Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 82
Текст из файла (страница 82)
,'Uk, ...Заiшсаf юе фор ,iально выражеf ;ие вида(х)VI V 2 V :З··· Щ... =п Vk(13)~9)k=принято называть бес'Коне'ЧНЪUvt nроизв;;дением. Отдельные элементы ;'k Щ ;инято на';ывать членами [анного бес;<онечного Пl'Оизведеf;ifЯ. 'ПроизведеШfе iiepBf,IXn 'шенов да; ЮiО С,еСКОfiеЧfЮiОщюизве. fения ПРИНifТО на;ывать п-м частичным прои;ведениеми обо;начать символом Рn:nП'Uk'k=lБесконе'шое iiРОИЗiiедение13)~9) называ,;л сходЛЩ'UJvtСЛ, ес.Шfпосле. ювательность частичных Щ юи:ве.
fений Рn имеет ;<онечный предел Р, оп;л'u'Чныii ОП; нул~ 1). в СЛ\'чае сходимости ; 'ес;<онечного прои;ведеНИif (13.89) указанный предел Р называютЗНа'чен'uеJvt этого бес'Коне'Чно,'о nро'uзведен'uл. т. е. Шflli\ тР= П Vk·(13.90)k=lТот 'j"bl'T. чт" при Р = о с;еск 'нечное пу "lBBe.'j' ню' принято считатьрасход.ящu.мс.я, х"и f1()СИСГ :·,с, 'jШЫЙ XapaKCГj'p, ,Ю, как М,,! ,'види,,ПО;~ВОЛЯj'Т провести Чj'ТК, юнеЧНЫ'j ПР"lвве'j' ниЙ.; !налоги ",ме)кд:,' СХjЩИМОСТЫ" РЯ'j 'в ИCjeCK"-4616Лf·1Ш1,СХОДЯЩi'fОi Ябесю ,неЧНi)ГiiffРШ1звед, ·ния.СНО,дляР Н(МО1Tiiтрение бес!;, ,нечных ПрiШЗВi' 1i'НИЙ Пii существу пред<таВЛi1,'Тсобой нов\'!" форму и i\'чения '1ИiiiiЩ,1Х последовате.'fЬНii' (i'Й,ибii 1i.а.Ж:ДОМУ 1,ШНОМУ беС1i.онечному пр, ,кшедениюfНозначнос',iiTBeTifTyeTiiiСТЬТИ'fН1,1Х ПРОИЗЕеде1fИf.1и каждой числовой llОС.ттедовате.'1ЪНОСТИто} юй отличны от HY,ТJ(1ffРШ1зведение,для0.1нозначно соответствует беС1i.онечноекоторогопосле.
ювательностьюrP k 1, все элементы коэта11ОследоватеШ,11ОСТЬчастичныхпроишеденийполо.ж:ить члены бесконечного про и шедеНИi1Яfшяется(. юстаточноPkiавными 'Uk= Р,).6.k -+'о k~po 'Чл, н,а приД о к а з а(! 3.89)li1lJk--+xсуНеобходШvtъtii условием сходшvюсти бес'Ко~(13.89) "6.1, "emi' сm .II'млен,'Ui 'к00.е л ь св О.П\СТ11,ecK01fe'11Ое произведе1;f1есходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тог 1а'k_ 1 =li1l1сествует иi= О. Поско. f1ЖУ'k =k--+xVk =Pk •Pk-I 'то liшVkk--+x,авен единице.За\fеТf1М, что на С:':ОДf1МОСТЬ1,еСК01 ;е'1 1010ffрОf1зведения н,евлиJlет у.1аление люf!ого 'Кон,е'Чн,ого 'Числа членов этого произ~ведешfЯ'Член,K01fe'1 10, среДf1 ЭТf·1Х чле11ОВ нет paBНi,1X н\'Лю).1,ecK01fe'1 1Ое произведе1ше, у которого ',:отя б1,1 один,(если,Поско.
f1ЖУ,авен нулю,согласно Пl'инятомутается расходл'Щимсл, то мы в далpaCCMnmji,'H'UJl б,'Cf;он,,''Чн,ыеодин, 'Член, рав,:н, н,улю.ПрмеР1,11.(х;',есконечхвыше определению,счи~fейше\1 f'ООСlще 'UС'КЛЮ'Ч'UJvt 'UЗ'Кот i1 ' iol:! l(от" быыхроизхх"4 ... cos 2 kcos 2 k = cos "2 cos•••едеи(13.91-;11;'юе фиксированноеДокажем, что беС1i.онечное п; юизведение'ilП Х( 3.9 ) СХО.1ИТСЯ Иllодсчитаем n~e частичное произведениеимеет значениехnУмно.ж:аil обе части=хcos - COS 22 ... cos.(13.92)на siIl 2 n и последовательно исполь~1войного угла ;;iп 2у - 2 SiIl У COS У.
по~(13.99)формулу ДЛil синуса2nл\'чим-2nSlП1':.ря..·ЮВф 'рму. f[,1Iз послеДf)SI11,rхllо(кольку выра)ксни;' в фигурных Сf.f.оБКiХ (тр;'мит(я КfИНЮfi'приlimn00(в силу первого;амечательного предела), тоn---+ооЮ11Хсуществует и равен--.РnТем самым доказано, что бес .f.онечноехffРОИЗf едение2.13.91)с:од пся и имеет значение00[1-~--,-,-=1.=2п(k"111Х~(k){k 1~ 2)k=2142(k - 1)5(k2)(13.93)-k-·-'(kl)'"2'З'З'4Докажем, 'по бесконечное произведеfше1;'т;начениеРnfсчитаем-частичное2,и име~1 2 3n-1 4 5 Gn+21 n+2= - ' - ' - ... - - ' - ' - ' - ...
- - = - ' --о2 3 4n3 4 5n+1n3После этого очеШЩfЮ. что!авен(13.93) с:одитсяш юизве. [; НЮ' Рn :n---+ооliIlln[n32 с\'ществует иСвязь \fСЖ/f,у ССf!/f,И\ЮС'fЪЮ беСКШfечньг\ний и рядов. Если СfеСКОffеЧfюе ffроизведеfшето в силу теоремы3.16все члены его 'ukfроизвсде(13.89)с>:одится,начина,f снекоторогономера k, полож:ительны 2).
llоскольку конечное число первых'fленор ВООСfще [е влияеf [а С>:ОДffМОСТЬ бесконе';ного ffРШfзвеfения, то при и!учении вопроса о схо. fИМОСТИ беСf.f.онечных щю~изведений мы, не ограничивая общности, можем рассматриватьлишь такие БССf.f.онечные пIюизв;' fения, у которых псе 'Чле1-t'Ы !!олож'uтеЛЪ1-t'Ы.Теорема 13.17.
ДЛJl то" ';то ''Ы (ef'X:mte"i1-tое !!fю'u:юеJе?!ш~(13)~9! с nолож'uтеЛЪ1-t'Ыми 'Чле1-tами сход'UЛОСЪ, 1-t~обход'UJvЮ 'и,)остато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходиЛСJl РЛ')00(13.k=lМы считаА'М. ЧТОраню,! единищ'.2Ибо liш vk =k--+'X::1.i=о. Если= О. ТО все ЧЛf'НЫ (13.91) и' го !~начение6!'ЛУ"!Ш сх()(Jшvюгсу.мJvЩUЗ6iде1-tUЛ 13)~9) свлзШ/!!ы !jюр.мулоiiРДотель'!асти'!Н\ !С, сумму рядаnро--(1::,9~!()б!/значив через Рnтв!!р, ,!,!:~B! Д! ни!' [,есю ,!!еч!13 94)(1:\!!р,,!!:~в/'д/'ниячастично!',~9), а '!ерезn-13.94), можем за шсю!в с!шу не!!рер ,IВности !юказательной ф\'нкции для рсе: зна~ченийдляal !гументаи нещвсе:!ы!ывности логаl !ифмической функцииз!!аче!ш!!ар!\'/!ента,последовательность Рn схо, !.Ится тог, Щ И только тогда, ког, Щ схо, !.Ится Вn, при~чем если lim Вnn--+ооВ, то lim РnеВ.
Теорема юка!ана.n--+оо!и исследовании на сходимость бес!<онечного щ юизве, !,енияоказывается очень \ доС!ным представить это бес!<онечное произведение в виде(J::.96)k!и этом,!<онечно,в соответствии с прин!!тым выше пре, !Лоло~)кением, мы считаем, что все 'uk-1.13.17 утвер!кдает, '!то !юпрос о с:<од!!мост!! !!РОИЗЕе(13.96) э <вивалентен вопросу О схо !имости рядаеоре!а!енияL !п(1 +(1).97)Uk)'k=lТеперь!,1 можем доказать еще од ю утвер!кде !!!е.TeupeMZГ, 13.
8. Вслu все 'Ukпо 'КраЙ1-tей Jvtepe 1-tШЧ'U1-tал сне'Котnро),! 1-tочера k) СО:i:РШ! "ютU тот JlCe ,j1-tan, то !!jjJlcxoauMocnJ'u беС'КО1-tе'Ч1-tого nроuзведе1-tUЛ(13.96)1-tеобход'UJvЮ 'и дo~стато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходuлсJt р.я:)(13.9{~д о к а з а т е л ь с т в О.Поско,! !,куjсло!шеUk = О ЯЕ~k--+xляетс!! необходимым и ДЛ/! сходимости!а (13.98), и !ля сходи/юсти произведеш!Я (13.96), мы можем с:штать это услоВ!!евыполненным как при доказательстве необходимости, та!< и приюказательстве достаточности. Но и! указанного условия и изря..·ЮВ+ о(у)иli,"Ukk~;; 111 (1+, k)1.(13.100)Поскольку по условию теоремы все ч.
[ены рядов (13.!Л) и(lЭ.98), начиная снекоторого ноыера k, сохраняют один и тот)ЕГ знак, условия (13.9<)[ и (13.100), в силу слетствия из тсореыысран[[е[Ш>i[Ю'f1iОЛЯfОТ УЛiеР,f'лат[" что р>л ( ::.98) CXO,Jl,[1Tся Tor,Jl,a и только TOr,Jl,a, Kor,Jl,a СХО,Jl,ится ря13.!Л). Теореыаюказа11а.При м еры.теоремы1)Из расхотимости гарыонического РЯ,Jl,а и израсхотимость сле,Jl,УЮЩИХ беСК011еч 1[,[Х3.18 1i[,['1eKaeTпроизветений:(х)k+i) =(1 -(1 -~) (1 -3) ... (1 - k+i) ...j,=lЛегко понять, что первое из указанных произве,Jl,ений расхо ШТ+00,ся к2)аа второе к нулю.Из той же теореыы> .1i[,[TeKaeT13.1Sи из СХО,Jl,ш\юсти РЯ,Jl,асхотимость [1Р[1 а>13.33)приc.:-rе,Jl,УЮiiШХ бесконечНf,[Хпр' 'изве'тений:ft[1 - (k: 1)"] = (1 -~ ) ( 1 - з1 ) ...
( 1 -(k 1) ...k=lТак же как и ,JI,'Ш РЯЮВ,ТЛЯ j,есюшечных произве тений BBO~штс;; ПОII'.i'1ие абсолюrnJ-tо'uУСЛО6J-tо'u схотимости. БеС[ЮIIе'нюепроизветение (13.96) называется а{!СО,j,юrnJ-tо сходЯЩUJl"'СЯ в тоыИ тош,[ю то' СЛ,'Iае. [iО1ла СХО,Jl,[ПСЯ абсош;;тно р>л () 3.97). Теореыы Коши1См.13.11§ 7 гл. 4.и Римана13.10позво.'шют заключить, чтоаБСОЛj(УТНО сходящеес'""' произ :~едеНjlе рбладао'"'""" iУf(''f'}(',месrn'U,}л'-' 'f:'/f~'НЫ.М С1ЮИСТRО:.;,R тонр; м;тУСЛ()1;НО сход;тщ; ;'ся f1РОИ':1:еден;н~з::ведоыо Ш\I н;' о{:лад :ет,00L IUklказать, что ря,J!,k00схощтст ряL1СХО,J!,ится тогда и только тогш, когда1(1+1· Это иосле Тffee легко нытет;аетk=1с\;ществования ире,J!,елов(13.99)и(13.100).Детали Jассуж тенийиреюстав:шем читателю.В заключение рассмотрим еще несколько ириыеров.1о.
Рассыотриы (:есконечн;;;' ироизве,J!,ение.,х-13.101)3271"200Тат; т;ат; ряLk2cxo,J!, пся, то, R сил\ 1еореk 1конечное ироизве,J!,ение13.101)3.181Э. 9, бес-сходится аС;солютношя лю{юго+НКСИРОRaIfН010:ffа'fеfШ;Т Х, от ТНЧfЮ10 от lп (1леl = О.
±1 .....в ,J!,оиолнении 2 к этой главе мы ,J!,окюкем, ЧТОiТО ироизве,J!,ениесхотится к значению si11 х. Теы самыы бутет обосновано разло)кение функции si11 Х В бесконечное ироизвет; ни;':;111х=fr (1-k=1k~:2)'13.102)Из разложения (13.102) ш теы исиользования соотношеSil12x;лементарно иолучается сле тующее раЗi}i ,же~сонх2 sin х2.нияfше:00со; х = П [1 -(2k~x2)271"2 ] .13.103k=lАС;солютная схо шмость ироизве,J!,ения, стоящего виравой ча-СПI (13.103),шя .iТЮ{ЮГО х, отличного ;;т ~ 2Т1, ...вытекает из теореы00L(2k-l)"k=1:.18и213.191) (1 =О.и из схотимости РЯ,J!,аря..·ЮВПОЛС11С1;'1 R UlЗ'ЮЖ8Ю!311т4~2)1,=1-х102)1,=1шл\ 'шм1,=1На!! и/са00П2(2k)2(2k - 1)(2k +11,=1234345...2k2k -1фор\!ул\!!ес. юж!!ых.
.. (13.2k +Dаллисамо\,· нопривести к ВИ1l,у.1--+oo2k+1l1Пl - -2! 5а.[2 2k (!)2]2(13.104*)2k!)шнса нс; !О.'!!ОRаш, 1I,.'}Я ПJ ,иб. !нженного вычисления чис!а п. В настоящее времяшя вычислениячисла п сyri!.еСТВi·ЮТ более эф!l ективные MeTo1l,bI. ФОРМi·ла Валлиса(13.104) пре lставляет интерес 1I,ля ряда теоретических иссле1l,Оliа!шi!j 2).ДОПОЛНЕНИЕВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ п.Теорема 13.20. Пустъ Pk сущсств1/ст nрсдел3 § 21Са1Сие угодно nоло:жителъные числа. Тоliш РН1 = L.k-+сХ)С1!'щсств1/стnрсделliп,--+,:'y~VPk,liшVPk=k-----rC<Jд о к а з а т е л ь с т в о.(13.105)р,ПР'!; ';CJc! cnpaeciJJ' ива фОР.М1/' Л ,.Pk 1Pk(13Л6)Прежде всего ,'юкажем следующее вспомогательное утверж ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
