Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(ение 3): если nоследователъностъ nоло:жителъных чисел.... ak, . ..а1, а2,СХО1!ит1Лп! !!;1тОр!!.М1/чиiЛ'!!,этом'!!J/CC чи1-луL сходится и nоследО1!ателъностъ средних гео.нетричеС1Си:!' эти:!' чисел bk = (jПl(t2 ... Пk.!ля доказательства вспомогательного утверждения!аМj'ТИi!. чтоliшk --+ ОС)111 (tkiИ'1У iJi'прi'ры!ноii= 111 L.'югарифi!ичеi ;iji,й ф" 1!КЦИИ(Последнее равенство формально справедливо и приL>u= О,!жон Валлис- английский математик1703) .'!i'СТНОСТИ, она может быть ИСПОЛЬЗОВ;iна Д·Ш'·iТ;iНОВЛj'НИЯ так н ,зы-2)Baeii,йлинг-С; ирлингач;iсть 2 на; ii"ijщего кут 'а).английски; 1i математик (169Р-1770).3 Под'!еркнем, '!ТО это утверж.'(ение имеет и самостоятельньС; ир;1;интерес.467lOПОЛl{{),да"НIn L[О ){),да по")д"),юлне ,неглпрlim InlimInL-+=k(Последнее равенство справедливо и при LО" когдаL =Из,,{)с,еднегоаве ,ства"снлу неп)ерыв, ," )СТИ по <,)з),те ),"ной ф:; "к, НИ, ,юл\чнмНтk)) = e 1nL = L.Нт ехр(ja1a2 ...
ak =,Х/k--+c:o(Эти рассуж" iения справе" iЛивы и приL = О.)["п·)нюга')" ,ы,н))" утвержд("нш" докаiаii'"!ИсламР1,твов,шие преде ,аlim• сх;[[рнн') няя э,)К= J'3, ... , (tk = ~, ... , мы установим суще-J'2Pk-1Р2JtPk и р"в("н(твн)(13.1О6). Т {)рем,)(13.20)док"з,ша .ДОПОЛНЕНИЕРАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИsinxВ БЕСКОНЕЧНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕРадн""добствараюбьем В'"IБОД форн,улы (13.1О2)О'НiеЛЬНЬ!J" П"" Ш{!о.
Пусть т любое nоло:ж;umел'Ь'Ное He'l,emHoe 'l,uсло: т = Оп+Пр("жД""докаА,ен"что Д':Я ""'fбого о' "ШЧiiН)ПОТk7r (k ='"I.±1, ... )"JJ;,че ,ня е 1) (правед'ш,,'" с :ед"" "fЩ;""'~:;;:e = ([ _ ~i~2 ~)Ынт([-- 12т(13.1О7)[ля установления формулы~1,О"' те(13.1071"удем исхо" iить ИЗ <Iюрмулы Муавра+ i" in rne =,О"' е+ i ",in е)т.['асписывая правую часть это,,, формулы с помощью 'шнома Ньютона и'р ,внив"я мнимые ча(ти. Пi) :учимSill тВ = т cos Тn Уч:л '"IБая. чтоSill тВт "'in е2""+ 1,б" Щ""3sin 3 В:,м) ть(т11(тв(е п·)KaiaTe""о-'--_-,---'"""::'--::-_'--'., СОБ 2n·2·3= cosпр;,в, )i", ч"сти (13.что если заменитьMnO,"O'l,H)сmг) сnи1 )(т"""-'-:с_ _'-'-" cos ·2·3_ - ' -_ _:'-"SlIl2В sill В(13.1081:и при ко' инус"х И' инус;,х 'l,Сmныг.
т"кнаSil1 2 то Н nр(tНО'Й 'I,(tcmu (13.108) nОЛУ'l,umс.li',т," ",си iiС);Л{,О "in' е. Положив zsin 2 е. ')бозначнмэтот много',лен символомF(z),а его корни символами СУ1, СУ2.•.,СУп. Так1) Нас в дальнейшем г,удут интересовать зна',ения В лишь из интервалаО< IBI < п.РЯ,lOВюп 2 елевая чаf 'Ъ (13,Ш8)при е;';1П f ;еz1_Б111m001Остается определить корни а ,002,а,С1'15)"101' нул:ям функции sin тn8, llОЛ:УЧИI\1акпредставить в виде=rn5аме ,ая, "то эти корни соответ-2'.;,...
,rnТем; 1т,при. шдим ';той. 2= Slnа,11.','mи с';итая, ЧТО О<<п:m,вид2ПN (1 __Si11 ~1.k"------=-sin _)(13.109)Фиксируем любое (отличное от нуля) значениеи возьмем два произmsinХ-.;in 2 ----'-'-=1mвольных натуральных ';исла 11 и11.,"удовлетворяющих неравенствам ,; Ix, <rn ----о Тогд;;р2рЫ11 Х·';1П-пk-lХm_ sin.2kr~ )R p (x1,(13.110))(13.111),К')юп~-m(п_1.SlIl~')..,';1П~kп:.-mПрежде всего оценимм;,'н' ч в'е;,ПосколькуR T/ ; ) .'инус'''',г,,·'щихВ(~П:/2, /2) .KpOM~ ~ого,ясно, ';то.!Ля всехxlm11 < 11.
=23.111), принадлеi+;;;Т<п:то аргу;"пер';" .'уучаствующих в это 't формуле,kп:/2 и, iТ;;'Ю быть,·')sin 2юп~u· .,Бll1~kп:-..,Ы11~m( ибf;.3kп:п:m2'инт,1т.рвал;;е.kп:2т< ('1.:::.4.2тkп:-m14СОБ 2и поэт' ;му,k"kп:22тп: > -).Так как для люБОГf;22т1/2 iправеД'iИВЫ н,равенства>1_>е- 23 1),Правое из этих неравенств элементарно вытекает из fjюрмулы Макло-р;'на: е- 2 (3 = 1 - 2('1(2('1)2+- -...1 - 2('1+1 - ('1, та'; 'f;;K 2('12< ('1.46')lOПОЛlдляном'ровk, щ +~BO' «'JДящнр,хSlIl21> 1- _ _7_n_юпПочле"но "еремно('а«= р1, р"ераве"ства:;<112),записаю,ые «!Л<А зна ,енийk =...
, n, пол} '!ИМ следую "ую оценку <'!ЛЯ R (х1:ехр (-2Sin ~ ~ ---k-<,)'> R,,(x1 >.го112)k7rmчто ;'1,гу"е п1Sil1 2k<;,<mmk7r /т л;'житsin 32)из перво," четверти(а11312Т);;:L...,'. "k=p+l ЫН""'в "ер "'Й че, В;','н И что1 ,17n 2(~)2(_)24/.2получим< 4[~ ~]<Такнмехр7n22( --юп<"хрпо,л"""раве ,ствопоз ",ляе,(а113.<130 <Устр;> R,,(x) >"и,, ,"пер'.фОР"У',езнач;'нИi' хт 2 "lnныйk7r(;1:(13<(13.11Р)числок б; СКО";'ч,,;,сти,'''",ер р. [о' """ЬК'<lim m sin ~ = Х.mтn--+(х)k п 2 . то С' ш"ству; Т ПР;JДел,евой ча(ти (13<11О), р,втIJрИ предел конечного произве< ,енияsinХmk-(1Sil12-.<,' ;,г:,,·,п-)' равныйm1)~~Эти неравенства вытекают из того< ',то отношение - - при измененииубывает ото '''редьвытекинтервале О<" 'т<иl1того.до2/ ,.чт"Факт УГlывания функцииcossin- t<g3) <в своюв'н;,ря.,'ЮВиб() КOl'Д)) ()нраве)1 ну·,юп х)B~лено, Но тогда существует и пре.,елч)ре1 Rp(x)этотiз щ'раве"ств (1311Р), 1правед iИ ",Е Д'iЯ люб()'"и из теоремы31;;''')(1ер'' rn,вытекает, чтоl)Н р 'Х))Формула(13.в пределе при тх(13.5)(13.6)СХ) даетfI (;sin х40.пределх2Нр'Х)'k 2 ",2Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле''')(1ер р к бе1 ,п)неЧН01 'н.щ,ед''Л liп,.вR[О1'){)"ЬК"1И"У нер ,,('Ш п,',евая ч.,сть(13.5)(13.116)г)т р не,ависн,,'г)реМ',I 3.1Р, с\щ,хтву"тр-+ооравен единице, то С} ществует и пре, ,елр"Iim-+00х )k "" .,П.:.с"sin х~хk=lТем самым разложение ,'!Ля Бlll х (13.102) установлено.ЗаПi) (,,)й а" 'логин с !,а,ложешiЯМН (13.1{)2) для ',inx'iИть "а.зЛО;)ICенu.Iiбес,/;;онечные nроu.з"еденu!!shxfI (; +=хх' )1hx2=fI [1 + (k=lk=l2k4X i )2,2] ."Заметим, "то из разложенИi" для Sil,X, COS .
S!1ch неме,иIенно пол)",'аются разложения в (1есконечные произведения функций ti". ,cti".и th х,1ТЪХ.ОПОЛНЕНИЕ3ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯРАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВВо все", гл.13мы называли суммо,', ря.,аUзLUk=+...7)(13.Ukk=предел S после, ювательности {Su} ',астичных сумм этого ряда (при условии, что этот пр ,'Дел с\щ,'ству,'Т).В ряде за.,ач математи',еского анализа, пре.,ставляющих как теоретич,'скИi~'.,"к и практичеiКНЙ ин,ереi, "РН""'ДИТiЯ оп,рироватькоторых после.ювательность части',ных сумм не схо.,ится иaa1f,ii"J,! 6 гл.13оБЫ'))!'!J,! CJ,!blC.i)п!С!!Ш,ссm6усm.Р'Ада,н,.су, ''''Ыy'/;;a~ВQ!Ш".i,('Твопрос об обобщенuu nОН.limи!!Р!Ада U о сум,ниро"ании расходяще-гося в обычном смысле ря.!ас помощью ,/;;а,/;;u,!!~лuбо обобщенныхlOПОЛlMf'-mО'!ОН_щ,'Н!i:,r!{-""-ТОЯЩ"--- допоmi' нин мы{ie:{'да!{'у{] щ:р; ;:!ани-{ОС:!;НОВИ{iСЯне:!-;ТОРЬЕ обоб-Р:iСХОД-{ЩИХiЯ р-{довПрежде всего дадим общую характеристику тех методов суммировако: {;РЫ{iИ {iЫ б\щ'- И{iе:; дел{; Р:iЗ\МНОчтобы обобшея.щенное понятие суммы ,,,,лючалосебя О(iычное понятие суммыС:Т;О'!ЛЩ1J, ii,л в i!;:;!-ЧllдМ {М-ЬЦ;С 1J,н_нетъ обоб!i!;еНН!jЮ CY_HM'!i_1J,,с!;:{чnуюnрнтоу та",:ж;е ра'!Н!jЮS_Точнее,'!ОЛJ/ССnC!jMJvtyМе:о_! су ,iмиро:!ания, оГJладающиi1 указанным свойством, называется "егулярны_Дал;;-,('сте; :в,'Иii-; подчинить поня: не обобще шой С\М{iЫ iЛ; _'!ующем'00условию: е' л1J, ряд002:н_неет обобщенную су_ ; "у [Т, а рядk-l2:'L'k нмеетk-l+ Ви!),CYMJvty у', то рл'!-,нные_ Н_ 'еет обобщенную су_ '''У (АUАBV1.в-любыс по,;Метод суммирования, удовлетворяющи:!; указанному условию, называют Л1J,неUн'Ы_н.
В анализе и вего при;юж,'ниях, как прави;ю, им,'ют д(' юмнС р; "УЛЛР::ЫJvР! ЛШf,('i1nы"етода_нн СУМ_Н1J,рованш;. Остановимся на _'!вух методах обобщенного;У{iМНРОВ:ШИ-{,: ;р''д; :!;В_;:ЮjiЩН ';соб:,rй ин: ('ре; для ПРН;Юii:,'НИЙ.1, Метод Чезаро 1) (или метод средних арифметических), Говорят, что рл'! (13.117) :YMM'i!pY{Jvt JIM'; ',:до.Мсущсствустсредннх аршj мет1J,чес",1J,Х част1J,ЧНЫХ суму этого ряда+ ... +Snliшn-+ 00(13.8)(13.1181;:а!ываст: Лс!.M.MOiiм,'тод!; ;уммиров::ния Ч; З ;ро О !('видна. Рсгуллрnо: С'!!, м('то_'!а Чезаро вытекает из примерас ;{юмщ'-:е.изука,аiШОГОрассмотренного вПРИ{iер!;:iЬЛ ('кает,"ость iSn} Ч:iСТИЧij,Ер-:!::д (13.117)(13.118) существует и также равен S.Прнвещ'- - ПРИ{iер:,rряд- "',--';:!ящнч:')ополненииeim:--':'!ИТiЯ к чн;л'обыч,,'1к гл.3.:ЮiЛ; :юва::' :ь-S.-- ;м:,н л,',то пред('-норуемых методом Чезаро.1)Ра;; мотримз ;в''дОМ{; р ;сходя ::я -i;я рЯ_'!2)-1)k-l = 1k=l111 +"".Поскольку все четные части !ные суммы S2- этого ря:!а равны нулю, аn{чст !ы: ча; : нчны(' С\М_iЫ S_'n-l р ;:iны (':!инице, то пред('-- (13.118)раве" 1/2.
Та:<нм ';браЮМ,ра; ;М!;ТРi:ваем:,rйряд С\М _iЩiУ('методом Чезаро и его сумма в смысле Чезаро равна 1/2.2) -читая. чт-; х - люб{;:' фикс ир- ;B:iHH{;:' в; ще; тв,'НН{;:'И l интерBieвал!; Uх211", Р:iССJ\ЮТ1 -им з:!в; дом{; Р:iСХОДЯЩИ \;я 2) ряд00LCos;,x = СОБХcos 2;+ СОБ 3; + ...(13.1191k-l1) Эрне;:ья iСКИЙ {ia:' (ia: нк (1859-19{)6).2) "асхо_ !ямость ряда (13_1191 !iез труда усматривается из приве_ !енногониже выражения для его частичной суммы.ря.,'ЮВЧаi iнчнаяCY"'Mi' 'тOl'О р'''да S" уже П iД(чнii'Ha§ [)Подсчитаем 'p'iДe,e"12СОБ(m + 1)")]c·,sx - (0"('"1+ l)х14n Sill х222Отсю,'ш оч, iiieдHO, Чi'Sl.11тn,р[,'!+ S2 + . .
.S,12,·00(13.11'»)'у",мнр\е'" "етодЧеiар, и,'"С" М "а в с "ыc~i /2).i"'iетод СУМNiИРОВНТИИЯБГiЛЯ. ЭТОi ",е: "iД 'у",мнр'""yaCi:OHa 1вания состоит в следующем. По данному р ,ду(13.117)·'остаi;ляется cтe~рядL+ ...+ ... +(13.120)k-lЕ",,,,,<yr.;"<''''';пы/! ст,,"сп;;;;'! ряд СХОii1J,тiЛ длл1J,lim S(x), - t ; -оесл1J, су, 'мав то'Ч,;' х =S(x11,х;;а Ш{,;;iсрвпU<этого ряда нмеет левое n; едел'Ьное зншч,еН1J,еговорлт.РЛii (13.117) Ci/МJvШРУС,М"ом!ри этомm;а '." ';по!' nрсдс.;л{,о!' зп i'ЧС1f,1J,С 1f, i3'blвп' ;;,слСУ,НМОU ряда (13.1171с.нысле Пуассона-Абеля.Лш{" ii1f,Oi"" ",ет i'Ш (У"'ЩiР"iii'НИ'"iiiГiЫ ii"'T (OMHe~ний. iокажем регУЛ'iрност'Ь этого метода.
Пусть ряд (13.117) сходится вобыч,,!,',' с",ысле;еМ,','Т (У"'М", Рi,iiНУЮ. Тр,'б\етс',; до ii'З,iТЬ: ) что ряд(13.120) схо,;.ится ,:ля лю(юго из интервала Охчто сумма S(i/)ряда (13.120) им; ет в точк,' Х1 ';евое пр;',:.ельное зна ;;'ни,';;авН!,·' S.<Докажем сна ;ала утверждениепос;еД!iВ'iтеЛЬНОi [Ъ<.Так как ряд (13.117) 'сходится, точл,'нов явл'.;ет(я i;!'П;'i1f,i 'Ч1f,О мало/iогl'аН1J,'Ченноu, т. е. на 'tдется такое числоlvI,стал!, быть.';то ,:ля всех номеровk(13.121)Используя неравенство, Чi" Х - люб!,·'1Симон Дени Пуассон -оценим модуль j.,-ro члена ря:.ан;пеР;i' ;;аUх; ',лучи,,'французский математик (1781-1840(13.120),lOПОЛl1.-1рядсходн:;"С ::;ло быть.
в=1срав", НИ·.,сходн : С·., и ряд13.::iо:"ажем теперь ут::еРА:де!! :е(13.12{))ПустьSnn-я час :и':ная сум":а р "'i.a!Ч'О i;б,lчная ·'·м":а. С :юмощыг' преоБР:;i.;в;iНИ·" Абел'" 1)убедиться в том. ':то для любого х из интервала О < х < 1 справед(1;: 117),легколнво ТОА:де::) LSk xk -1.=1из следующего о':евидного тождества:х)S = (1L s,k-k=i;бознач:;": Tk kй о: :::то:: р :.шПрн7),нмс'ть:)LLS(13.k=1k=1Н'iИxi:)LS - S(x) =T k Xk - 1 .k=1>Наша цель доказать, что .!ЛЯ любого Е> О наЙ.i.ется 8О такое, ':то леваяч;:сть (13.123) ":е,,ьше Е дл'" Bi.e:" Х, .,:Дов':е: ::i,рю,,;щн нер:,::еН!1- 8Х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
