Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 95
Текст из файла (страница 95)
2 § 7 ГЛ, 8) пр!!и ;в;дпаяЭКС1 ремум R ТОЧifеiЮЙ ио:[;1= Х1,·;Т!!Й фУiiК!1ИИ ;дп!!й п;'р;"о;'lIп!!й В Т!!ЧЮ' Х1 = Х1, совп ;;;ающаяс чаСТllОЙ ПР!!И ..fВi.дш;Й :~ (МО ), равпаIЮ.Перво;' равеllСТВО14.68) доказа ю. Оста.рав; пствадоказьшают; я анаЛОf'ИЧНО.П!!дчеРКIli"чт;; р шеllства (14.68) (т. е, ;;бращ; пи;' в llУЪ Вданноji ТОЧifечаf'ТНЬГ: 1РОИЗRОДНЫХ пеРRОlО ЮРfIДifа)(14.68)являются ЛИн!;'1ИМ; fI;И и пе являютсявиями!! ;каЛЫI' ;го экстр; ;;у;,;а фупкции и;;; ;стат!!чш ,fI.;И= .t(M)в точкеус1\110.533ъrИЖСIIК\lУ еНаПРllыеРе у фунКlдu,роизнодныедну>:дu,и1ejeMeHHbIXникакого "кстрем\ма в этой точкенеобе ча, тныеTO'lKe М{j(О, О), но(О,)) указа шая функцияибо эта фУНКЦ1lху ранна нулю н ,abloji то 111leО), агоещо мал,,]) (j окрестностиТОЧ1llИ 1Р Ш11-11MeeTeMo(fмаст как ПОЛО)К1'1ТСе!ыrыс,!O'lКll,так и отритщтслыrыс значсния.11l0ТОРЬГ: обращают,я н нульпервого ПОрЯе1ка фушсщи им:[;1/'(J,обра1ца "те! н нульн о з м он о г оэс= j(M),liceастные ЩЮ1lЗ юд-называются т о ч кр е ы у ы аэтой фУШllЦИИ.В кюк,юй точке в" ,можн, ,гожстрем\ ма у функции и =j (J\!I)может быть ЛО1llаеlЬНЫЙ экCl реыуы, одна1llО наеlичие этого эютр,11YI.1aМОжно установит).шшвий локаеlЫ1ОГО эк',.с помощ).ю ,н ,статочных усвыяснению которых будет по;вяTpel.1YI1a,щ, н слеlУЮ1ЦИЙ п' нкт.Из доказанного llыIеe У1 liерждения нытекает и др,\таilсловий локаеlЫ1ОГ, ,е,кстрем\ ма:если функчи,я и =и,меетвв то'Ч,ке Мрj(M)этой тО':,ке локальнъиt!J,иал dullV[,экстре.еЦ'У,м,этO'LlJ\!Ioственно относительноито дифференравен Н!jЛЮ то:жде-независи,мЪlХ nере,мен-Hыx dX1, dX2, ...
,dx m .,аыом делеdul2\il0 =1Осжоль llУддu (Мо ) dX1 + дди (Мо ) dx;;Х е'XlТ' , Ие l равенств14.68)вытека, т, что при люБыT dX1,праведливо раве11,ТВОflu-&12,... d) mО.2. ДОС'одто'оные условия локального экстремума. ПриФО1iМУЛИРOli1llе достаТО'lНЫХ У;ЛOliИЙ ЛО1llаЛЬНОlО ЭКСПiемумафунк~щи m Ш'р" ''lIных и = J(J\!I) важную роЛi, БУ.lет играт),liTOpoji дифференциал этой фушщии н об, еlедуемой TO'lKe Мо .В п. 2 §этой глав),) м),) убедились в TOl.l, ЧТО для случая, когда щнуыенты х1ИИ иХ2,...= j(X1, J'2,'"х rn дна раза Д1lффереНЦ1lфунк-являются либ" не 'lШИСИМ) j[ееИ пере-,ме 1Ш,1I И.
тибошнейными фУ11КЦИЮ.и HeKOTOj),IX независш l),IXпереме ш),)х, второй ,иффеР"шщал этой фУНК1lИИ в да шой точке110110 1редс fаliляет собоН 1шадрати'шу"' форыу относительlиффере11 1иаl"В арг\ме 1ТОВ dX1,dx;; ... ,dx m слееlУЮЩ1'Гl'liида:rnМО-rn2:= 2:=aik(14.69)i=l '=114.70)fНl,fXи;f'е<>риЧИТ:iтелякр>'>априв, ,ДИМниfратичная ф;>рыа »тн, ,сительно переменныхm,11т)=L L Щk l1 i /1 ki=называется(о тп о л о ж и т е л ь н оЦ а т е лоолюбых значенийЛf:', эта форма [рин [маетцательные)н н о Й,Дk(14.71)1о п р е Д е л е н н о йл е но),С'С' fИ для11т, одновременно не равных нуЮf о по.'юж пе,ШяыеЮfО ОТ1значения.Квадратичная формалm(14.71называется з н а к о о п р е Д еесли она являеТС>f .'fИУю пй'юж пе.
[fЯО ОП] ,еде. [е[либо ОТРИllательно определенной.КЕадраТИЧ[fаяа (14.71) [а;ываетС>!м е н н о Й,н аоесли она принимает как строго положительные, такстрого ОТ1llaTe.'fЬHыe зна'I< ния.КЕадраТИЧ[fаяа4.fаЗЫЕаеТС>fан аоп р е Д е л е н н о й, ес.'fИ она принимает либо только не отри['е. [fяые, .'fИУю ['О.'[fеПЙ'ЮЖfпе. [fяые значс:ния,обрашается в нуль для значенийнс'1,ав;, ...ю0la-это:·,11т, одновременноЛf<i.Сформулируем так называеыыйnpv.mepui1Сильвестра знакоопреде ;енности квадратичной форыы 2 .НаюВС'м Jvштрv.цеi1 nвадрати'Ч//-iоLl ФОРJvtЫ(14.71)следуюшуюматрицу:А =(LikЕс'fИвсе=(i(Lk,называется(L2(Lm>12(L2(Lm(Lmlат2( 4.72)аттэ. ;еыенты матрицы А удовлетворяют условиют: k =2, ... ,т), то YI;a;a; fая а! РИllа= 1,2.
. ..с и м ы е т р и ч н о й.1) Все приводимые здесь опредеЛ1'НИЯ и УТВ1'рждения можно найти, на1:pi11ii1'P. R Ю:ИГ1': ИЛhИН В.А .. Позю:к Э.Г. JIИ1:еЙ1:ая аЛГ1'бра. - М.: Наука.1978.2) Дж. Си. 'ЬВ1'СТР - 11НГ. шйский М1пеМ1ПИК (1814 1897).535н [зове'72)следу}с}еЛИТ(iЛl}11А;"21... ,К]си' 'еТРI1ШОЙнорамм [тр щы1ИИ1ааа2аа2а:на:З2"23(iа11а12а21а22л }руетС>}t:звидесш дующихдвух утверждений:1о.
Длл того 'Чтобы nвадратv.'Ч'I-taл фОfiма (1с СИМш~тРV.''llШ'Й матри'ЦС'й (14.72) с!влсшаСi. nОЛО:JICuт~Лi НО Onp~ijCле'J-lffОИ, 'J-lеобходv.чо V. достатО'ЧffО, 'Чтоf!ъt все главные МUfiOРЫJvtaтfiV'ЦЫ (14.72) былu поло 1iCuтеЛЪ'l-tЫ, т. е. 'Чтобы былv. С! fiaв1 fjлv.выuсрав~·ffстваА> о.Ас> о,... ,Аm> О.Длс! тссго 'Чтобы nваffратuчuас!(14.71) с сuчмгтРU'Ч'J-lОИ матрu'Цеи (14.72) лвллласъ отрu'Цателъ'J-lО Оft.ределе'J-lНОИ, нсоБJ одuчо u достато'Чно. 'ЧтСi{>Ы 31шnи главных миноровJvtarnfiV.
~ы 14.72) 'Чеfiедовалuсъ, ПРV.'ЧеJvl знаn А был опц и'Цателе'J-l, т. е. 'Что.·ы былu сnраведлv.выuеравеf ства2.А,< О,А.О.АзО,Aj >О...Теперь ыы подготов ;ены к тоыу, чтобы сформу fИровать идока;атьтеореfМу,iстанавливаюшуюдостаточныеусловиялокального экстремума.Теорема 14.. 16. Пустъ фУ'J-ln'ЦV.л,Х2, ... ,Х т ) один разJооm nepeJvle'J-l'J-lblХ V. = .f(1\;1) =в н~nотороиоo1\;f i eCrn'J-lОСrnV.
то'Чnv. 1\;10 Х, Х2 ... ,Х rn ) v. два разаpyeJvta в саJvШИ то'Чnе Мо . Пустъ, np0Jvle того, то'Чnас'с! то'Чnои вО3МО:JICного эnстр~муча фунnцuu v. = J(), т.([vI2\,[0 = О. Тогда. еслv. вПИfiOИ дv.ффеfiе'J-lцv.ал ( .69), (представллет собои nОЛО·iiCuтелъ'J-lО определе'J-l'J-lУЮ (Ornfiv'i~aтелъно onpefff'nвш;ратUЧUУНi форму от nгрече'ff1t'ЫХ&1;, &1;2,'"&1;rn то фУ'J-ln'ЦV.л v. =(М) VJvleern в то'Чnе 1\;10лоnалыtыи мшшму,i (Л Сi nаЛЪ1tыи lfаnсuчум). Еслu :JIC~ ernOpff'il( .69),iifiедставллет собои знаnоnцс еlfeff'J-lУЮ nвадратU'Ч'J-l{jНiv. =не имеетJлоnалыtого эnстр~муча вто'Чnе[Нl [Хоаае лрс,мы, пре mолаtая, р;tfИ ОttРСДСtЛС,НН;;СТИци;tлшнн"чт,;преfставляет собой ш>ш;жительно ,юре [е-(14 (;;)), (14.70)};вадраТf;'Шf<>>С'( от[с,рс,мс,нных ([.Tl,d:r:..:,I;;кажеы, что в ()Том ;луч;;е функция'(J,) имеет=.f(,([.lmв Т' ,чке)I',К;Лf,НЫЙ "иtfИ:"11.f3азложиы функциюв окрестности точкиr=форму,tе Тей'юра состато,} [нм члс,но'Эf'01']ПОформс, Пс:аtю,Влс, n = 21 .J\lbIпот чи:'ЭТО:.t, '}ТО.f(M) - .f(Mo)причем в равенстведиффереНllиалы(14.входяшис' в выраже fИ)} д'!щиы приращениям(1 .([11·1iXk -переыенных :r:k,([11.11\Io иd 2 11.11\Io, равны cooTBeTCTBYf"~k) этих переменных, а величинарюша!Х 1П-\;;.)2 •(14.74),1JmПо условию теорс,мы точка 1'v10 является точкой во :ыожного экстремума.
llоэтоыу на основании реЗу,tьтатов предыдущегоtую;та ([11.11\Io = О. унияхмы(14.69), (14.70)tридади'рая это равс,нство и полаfаядля второго диффереНllиалалс, Тей'юраm.f(M).f(Mo) =~(14.73)с [ед.· ,,;шивы]о= ч-; k,ВfЩ:mLL(Lik1 k=Достато'} ю дока:а!'}то д'!["всс'" достато'} юалых р[равая часть (14.75) ПО.'южите. tЬHa. (Это и будет означать что в достаточно малой ок] >естности точки 1'v10 ] ,а:ность .f (1'v1) (1'v10 )положительна, т.
е. функция u =( ) имеет в точкело};аш,минимум.)оПоложим4.дл)}рh' iХ?,-:1:2---,f ЫТС'};ают1) Д. ш ФУНКЦИИ 'и =(см. п.4§51,2, ...,т. Тогда и: выраженияслсдующие соот юшеt fИ)}:+ ...1.(14.76)/(1\11) вып ,. шены ПрИ n = 2 вс"С.lЮВИЯ Т;'оремы:::;; 1,14.15*.гдеьрэтой главы).=537iiЩf ii 'сiiб(гнаЧi ниf'Befefбf пъ переписаНii в f'Иfе.f(Ma)(М!ОТНОfнение о(р:') предстаВiшет собой бесконечно ыалую прир --+ u (иiш при--+ФУНКllИЮ, которую ыы обозначим 0:(1').р"Введениеэтойфункциипозволяетнаызаписатьравенство0(;") = р2.0:(р), С поыощью которого мы придадим соотношению(! .75*) вид:t~ р2 [~ ~ "i/"hih" а(р)] ,- .rlеперь уже нетрудно доказатьЯf ляеТС>f14,75"что правая частьюло КИТСiЛf fюi,j для всех достато'шоf"ИЧffая форма(14.75* )аш IX р.
KBaдpa~соfюй ф'[к iИю,i=l k=1оп! iеделеннуюры(14.76),инеп! се! сывн"наПОВС,рхностипредстаВЛЯЮf fей собой заыкнутоеi'ДИНИЧНОЙИограниченноеТС,О!4.указанномMHO~МНО;+ТСТЕО. ПО второй теорс,мс' f~i'i'iс'рштрассаиз п.гл.2 §свос'!'!14)эта ФУНКllИЯ достигает наf'ОЧНОЙ ни.fей г! iаниизной о fРСДС,Ш,ННОСТИ кваДiаf"И'f11т111,ны ОДfювре:,:е:грань р,ю нуло,Bf,fTeKaeT,'fTO(14.76),не paB~что ,\ка;анна;: ТОЧ:fаяfИЖНЯ;:удовлетворяющие соотношениюс т р о г оПО,iЮЖ пе,ifи и; того,п о л о ж и т е л ь н а.lак как бесконечно ыалая придостато'шоалых р \ДОfШС,Тfюряет--+ U функцияо:(р) при всехтовся правая часть (14.75) является положите,i:ЬНОЙ при всех дo~статоч:юалых р, .
е. при всех l'v1, достаточно бiШ;КИХМа .Это и означает, что функциялока,i:ЬНЬШfepaEe:fCTf"u =(М) иыеет в точке М;}'И:fИ:'СОЕершс,нно aH&:-ТОfi"ШОгда второй дифференциа i :ОТ!iицатсiЛЫЮu = .f(M)100(p)1 <о!iСДС,Ш,ННУf<i':тоCJI'':аС"(;o~предстаВiiяет собойю;аДiаТИЧi, (1)''имеет в точке М;} лок&:-тьный ыаксиыуы.Докаже: ' TC'ffC'Pb втор'ю часть тс,оре:'в случае, КОlда второй дифференциаiiставляет собой ;накопе! iеыенную квад iатичн",11"ция 'и =( ) не имеет лока,iiЬНОГО экстреыуыа в точке[к iИ;:':тоllрежде всего установим следуюшее вспоыогательное свой~ство знакопереыенной квадратичной форыы(14.71 .[них/',СЛ'(J,'На, 'П!о 'Н'(J, (/1~,Ф (h"сл дн!' со Ю'К:Уn'НОС'(n'(J,,!!~~J 'П!!i'К:'(J,С, '{'(поi'ilayn=)!'Нл'Кхт,(р!ергJvtс'Н'НЪ!JY (h~, h~,, h'2,!+1,JvtCH-h,'m+npV,"lC,!!,Ф(h,~,h,;,... h,;n) >О,О.В саыом деле, в силу определениядрап!шоi!j(t~fаi!jдутсяи (t~, t~,t; ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
