,' р ;;~ностныйан;;л;;г формулы интегрир;шания ш; ч;;стям.РЯ.lOВшшучB[,lpa;li; ни;'[Л[·[ем с,iмытожд; ст!Теоре,м,а;!сов [,!Да[с,'еееАб; ля док iзаН;l(при: ННn13.lycmb00Li(1\.831k!'kkЭтот1)СХОi)uтс,я.
еСЛil в'Ьtnол1-tе1-t'Ы сле, i ую иие два условuя:nnс <едn ;аmе i'i,'/-/,ncmb {'!'k}Jl i./!Jlеmсяне ;О.JjЮ,i таЮ'U.;,е'ЙбеСnО1-tе'Ч1-tО малоii:асLстU'Ч1-t'blХнмеет o.'pa1-t'U'Ч,1-t1-tУiО НО; деСiOвате ib1-tО;:m'i· 'Ча-k=1CYJvlM,оказателасряда>LЩ. По УСЛОВf[Ю С\'щес ; вует такое ч [СЛО ]1.;1>k=1О, чтоISnl~ м дш[ всех номеров 'п.>силу критерия КО ШIдостаточно доказать. что для любого ЕО найдеТСi[ номертакой, что при n ~ N и дш[ любого натл iального рNП+РL 'Uk'Ukk=n> О.дано любое< .(1::.84)Так как последовательностьется бесконечно \fалоijне возрастае'f{Uk}являто для положительногочисла 2~! найдется НОМе'; N такой, что0:<-...;:,<_Е_'/;п.(13.85)2111iименим теперь длi[ оценки в;'личины, стоящ; Й В левой части,тождество Абеля13)~2).
Уч [л,шая. '!то \fOД\'ль[,1нес;;олы:их величин не превосходит суммы их мо. [улей, мо. [ульffРОИЗЕедения раве[ffРОИЗЕедени;с, \fOд\лей и чтоVkVk i 1,[fo-лучимn+рп+р-1Lifk'Uk ~ LISkl('Uk -'иН1) + ISn+pk=nk=nв правой части3.86) воспользуеМСi[ неравенством ISnlсправе. [.ливым~N1,псе! номеров 'п, Получимn+рL UkVk ~k=n(13.87)д rлее, замеТИ\1р:шн:r V{iЧ'f<умма,l'ТI'ящ:rя в фИГУРffЫ<ю,бкаТl'ЧfВ т:rю ,М'f\'ч:rе н1 р:! ;"НСТ!," (13,,~7) ffрИНИ "f:reT'и fVk~(138{~2Mv nk=nТеперь, если в ffравой'faCf и13.8'~) ВОСllОШ,ЗОЕаться неравенством (13.8~,), получим, что при n ~ N и ДШf любого натурального р Сffраведливо fepaBeffcTBo (lЗ"~4).
eopefa доказаffа.3 а м е ч а н и е. Теорема 13. 4 (пришак ЛейБНИllа) являеТС'fчастным случаем теоремы 13.Прие р11 + "22при)1)k-1.Исследовал, на СХОДИ\fOСf;1.[,1.12- "3 + 4" + "5 - "6 + ... + 3n -2Уr<а;анный ряд можно fассматривать1vkU1, 'и21 и;-2, 'и4= -,==Очевидно что:2+ 3n -3n1 -видаr<ari= 1G"еду \iЩИЙиБ1,+ ...( 3.83) при'и6обладает= -2, ...после fOва-1.=1тельностью частичных сумм:= 2, 56 =Яf ляетсяО,CfecKo [е'!5;1 52последовательность,fo мало!'!. По теоремеIVk}5з54 - 1не возрастает ирассмаТРЮfаемый1:\.15СХОДИТС'f.2 . В f,IЯСНИ .,! BOffPOC~ C1iSО СХОДИ\fOсти ряда ~-k-'-,где х-неко-k=lторое фю<сированное вещественное число.
llользуясь обозначеНИЯМf·f Teopeff,1 13.15, ffOЛQ;!. ;·fM Uk = cos kx: Vk = l/k. Оценю'!последовательность частичных сумм5nLрядаUk. llосколькуk=fЛЯ любого ном!sin ( kаk+ "2) х -~) х: =sin ( k -ТО, сумм fрУЯ ЭТО сои; ношение [foko'f2 sin ~ cos kx,1до 'п, fIO.ЛУ'ШМ. ,r25n ЮН-.k!1))чеви,цН1i что РЯf2:=k=1и00L(-lf k 1 = 1k-11iГРfШИЧf'ННУЮ ПОСЛf',цов 1Тf'ЛЬН ,сть частичных с\'мм.111+ ...имеетря..·ЮВОТСЮfаSI!!аЮ·fHOClhоС,раз"м, для люб"г" х, не 'Крат'югочаСIИЧНЫХ сумм 8 n Оl'раничсна:~SnПо теореме·лш';ен'u"13.152;"1I;;in; l'рассмаТРЮiаемый ряд сход'uтсл длл любого,не 'Кратного21[.Если же х 'Кратно21[то;ассмаТРfшаемый ряд превращаеfСЯ в гармонический к как доказаfЮвы не, расходится.§ 6.Бz:СКОНz:ЧТТ i,Hfiрои:шz:дения1. Основные ПШt1.i'Т'ИЯ. К понятию числового ряда бли;;<оiiРИ\i [,IКaeT поня iие бес'Коне'Чного 'Ч'uслово,'о nро'uзведен'uл. П,'ст,дана бес <онечна,f числова,f последовательность 'иl, V2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
