Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Е;'лu J\л'Нджест60 (] пр, ';'mран" т,iП Е т ,я6л,яетс,я6ыnуnл'Ы",ira.мnн,!/ты,.М, а х - Л,Ii!!а,я то'Чnа Е т , то сущ'ст6ует и притом един,ст6i'Н,'НЛ,я nроеnv,и,я то'Чnи х н,п .;\л'Н,о)Jiст60 Q.о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем[,ествование х о тб ы о д н о й[} оекции точки ;Т на множество Q.С)(iозначим р(х, Q) раССТО!ШИ ii от точки х до множестваопределению р(];, Q) как точнойiiшей грани ii!f110IIай-yEQдеТСil по,'ледовательностьР(;У,-+р(х,>Q TaKail,чтоQ).опредслеНИi1 iлюбого ЕУn} точек множестваО все э,iредела числовой по,'ледовательности дляieMellTi,'У!IIая сIIeiiOToporO HO!ilepa,1) Ибо множество р(х:.
У) дЛЯ всевозможных У, принадлежащих Q, всегда).ограничено снизу (например, числом н' ль18Б.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI[нихP(.l, Q)-Е()ТСfода ;'Л(fУZ:Т, ЧТiiСПiа Е т [iO всяко:лv 1'е()р( I1Ы,f'iii;'ле1 слi 'iae+Епоп); 1У в си-ЮЛЫfiiНО В( ikрштраССiiюследовательно;'тиможноватеЛi,НОСТЬ {Yfi n }' где n =[од iоследовательно;'ти {Yk n';'TPiiH-ТiiЧz:К пр'я iляетсяi'Л,выделить'iОДЯЩУЮ;'Яиз этой)ЮДi юследо,2, ... Обо iIIa'iiiM 'iерезпредел;'илу замкнутости множества Q}'f'ОЧiiа У принаДfеifiИТ ЭТО:,1У IIНожеству. Ос fается дока iЮх, У) = р(х,liш р(х,Q) =["что).n-+скснеравенств3aI,1eTiiM, 'iTOх,у):::;;+ p(Y'YkJ;'оотношениеН:Ю1 и изчтоIp(X,Yk n )i iОДИМОСТИliш (х,iia р(х,+ p(Yk n ' У)ЮДi юследовательно;'тиQ)iраведливоИз ЭТОiО ;'оотношеx,y)l:::;; p(y,y;;J.-х, У), т.
е.) =fреУГОЛi,lIи р(х,у) :::;; p(X,YkJк У вытекает,= р(х,n-+сксТем самым доказателы'ТВО ;'у, i,ествоваН:Ю1 iОТЯ бы одной ,рох наHO:iiecr [iO Q заiiершено.теперь,еКЦ:Ю1'iTOСi'ществуетточки х на множе;'тво.т ооо Дапро-llреДiЮЛОЖИМ, что ;'ущеСТВУfОТраз лепроеiiЦiiУlУ? точки Х на MHO:iiecr [iO Q.Гак как множе;'твоiIВЛi1еТi я выiiклыы,' то весь отрезок У1У2,соеди fЯЮЩiiЙ ТОЧКii У11/2 щннадлеЖii Т МНО:iiеСПii Q. В 'iaCT-двености, множеств; Q принадлежит серединаYl;от} е iiia.
Убед iI1СЯ в ТО:,1, 'iTO расстон'Н !е Р( х,'К'и х до (/'Каза'Н'Но'Й середu,'Н'Ы отр, ,'Кастоя'НияУ2=+ У2) от то'Ч,строго ,не'Н'b'LШ расх, У1) = р(х, У2)'Искш, ,чимYl ;YlУ2 ука (анногоХ.р(х, У1) =р(х,) =изра! ;'мотреН:Ю1этом ;'лучае Р( х,тривиальныйYl+ У2)=;'лучай,KOiJIaО, в то BpeMi1 како, ибо иначе (т. е. в ;'лучае равенстваобе [О'!1/11/2 совпадали бы с хнемогли быть различными.
ИтаКi в тривиальном ;'лучае Yl + У2 = Х2неравенствор(!,У'(14.91 )очевидно.Докажем те [ерь неравенство (14.91) в случае, ко! да Yl + У2 о/::о/:: х.547,i,k1 1;С1 ск 1Лщног" Пр()jj ;1;СД(1) :'Ibl п' ,лу {им О ,отнош\рспо, ъ;уя св'П\ОСТ\С1НСТЕ:lР2(,т,)/,2)/, +)/)/x~,22Х/)/11Х:)/l)/2\-2= 4[(1/1н 1iЯ двухЕ п!х:)/2 -Х \-2-'-2-+-2-)-Х,1/1 -х)14.92), У2УбеДИI,IСЯ теперь в справедли юст{! строгого неравенства)того восполь;уе:,IСЯ,что для любых векторов аЬlространства Е/Т!. не коллинеарны', друг ДРУlУ (т. е.
таких, что#алЬ Нl! для одного l;ещественного л), справедлИlЮ строгоеHepal;eHCi lЮКОШl -!J(a, а) . (Ь, Ь).I(a, b)1Это о ;начает. что для дока ;ате.ш,спа нераl;енспа4.113) на:'достаточно убедиты'я в том, что векторы У1 -х и У2-Х не колли. е.:беДllТЬСЯ1'ОМ. ,{ТО Нl! для од юго вещеCi l;е iiЮГО лбыть спраl;ед 11ШО равенствонеУ1- Х =Если бы равенствоДЛЯ которогоp('i!#Iлlх).(14.114) было1, то былоСправедливость рав,нствабl,' том:'.
'!то точки1/.?с lравед 1ИВОбы невозможно(11.94)ДЛЯ)/1 +)/22=+1такого лравенствоlротиворечилаявляются ра;личНl,'Наконец, справедли юсть раl;енспачала бы, что11.94)(Y2-:r:).( 4.114) для л = -1 о;на-~х, а этот случаи мы :ю'ключили.Итак, paBi'HcTBO 14.91) Hi' справедливо ни ДЛЯ одно! О веlного л, а пото: IY дока;ю е.ш,Ci lЮ неравенства ( 4.113) ;al;epшено.См., например,§1,л.алгебра», НЗ,i.-ВО "Наука»,213 самом деле, при аэто~г\· Ев"4 кни'"1978.#В.А. Илт,иналЬ веЕТОР (а- лЬ) не является нулевым. По= ia,Ь)Ь)строго положителен и его днс 'риминант 4[(а ь)2 - (а, а) .
(Ь, Ь)] строго отрицателен.18*iii'iTHbIi1Т} ('хчлен ia -Э.Г. ПОЗН·,·iка <,Ли iей iая[нихСоп, 'с [',шляяч[fс,чтрУl+ 2 v (Уl-4 [V(YI-4XУl --,YI-(У2 V(Y2-X)Тем самым доказаТi ЛbliТВО неравеШiтваX(х,1/2)]2 =Х,1/1+У2 -14.91),Y2-)X)]2=завеРШ i но. НоiTO llepaiieHCf [1O о{на [ает, 'iTO у 'iiНожества Q нашлась точка, более БЛИiКая х, че,i [iОЧii 1/1 и 1/?, а iTO ПРОТiiВореЧif i2'iTO iiЮiiдая ifЗ точек Уl 1/2 является проекциеif [СО'!х намноже;iТВОр(х,,т.
е. ,iВЛ,iеТ;iЯ точной нижнейраНЫi' расстOiiНИЯвсево{можны\ 1/, принадлежащихПолученноетом.чтосущеСТВi!ЮТна lVIНоже;iТВОQ.iротиворечие показывает, чтоQ,двера {личные[ред юложение опроекциии1/2точкиХявляеТС,i О! iиiiочным.Доказательство леммыПерейдемTeiiepbОnреде.лен,uе 2.1ЮЛНОСТЫi! заверi [ено.к определен:vш! выпуклой функции.ФУ'НnЦUiЛ, за)а'Н'На;; 'На выnуnло.М .н'НО.жестве QnlJOiimра'Нствп Е т , 'Называетсл в'Ыу n л О 11 в 'Н 'U З'ил!! просто вn 1/ n л о 11 'На это. н .·,;.'Нож<ст!f' , <сл!! длл любых двух!nо'Чеn хl 'U Х2Q 'U длл любо(!о ве!цестве'Н'Ног о 'Ч !с,/!аt'из с<гсправ, !)л'ШiO 'Нера (е'Нство(14.95)3. ФУ'НnЦ'UЛ f(x), задаюил ;Ia в·ыnуnло.м.
.м.'НОжестве Q пр! 'стра'Нст!ю Е т , 'НаЗ'Ьtfiштсл С т р о гву;ТInл о11'На .!то.м., есл'U длл любых двух то'Чеnх.' .н'Ножества Q 'и длл любо!i'О веществе'Н'Ного 'Ч !с !а'U iтервала О<t <1!iерпt'изU!icmfiO[j11.96)Ясно; что всякая строго Вi!iПi iiлая наноявляеТС,1 выпуклой на этом множе;iтве.[ieCf iie Qфункцияf(x)Легко У'iтановить достаТОЧНОi' У'iЛОВИi' выiiклостии (соотв! т-110строгой Вi!iПiiiЛОСТifвыiiкломM множествеДВЮiiДi!;Q функции fдифференцируемой нах).Всюду в дал·ь'Н<11ш,е.м. .м:ы буде.м. nредnолшmm:ь, 'Что .м.'НО.жествои.м.еет хотл бы од'Ну в'Нутр, 'Н,'н,юю то'Чnу.54')Ле];,.мд 2"щт!"",ад !{наd!(i' рааа д !4jферен'Ц'uр!!е",щ на в ,!n!;к:ло",' ,нножестве Q, fогi а длл того, 'ЧтобыфУ'Н'? 'z'ИЛ лвлллас!, выnук:лоiiвыnук:лоii i 'щ .м.но,у'егты; Q,'Чтобы fimopoil д !ффсрен'Цu.аЛ'тоilфУ'!IК:'Ц'И'И во вi'е:r; то", !({:r;лвЛЛЛi'Л к:ваз'Иnоло )f{''Ител!,но оnределеннои (строго по ,ож !тен'ЬНО оnределеннO'I'1) к:ва;iратu,'Чно'l'lФор,мои,оа з аеь св О,П\'сть Х!Х; любые двефию'ированные точки множе,'тва (], Рассмотрим на сегментео:::;;1 слеДУ;f l ,фУНКЦИ;f l одной незав:ю им ой !еременной :t:::;;11.97)Напомним, что второй дифференциал d 2 функции f Х) =,Х т ) 111 не:ависи: ({,!х переме !ных Х ,Х.?, ...
,Х т Вданной точке Х = (Х! Х.?,... Х т ) равен 1)f (Х! , Х2, ...=d.?Лх)тт2L L a:l"k (Х)='t=.~Xi' ~Xk'11.98),'=1iiЦ!!Ю4.117) два ра:а подифференцирования сложной фуню!ии, получимrnтр"LLi)'i=l k11де (Х ,Х2""Х22t(.T2 - Х1) (~iд!--[Х1д!,1a!ktпо пра!i Н '- ii) (5: л -iл ),14.91)\12и (Xj, Х,;, ... ,Х т ) -,КОО} динаты точек ;Т! ИCOOTBeTCТiieHHO.Сопоставляя соотношения(14.9S)убед !,1СЯ в(4.119)!раведливо; ти равеш'тваF"(t) = d2 ЛТjде в вы} аженииXi -t(x; - Х1(0)!рит ащеН:Ю1 ~x; вdL:i1TbI равнымиXi·дал ,11ейшие расе; i!iдения,раД1iопределе fIIОСТI1для случая, когда второй Д1iффереНЦ1iал d 2ПРО1iеде,;110 всех ТОЧiiах QiIВ.ТIi1ет;'я квазиположительно О1!ределенной квадратичной фор"юЙ. В ЭТО;,1 СЛ\"iае для всех t iiЗ сегментаtпраiiая(а, стало быть, и леваil) ча;'тьвсе!ttи: сегментар"См. п.2 §5гл.4.(11.100)неотрицательна, т, е. ДЛil1;;?о.1(1)1Ю 1Хв Cfшу опре 1ел ен fЯдока ,;IП"2с< ют ЮШ( Н 1fЯдЛЯ 1;сехt1fЗ'1<Jc 1ато1О1Н<)сщ а ;ед 11Ш<Jнеравею'тво(о,Для дока ,;lтел ,С 1;а нера1;енС! 1;а ( 4,102) 1fСПО.
fЬ,yгшение (14.и легю проверяе,J1,1е равенстваПреДПОЛОЖ1fМ J '1ТО 1;НПРИ сег:бы одна точка( 4.103)t1eHTaF(i)о.сущеCI ;1ет хотяF(i) доcerl,1eHTet,начеН1fЯнекоторой внутренней точке to ЭТОIО J'eIMeHTa, Iричем F(to) > о.в этой ТО'II1е t(! J])1!НI1ЦIfЯ1'1eeT Л0I1аЛЬНI,J, а поF!(to) =Но IfЗ неравенства (14.) в лекает, 'ITO производная р' i) не убывает на кем J'eIMeHT<' О :::;; t :::;; 1 а ютомуt,в которойс<ютно) = о.= о,4,да фУНКЦ:Ю1стигает Cfюего маКС11I.'1аЛ1,НОГО наt(!t1.
Отсюда и и, \!СЛОВИ;1 F!(to) = О следует, что производна;1 р'неотрицательна BCICeдy на сегментеt(! t 1, а юэтому функция F(t) не убывает на этом се! менте.и на сегментеЭТОIРИВОДИТ нас к HepaBeНI'TBYР(1) ;;?F(to) >О.Iротиворечащему второму J'оотношенИ1{!(11.103).Полученное Iротиворечие дока,ывает, что [ред юложение отом, что на ,'е! менте о:::;;1[ествует ХОТ;1 бы одна точка t,в которой F(t)является ОШIfбо I1IЬE'1, т. е. дOt1аъшает спра->:::;;:::;;ведливость ВJ';{ДУ на J'eIMeHTe о:::;;1 неравенства (11.102).Тем самым первая часть леммы (о вьmуклостих) IрИ у;'лоfвии, что d 2 f ;Ш.1;1ется ква,иположительно ОIIреде.1енноЙ квадратичной формой) доказана.,тора;1 часть леммы (о строгой выпуклостих)IрИ усло-вии, что (Р f ;ШЛ;f!'ТJ';! ;'TPOIO юложительно определенной квадраПIной формой) дока ,I,шается аIIаЛОГIIвенстваравею'тв14.101)14.10:\С1!ществует хотяодна ТО'II1аt,к выводу, что ри) имеет внутриi1ального 1'1аi1СИ' 1YI,1a to, ПРIfче1 1F'(to) =1'еРI;алео, изto < tJ\Iы снова(14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
