Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 91
Текст из файла (страница 91)
+диTOTTie 1\;10.(14.30)СCfO]!!Н!,!,раССГ,iатривае: iая сло iшая функ ШЯ мож:ет (!ыть5Шпред( тавлен;] следующим С'бр;] юм:(!И:~(1431)в(14.31),iieKaeT, }ТО df=d.'. . '..dT t1Срав[ и!'ая[ля точки(1·1.30:NIo. Таке.р! о(14.32),как точкато теореГ.l а д'жазана.{ J\;1},5.оО) = р'и.14.32)мы iЮiУТТИМ сот [ю[ [е[ ие(1·1.29:Х,,Х т,. ...NIo -произво. iЬная точка о( ластиИтшариатитность ФОРТ1Ы первого диФтl1еретициала.мы вве.Ш понятие первого дифферент~иалафункВ п.ции нескольких переГ.lенных и устан(ши.Ш, ттто Юiгда арГУГ.lентыXl Х'2 ... ,Х т, являптся незаВИСИГ.IЫГ.Ш переГ.lеННЫl Ш.
то шффереНЦiтал du мож[ 10 предстаВiПЪ в видед".+"'+-д'"dx m .Хтв ЭТОг.[ пункте г.iыIюкаж:егтчто фОРГ.lулаве] ,сальной и сп] ,аведтива такж:е и в томХ т, саг.lИ являютсяты Xl,, . ..ями ювых,еме[14.20)iЫХ14.20\ является униCiYTTae, когда apryr.leH-шфферею шруеГ.IЫГ.lИ Функт~иУ[(азанное с! ойство,!'огошфференциа.iа обычно называют свойствQг.[ u !вари!! '!m:!О, mи... ,tk'его фОРМЫ.Пусть аргументы Xl Х'2,'"Х т, фунюши II. .. ,Х.!) предсташIЯЮТ соб(iЙ Дif!14)е] ,е[ щи] ,уемоооA(/l,...
, tk) Функт~иипияj(;T,uХ2, ... ,;Т"... ,Х m ), г. [е Xi=о1-<p;(tl t" ... ,ti)j,ieв,Х', ...тотП<еа сама функооДИфiliеренцируеJ\Ш в тоттке В(х ,Х2, ...оо<p;(tl' t'2, . .. ,ti!)'тако: 1 случае мы :.юж:еll рассмаТрii!'ЮЪ uсложную функцию аргументо!' t, t2"" ,tk,которая, в СИiУ теоремы 14.11 является шфференцируе:юйв тотП<е А. По.!тому ДИфiliеренц та.:.10 li.HOdu'той с южной фу! [(циипредставить в видеdu = д,! dtatди14.33)1~где -д'. опреде.ШПТСЯ из соотношенииt,".14.22).дтПодставляя д;.
из.,(14.22) в 14.;33) и собирая коэффит~иенты при ди, по. iУЧИ,!du... + д!1at d'!k ) + ...iдХ т" . + -д., d, kti).[них;амес! ИТf"при дг<ав<'[ТО в Ш следнемдиФ<I<еренuиМы ПОЛУЧИ<cruи<мтлу (1 (20), вЮffИИ коэсjуl иuиент(t, , /2,dJiшяшфферею шалаСЛОЖ:НОЙ функ-'Ой fиФ,liереНUff:iЛЫ d:Ti бт [утф'рент~иал:1ГсШ функт~ий :Ti = <p;(tl, t2,tk) Ilнвари:.нтностьфОР?fЫ первOlU -rиффереНТЩd.тгGt YCЫHOB.тreHa.Свойство инвариантности фОРГсlЫ пе] ШОГе) дшI4)е] ,енuиалапозволяет установить сле.
;Yf' ,тт~ие nпав СiЛiI ,Iuффr:рr:nuuров 1'J-t1'я.диффере;щи] ,nем ,;е С фn; ;iЦИИ каких-либоПуст;, и и v<еменных. Тог.; ас = const),d(cu) = cdud(u±v =du±dv,d(uv =udv+vdu,d(-)с2(В последней из написанных фОРГlУЛ 'и не обращается в нуль).Докажем,fапример, спрar;ед.шшость третьей из n;iазаНЮ,iФОРГсlУ..
РассгсlOТРИМ функт~ию ш =и'иДиФ,liеренuиа. этой Функuи diJ' <аве;дш.<j'W = -дu.Так;ia;iдшvдш=ито<и а; ;тности формы перво;о Д+ 'и duvсамduшух переГсlенныхu и 'и.+ дш </'и.diJ'=иdvfcjyliepeHUv du.В си.ша-!а. [а выраже; fие иdv(iудет дифферент~иалог; Фуню шиuv и В случае, когда IIf ЯВ.fЯются дщjУliеренu fруемымикак fX-.Шfбе)переменных.6.Производнаяfпоюшравлению.Грндиент.Пустьфункт~ия и =у, z) трех переГсlенных х у и z задана в неко<естности ТО'fЮf Мо(хо, Уо,i'ассмотрим fе;iото]юенапраВ.fениетагшопреде.шемое единичным веКТОРОГАcos а cos {1, cos {.Проведег; чере; точкуправление которой СОfiпадает сfапрar;лениеммем на этой оси ПРОИЗВО.fЬНУf<' точку М(:г, у,z)с коор.
;инаNIoосьBe;iTopa1наа. ['оз;,и обошачигcr через l величину напраВ.fенного отреш:а МоМ указанной оси 2).Из ана.fИТИ fеской ;еомет]то fКИ М ОП] iедеЛЯЮСl сях = хо+ l cos а,известно, ттто координат;,i х, у,z<аЕе; fСТfiамиу = уо+ l cosz=Zo+ l cos {.14.34)1) Нз аналитической геометрии известно. что если единичный вектор аг,сями ;<"г'рдинат у; ;ы а. /3.
~(, то КООРДИН;'.Т;.I ЭТ1,";<еКТ1,'··равны coscos (3 . cos J.iОiта;ЦIЯiТВеличинойсго Д н,н<1 направленногоотрезка;1;Я;0J:'; СО знако,' ,,';ю;падает с направлением оси1,1110111оси1ес ,;г напра;; С,,называетС'с; число, равЭТ1,' г, от! ,З;1а Си со знаком мин' с. если направлениеотрезка ПРОТИВОПОЛОЖНО направлению оси1.<того51,:), о':евид:НаnрmtЗinазншчае'F, 'СЛ110енfi:июdfdzфункт~ии=n оNI!) иfiкfу,z)COS а,=форму.:ы на (одимд1!aldyCOS {1,Лд1!= дх COS а:аdzill1 ,NIo( 4.27 (, вТак :м образс)м,.COSд1!обо-в точкеOl I11с)ж:ет быть вы'исС :ена по форг:у.:е:ожно заме::ит:,н а-те: р! м!д1!ар:ументТак какz)д!в случае (Ифферен: (Ируе: юстипроизводнаяо д н о йUи = Л:1:, у,о'(nCUAtfi ыюм:iO nf/i{'Me iНО'й,l, '(пор?fЛ"i'Ыi:f '''телд1!+ ду COS + Fто и: последней14.35)cosi·Введе:: понятие,рuдUf нта дифферент~ируе::ой в точке NIo(xo,Уо, zo) функции иf(;r, у, z).Га д и ет офую;;щшu =у, z) в то'ч'Х:е NI!)fназываетсл ве'Х:тор, оf!озншчлеАtЫU сиАt60ЛОМ'Х:оординаты,соответственно равныеgrad ипроизвод ными иАtе1О JЩU~~~взлтым в то'Ч'Х:е Мо .
Таким образом,au.}диgr'ad и = { af' ду az .ИСПОЛ:,ЗU'f' понят::е Г] 1ад::ентаопределяю: :ий направ. :ение оси:'Of! а, cos {1, cos ,предс :ав::м'ажен::етор а,uноидиторовпо направлени:"gr'ad и114.36)у'1:лъrвая,и: :еет.35)Be(i-ДТЯ"fl:ЗВСfД-в ви (е скалярного прои:~ведения век-и а:).al14.37)ПО(iажем, ттто градиент фун'Х:'Ции иf(x,:гарu'Х:тr:рuзуr:т.'fЩ'Х:СUnаправлеu:uе:Jmou Фiiн'Х:ции в то'Ч'Х:е1)тттокоординатывелu"!. ,uуNIo. Иг,:енно,f,у, z) в то'Ч'Х:е.. щл'Ьного ;ю,табедиг,:ся, тпо п]" fИЗВСfДнаяНапомним. что скаЛ'"рное произве.'(ение .'(В\Х векторов, опре.'(еляемое,feK, "ров н', ,"'С::НУ: угла fiежду,'ак произвсде п,е fюдулей (.'(Л::Н)в случае, когда векторы заданы координатами, равно с, мме произве.'(ениЙодноименных координат этих векторов.fНl,fXfяем(,м'v'ен'! омтотп<е,:~H; ,чение по сравН(ниюпрои:~водной прправлен fЮ в тотП<е Мо , аштт: 1fИl YKa:~;]!ul, тешине вектора-[руге :,1У H;]'~юйgr'adcos ер,угол :.,1е 1:ДУ вектора:ПI а иgr·adu.11=то -д1! =1,1aloTad( .a.
. . t... ) тах.',0 "."'. звод "~о1. . ."',ои~Юff:~ВОД1ЮЙ равН(!Так как(то мю<сима. fЬHoe зна'lениеб удетпо наП] :аВ.fеllИЮп]:и ('О.": ер= 1,когда направление вектора асовпа. (.ает с направлениемпр!! :том(aJ,,1:l:e1:xHolll,Ю1'1с((x,yz)gr:d 1!ввсде=[(х, у.1! = [( lcoxpaH',leTУ Zl."i1ЖДУЮ ,,1:l:epx~посто [нное значение,убедитьсявтом,чтовекторgradв.'lДннойД1,;(ха, уа.ортогона [:н к той поверхности уровн',; функции 1!которая прохо.l.ИТ через .'lДнную точку Ма .3понятиеCOllst.Нетрудноа м е ч а н и е.менН(,!,;= [(х, УОВllЯ фУlll."Цllна которой функцияе..СМl,НЛi1 [:ект Н:::уровня Ф.' нкпии.gr·adu.1grad ul·=д lя l:l,IЯi неllИЯность(1 ,37)cosln.rьИз последней фЧJМУ [ы выте1<ает,1Р;]ДИ~]\;П ':ПfмальН(ни Перепише:l фор:ryлуд!где еримеетхслучае Функт~ии и =едини lНl· й век ор а. опточке Мо , ИГ1еет координатыс [уттае" l'v'ла(14.35)cosaедед1!дхае~д1!.градиенту) опре.
l.еляется как вектор иг 1ею~д1!и - . Ф:.iрму.fад!!aiii.Slпа.1<ЦИИ дву'; переменН(,iферент~ируе:,1ОЙ Фуню!.Иищип Ю1О1динаты -вПРИНИ:,1ает видд1!слу'двух пере~f наП] :aB.fel fиеи siпа. ПОЭТО:'1У в указанном-со.":(тоJ( х, у)яющиточкеУ Z=(14.37),оттевидно. справед-= .fра и в СЛ'v' (ае ДЕУХ переменН(,i . дл f функци и,;Т2, ...х т ) m переменных :1:1 Х'2 ... ,:1: т производная по направле~нию1радиеllТ оп] :еделяются а! fалогитп 10. Имеl 10, п] :оизводнаяд1!задае1 ся едини')ототт <е(х, Х2, ...lН ,1М ве1<ТО] юм[1Онюр= {; О.": аию1<0'10]1 fecos а2, . ..
,со.": а т } 1),в аналитической геометрии т-мерного евклицова пространства е.'(иllчныёl в: [."тор а о;'"::де'lЯСТСЯ К::1 [:ект'н: С коор.'(...:aB.fel,СОSЙ m г.'(е СОБ+ СОБ': (/2 + ... + COS 2lll::Ti1."'= 1.COSCXl,cOSCX2, ...51:1ЮГ l.lKOBlЯ8ТСЯкак- 1(:7112:7 mпр( и (РРДН lЯимеетСЛ( Ж ЮЙ+ l cos а1,12), Г 18опрl<ЦИИ:72+ l cos а·О!тВ СЛУ'lа(, 1СЛИ1(!! , :1:2,, :7 т )функт~ия, для прои:~водной по напр ШЛ8НIПf\ме(д1!-дlд1!=-д".[1cosa1д1!д1!+ -д" cosa, + ... + -д" cosam ·'[т·[2ГрадиеНТОJ\I функции в 1анной точке Ма (Х1вается вектор, обозна iаемый СИМВQ.1ОМд1!д1!д1!динаТi,i дХ1' дХ2' ...1и т тем указаiд,r m:l!, ...
, ;~m)Haы~grad 1L и имеющий l<OOpъте ПРОИЗВОДН!,1е бе~рутся В ТOTТl<e Ма . Для про iЗВОДi1ОЙ 110 1аправлен iЮ ДИil4)ереiшруеj.,1ОЙ фунюши 1L =Х', ... , Х m ) справед шва ФОРj,jула1,(14.37).§ 5,Частные произтюдные и ДИil}!ференциалы высшихЮРЯ,!.ковЧастные1iастнаяпроизводныед1!-ПlJ01iЗЕоднаявысших110 ap1YMeH'jTПОРЯДi!ОВ.Х!1<Ц1Шясть1L(Х1 Х2 ... ,Х и !), опреде.1еi 1ОЙ в об.1асти {, сущеСjВЯ~ет в каждой ТOTТl<e области {. в 'том СЛУ'iае Я1<азаннаячастная производная представляет собой функт~ию переj,jенныхХ1 Х2 ... , Х1ЛЪСЯ,'!,Тal<же опреде.1еi 1ЯЮди(то эта фя! l<ЦИЯ д"об.1асти {!Н}. Может симеетастную ПlJOИЗЕОДНУЮ поaprYj,jeHTY Xi! в Н8КОТОРОЙ точке М oi ластиМ.Тог. (.а указан-ную ттастняю П]nШЗВlfДНЯЮ Шi аРГЯj,jенту ;Tk называют второйчастной прои шо.
iНОЙ или частной производной второго поря. (.кафя! l<ЦИИ 1L = 1(хту Х;щи!!а, Х2,(атем по аргу:. .. , Х и !)jeHTY :1:kо. ШИГ.!из слеСИМВОЛОЕ:--дхkдХjПриTO'iKe '1' Сi1а'iала по аР1умени ООQ.шача1' 'т'том. еслиется,; --1-"Iто('). (2)1х .' Х k'• и,.т, Х k •астнаяП]1О1iЗ1ЮД 1аяд' 1!дх А,д,r,называ-!!!!Ой частной проишо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
