Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 87
Текст из файла (страница 87)
= а".=4ЮПГ!l.·lЕ?f.соб:г (}f i'!iJt.toш.f ('!!огпuшn У'l·. [.и, ''lrn,об:ы. Ф/лt:f1''Ц'U,Л'U,!{ПОй rnJ!'Ч:J1еK(J'Ilj,'U,. Доказатеъство этой теореыысо!!"!)шеннр ана . ЮГИЧНР1! !I,:a'С>! из HeJO путем заме!;ы буквтю!Ы'ТВ! :е! !!),'мыи а на (!VKBbIаl н!! СИМI3!!Л17 -А)'!н!р!ения= I(xl, Х2, ...,х ..!Л·,!2 И Ю!У' !аети А и заыеныфункц!!и'инескольких переменных можно опре1\елить понятие пр е-)де.л, юго з! "'!ени''! по 01\НОЙ из m'рем,'нныхпр!! ,риксщ ·'Н,!!ННЫХlнач,'-н!!я'! о! !!,.]Т!.НЫХ П"рем"!!НЫХ.
В СВ''!з!! с э!"!'!ает mfН'лие nовторн.ого,'!I"'!(J"Л·h,.,,,,,,, зnшч.е!!'!uл. Уясним это понятие на примере функции 'и =х иПуст!. ф.!нкц!!яl\ЮУГОЛЬНОЙ окрестности:1'01 <Ix -за1\!,яаd 1 , Iy - yol<1(:1'. У'Н,'!'!О !!сро!! пр''!d 2 точки 1Vfо (:го. Уа , заисключ,'ни,'м. (,ытт, М!fжет, с!"мой т"чки Ма . Пу! ТТ, дЛЯ К'ЖДifГ!' '!1ИКСЩ'"ваннOl'О у. У1\овлетворЯ!ощеl'О условию О < Iy - yol < d 2де.!ыюеlнач"Н!!"нкци!! 7),I(x, У) !fДН!fЙ пер" ен!ю!!существует пр еточке х = ха:I(x, У) = ,;(у),liшх--+хny-фИI'Си пусть.
кроме Тol'О, существует пре",ельное значение Ь Фунюшиточке=.(у) вУа:= 1).liш 'Р(У)11 --+ '10чтовnовторн.о··У' в точкеliш.. , '·'!е.л,ное з!! "'!еше Ь1,\;10. которое обозначается сле1\У!' ·щимliшУ--+УО Х--+ХО1(:1'. У)=Аналогично опре1\еляется повторное пре",ельное значениеliшI(x,у).Х--+ХО У--+УО!слов!!я раве!с!ва!ВУ"пов! ,'рныхпре",ельных значений.ТеоремаI(x, У)d 1 , !У -Пуст'Ь ф!jЮ;;Ц!!,Л14.3.·'РЛ.моугол'Ьnо!!,ocrnu1:1' -<'·лен.а в н.··1{;отороU<МО(:ТО.
Уа)d2,шч.еnuе Ь.1{;J.!OMe того. длл лю'··o"t'!.!eбого фЩ;;С!!.]Jован.н.ого< Ix - 1 (f!, СУИ~"ствУ"т nредел'Ьн.о·· .зн.а"tен.!!,еt{г) = liш I(x, у)и длл люf.юго фи.сирова того У, О < Iy - yol < d 2 суи~е'и 'и.мее!'!· в эrnоu11 --+ '10з!!л"tе ,ие 'Р(У)liшliш,дат еприIx -ха!<бliшх--+хоliшХ--+ХО У--+УОУ--+УОт, с т в о,пре!!,ельное значение=ТогдаС!}nt едел'Ь-Так к!!" ,!,!Н!'!!Ш''!<бp!!BJi i " Ь.· .. ·СтвУют",'--+"то !ля тобого Еи Iy - yol1(:1'. У'>Оее!можно указать такое бвыполняется неравенство1/(:1'. У) -ЬI> О. что< Е, Таким ,,(,разом, в прям"уго.!ьноЙ окрестности 1 '!xal б и Iy - yalпfчкиМО значения функции I(x, У) отличаются от Ь не больше чем на Е.
НО то! 1\азн!, !ени''! 'Ф(х) и 'Р(Х), !!'!азанн,'" в фор' !л!!ровю' теор" !.! пр!!·щих неравенствам I·!"т.!ич!,ют,·о!неч,'xol<б и Iy - yolЕ, Сле1\' н,!,!е.л,но. и<б, также!нач,'ния этих функций В точках ха и Уа соответственно существу!'·т и равныТеорема 1\оказана,1),fНl,fX\fожно"'"де,1ИП, mfH пие п",то! ного"fCTe{!дво !Н1,Р' ПО" '!'дов '11\/П,ся двумя индексами m идл"элем"н ыИменно, символ"начала определяется после1\овательность {Ь n"о'liшliшn-+"--+Ьn=так HC1:~T,тaeMЫX1fp1 ,Р'а"аm "liln-+',О1\И'СЯ предел "то{! после1\о',ателт,ности {Ь,},опрещ\/Т"ю'означает, чтоа затем на'аССМ1fТ!'ИМ, напр"Д'1fЙНIЮ ПОС1'дО!,ал Л1,Нf' Т1, {а",n}, где а",n~7in!T,Ф """рованное ЧИf,J"Ka,,,""" , что'os'"liшn--+оов сам','щ\пе, е, ,шН!Хcosmp/q, Г,п,е ри поэтому=liшm-+ 00- це,,1ые'шсла, то при n ~ q'eeMn!,1.
llными словами. если Х -cos mn)qН,liшliш'osm 27in! у1.-Если ж"ирра,шо'--+оотна,л,ное'шсло, то пр"поэт"У,1Ю"'Г"nC"Sm 27in! уmliшn'003l' os 27in!''лраведП!'а н и е. Испо, П,'"1,'ОО1П--+ОО,"Ч{ Н нътП':fЪТа,т, мът,м."е, ким сп о' обом за1\i,Т1, ф' нкцпреП,ел liшliш С01,т 2"1 §1гл.4)>'!на.:fИТИ-"ак пов',fpHbl{!"-+§ 3,Ilz:преРЬШRIЛ,Н' фУНКИИ,ИИ НZ:СllОЛ!,llИХ лн:ременных1. Определение непрерывности функции нескольКИХ лн:ременных, llY1'TL ТОЧ1,,' А ,ринадле +IИТ об'тидания функции и =f(M)не'1Д,Ы,ИХ"'Р"м,'нных и,юбая Еокрестность точю' А содержит отлич [ые от А точки области;"дания '11' 1Й функции.ОпределениеФу'Н/к'Цил и=(М) 'Ндзываетсл'н е пр е-р Ъ! в нй в т"l 11: еА.
ес ш nредСЛ'Ы-/'О1 з'На"lе'Ние этойфУН11:'ЦИИ в mO"l11:e А СУ ществует и рав'Но 'Част'Но.МУ з'На"lе'Ни'lOf(A).ОТМ'ТИI1, чтоНОСЛ1 фунюА=liш М,---+ЛУ' Ю1ШС' н;нр,'рьш-мож ю записать в следующей форме:limIv[А(М)(lim М\т---+А,ки, В Ю110рЫХ функция Ш,' обладает'Т130М непре! ""ШН1 ,назьшаются тО"l11:а.МИ разрыва этой фуню [ии.'11рМ'rир,с'мопреде,ениеН;'1'Р"РЬ 11Н01'ТИпользуя определение предель юго значенИI[ фуню"'Н1,Т~ИИ,И'С помощьюид.Определение 2.и =(М) называетсл 'Неnрерыв'Ной в mO"l11:e А, если длл Л'lO 10, О поло i11ителъно,,'о "lислалtOJIC'Но У11:азатъ та11:0е поло i11иmсл'ыг!" 'число 8, 'что длл вссх mо-fЕСКОЛЬf вниЕfЕПГЕГf''lCJi' М и8 облш ти 8а, '!i/I-/,'IJ"я,щ!m,леrru ор,я,'Ю1Ч'IJJn(М,)Н!,tnо {н,епu'!!,(РШiСШJПВО(М) - J(A1Н(J,8Ыi'!{,('jjJ.С,я,Оnреде,/l,ениеи =J(рынноиНо:ж:еслиfiонаnнеnрсрр,lfiH(J,ii'(J,ждой rnO'lix:e этого Jtoliшжестi!(]"Назовеы rЧi'lЦющеi!'!!ЕМJ (1\11)==6.игде М-по i'!!ihiM njl'IЦЮ1чев mо'ч,'х;е А фУ'J-l'х:'Цu'/О д.!!,юбая,ка IГоnрсдСЛШМУНI(14.5)J(l'vI) - J(A)Ilбласти :задания функции.'ть точки А и l'vI ИI,iеют соотвеТСi ileHHo координаты а1, а2,.
.. а т ИХ1, Х2,· .. Х т · Обо:значИI Х1 = 6.Х1 Х2 - ([2 = 6. Х 2... ,Х тат=спользуя эти обозначени!!получим для,риран!t'НИЯ !I'н;т~ии 6.и,'ТВIприращениям,ументов 6.Х1" .. : 6.Х т , следующее выраже fие:6.и=J(CL1+ ~X1, а2 + 6.;Т2"": ат+ ~Xт)- J(CL1: а2:··· ,а т )·(14.61с iчевидно, fjл,я, неnрерывности фУ'J-l'х:'Цuu u = J(в mO"l'x:e'J-lеобходuJtoto u {)ocmamo"l'J-lо, "lтоБы' ее nрuраще'J-luеnpefJcmaвл,я,ло со )Ой 6ес'х:О'!!,С'lНО лtaЛУНI в mO"l'x:e А фУ'J-l'х:'Цuн , т. е. нt оБХf!димадостаточно, чтобыliш ~ u =М---+АliшМ---+А(I (М) -J (А))= о илиliш6.и=О.(14.71~J;l---+O,иХ2---+0СЛf!вие 11.7) мы бl'N'М на:з"шаi е, раЗ'J-lост'J-lОЙ формой условu,я,'J-lеrчiеры'J-lостuu фi Н'х:'Ции u =в ffiO"l'x:e А.ДЛЯ фУНt;т~ии u =(Х1, Х2,.
.. Х т ) неCl;ОЛЫ;ИХ ,еременJ( )ных, II'/EHOопределить ИIшятш,' нt 'i ,р! 'рьшно;'ти ПII1ДН' IЙIГпер!'м!'нных ,ри фИЮ'ИРf!ванных :значениях о;'таЛЬН"IХ "lii'M!iИНЫХ. ДЛЯ Оifределения этого понятия рассмотрим так назьша('мые 'Частнъи fiрuрmче'J-lU,я, фУНК1fИИ 11J(X1 Х2 ... ,Х т ) вточке меТ1, Х2,. .. ;Т т ) ПРffffадлежащей области определе fИЯ;;'Нl;Т~ИИ. Зафию'ир,'!'м в;'е ;,рг;' "ieHTLI, Kpo"ie пеР1ЮГf!, а первому аргуыенту придадим произвольное приращение 6.Х таю I!'еЛ Iб"I,ка1;01Iрдинаi;tI;И Х6.Xl Х2 ...
,Х т наХf!ДИлась в области заданИI! фуню. Соответствующее прираще fие[нихфункции называется ''l(]'{ rnМ(:71,:72,пр IП!iiЩ! '{ИМ ,м ) фу IКЦИp;tJ"t,Х!п), соответствующ [м пр Iраще IИЮи обознача!' ,,'я ~XlТ ш,и;в точкеаргумен50;,;,(14,8)f(:71нало; ич ю определяютс>! част [ые приращеню! функции, соответствующие ПРIIраще IИЯМ других ар;ументов:~x=f(Xl Х2~X,' Хз '",Х т ) - f,Х2"":7 т )(14,9)= f(Xl Х2, Х т -l, Х т+ ~Xтf(Xl, Х2,··· ,х т ).Введем теперь по шт [е непрерывности функт~ии 'U = f(x Х2...
, Х т ) п! i i ДН!iЙ из i!'Pi'M!'HHLlX.Фу'Н/к'Цил 'U = f(Xl, ;Т2, ... , Х т ) 'НЛЗЪ!.ваетсл непрерывно!; вm/)"lne l'vI(:! 112, . .. :7 т ) ПО переменной Xk, если '{лстное приращение ~з;, 'U это!; Фун'К'Ции в mO"lne М nреiУставллет собойб!'с'Кон!"'lНО .малун! фУН'К'ЦU'i!i от ~Xk, т. е. еслиlim ~з;., 'U6,!--+О=(1 .10)О.ФЮ,СИР01iаННf.IХ значениях 1icex пере; ;eHНf.lx, кро;;е перем; 'ННОП :7k, l!i!Нf,ЦИЯХ,'шет собо!'!функт~ию одной этой переменной.l'i!Нf,Т~ИИ пii i!'Рi'МiЯНОП XkШ 1',;сет непрщ ".ШНi1i;1занноПфункт~ии одной переменной. ОчеВIЩНО,условия непрерывности функции 'U = f(X1 Х2 ... Х т ) I3 даННiiЙ ТОЧ1,!' l'vI 1Ъ1тс'Кает непрерывность этой Фунюв точкепо каждой из пеР,'МiЯНЫХ Х1,Х2 ...
,Х т ' Одн 11,0 IГ непреi".ШН!iСТИ функции,о',ке l'vI по каждой из ,еременных Х , Х2не 1Ъ1текает,I3i50бще ГiiI3!iРЯ, Hi', ,р; 'рь 1iHO' ть ф!!нкции,ке.lтобыубедиты'яра'след!!ющи!'10. r..lLI будем Г0150рИТЬ, ,то функциян; '! ii !!'рь!!!на I3,ке l'vI на, ПРiiХОДЯfI !'Й черезf,эту точку если дл!! любой последовательности точекlРЯМО{,-"j,"ХfJД,яще{""ji"Ятельность!ия'UГ (Х,="ТВ"значений Фуню{I (M,J}ша',iЯИi' f(l'vI)l!(e М.'!!Н!щии{lO'этой[('ДОl :1-имеет пределом частноена ,рямоП функпредставляет собой функт~ию одной перемеff-I3,ке М. Та1,НОП, то iOнятие Нf', ,рi'рЫ1!НОi'ТИ функции на'; iI3падает,оче1 идно, с iOнятием неiiрерь!!!ности указанной функ !ИИ одной1) Термин «частное приращение» употребляется iля тOl'О, чтобы отэтощегоПр!iра;;'i""ПРОИЗВОЛЬНЫМ.'",Х".,(,тПi"mi i,"прира;; i,ениямПР!iраЩi'Н!iЯi~Xl, ~X2, ' , , ,~"14,6),,00е'"всехiТi!Юapl'YMeHTOBfЕСКОЛЫ:ИХпер ем е fНОЙ В частности, непрерывность функцив точкепо oT.fe fЫfЫМ переменнымипреfстаВЛ>fет собой непрерывн04.'тьна f рямых, ii ЮХfJ fЯщих через[ку lvI и пщ аллеш,ныхкоорд fffaTHbIM осям Докажем, что фу [к fИЯу2{ш 'НрС'рLшнаО)юнаточкуIkexОиз н'рс'м, "Иных Х И у, т.непрерывна на каЖДOff из коордШ"=у2оТОЧf,.t'О,fffaTHbIX04.'таfLЮ,IХ Щ 'я: н"тх,осей, но не являеТС>ffРОХОДЯЩИХ черезпоэтому не >шл fется непрерывной в точкеfiшмая,ш'шая отrrОР'динаТЮ"IХi\ажда>f04.'еИ и ПiН'ХОДЯfная10 [ку 0(0, О), :lO+feT был, fредставлена ура1шением уО.