Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 100
Текст из файла (страница 100)
ПО определению граничной точки найдется ПОСЛf' ювательность {:С n } внутре! НХ TO'fet; ;шо [;ес! ра, сходяща;fС>f кДля каждой точки х n по формуле ейлора с центром в этойTO'fKe;fЫ'fИМЛх;,х(х* - х n )],*(14. 30)<<где Оеп1.Учитывак что правое неравенство14.104) справедшво дляв люГюй точке множества Q и что/ (х) является непреBeKTopHoi\точt;на ;fНO!f;eCTEe,юлу~чим, что В пре, fеле при n ---+ 00 из соотношения 14.130) BЫTeKa~ет Сffрar;едливость нераве fCfBa.127) ДШf рани'шоi\ точt;множества;faQ.доt;а:ана.Переi\де;'Teffepf,fепосредственно к доказю е,II,CfBYос юв юйтеоремы.'на'fала докю+;емОСНОfШ\теорем\fрИДОfЮЛfпре, лоложении о том, что замкнутое выпуклое множествоявляется таt;жео гQа н и ч е н н ыВозьмем произвольную точку хl множестваQи составимитераЦИОfШУЮ пос.:-теДОЕатеЛf,НОСТ1 {г n } точею Оffределяе\fЫХрекуррентным соотношением (14.116), при условию что числодовлетвщ ;feT неравенства;'.1 ;;).леммы 7 а точнее из неравенстваTet;aef(14.1:17),сразу же BЫ~что1а:k2аким образом, последовательностьО./(XIJявляется невозра~стающеЙ.i ак как, кроме того, эта после.
ювательность ограниче~нкции л:г) н;]т!тоОбозначим Прi'1ii'BaTi льн' ,стиi'pe\iY 315черезна[ачеЮiеii'же~изОЛ,fL }lcH() ,ii'жеi твеQв(т члены нев()зраi таюпей (ходя;[ i'ЙiЯльн()стн не i1i'НЫ[ii'теоремегл.:1.10,:1),тодя(iпределав с е х;]нненомеровkсправедливою'равенствоДокажем, что для предела fL справедливо рав! нствоQ1(! ) .fL =тn == llliПредположш.;, чтоположим, что fLтn.ал[,ноеравенство несправед шво. т. е. предогда. если обозначить черезмакси~iTO[аченнетех точекQ,нав снлу[еммы7[айдется стршо;ОДМНО>[iество;олш[;такая. что справедливо неравенствок следующем;(14.1:;0),то[,ная ПОСТШiНнаii(14.128)rкоторое приводит[еравенству:-1QfiiБОl'ОСуммируя неравенства(n -1)1,:'k22---с [рar;едливом; дляравныхаMHo>[ieCTBe Q.[ля которых справе.
[ливы неравенстваk.14.записанные[ля номеровkмы по. I;ЧИМ. что для любого но\;ераили, что то же самое,лх n ~ J(Xl) - (п - 1) (-;;; -k22(14.132'))HeparieHcTfia (14. 32'), с[[рar;едливые для fiiБOl'О номера n,тиворечат неравенству (14.131) иГю величина, стоящая в правой'iасти (14. 32')[ри достаточно болномере n с ,аНОfiИТСЯменьше числаПол;fL.'ieHHoe>fLложения[ротиворе'ше до;·:а :ывает ОIIшбо'iНОСТlтn, т.е.;оказывает, чтоfL =что последовательность} сходитсячению тn Функщш 1(х) на множестве Q.JCTaeTCiiностьXkдока:юi"'iTOса\1атn.пред[ю;оказано,l\ПIнш\';а.'fЬНОМ;[перац;юннаiiПОС.'IеДОfiатеЛi,сходится к той точке Хо, в которой это минимальноезначение юстигается 1 .1) НiiМИ уже ДОiiаiано, ч;ве:Ha~ДО! ИГ!ii' О;1.,ШН '1.,1iiЛЬНОi· iНiiчение фу 1КЦИИiДИ 1СП," 11НОЙ точю'ва.11а[нихIIIЮИ;!'!''i<Ifте,fЬШ е<р ,[тыточкеI'Opaif[ар(iб( ipi1IИ(Л(!iИ\ саО(Ю:~Нil~с[(нтромту часть м~о:же( тване (оде! iжит Т(!' [ек[ара[т(!'нраничеННiiе мно:же(тво! так что(у ВТШЮЙ т( (i[)е\fЫQ:~i1[1;(Хсвоего м( fН(!Q,(тига( тi1ЛI,НОГОмноже~тве зн~чения, которое мы обозначим через тЕ'Ю!~,fKH<!Toe(в (и~Hi1>.Можно утверж, щть, что тЕт.
ибо в противнс[м случаенарппаЛОСI, бы УСЛО([(fе существовашfЯ у фУЮЩ(ff(x:) (а MHO~жестве Q единствеНН(iЙ точки лока. fЬHOГO минимума.Далее можно утвеРЖ[l;ать. что на множествеQEимеется лишьк о н е ч н о е число точек пос (едовате. fЬНОСТИ {х: k} (ибо по~с(е, ювате.(ЬН(iСТЬ(Xk) у КОТiiРОЙ имеется бесконечн,[е чис юfэле\fеI(ТО([, удовлеТВОРifЮЩИХ (еравенств<!Xkможет сходиться к чис(у 'т).Стало быть, !fЫ доказа,что ДШf (юбогономерN,):[;(еО найдеТСfначиная с которо[о все Э.(ементы ПОGтrе, ювательности{Xk} (e/i<ar шаре СЕ раД(fуса [; с цеI(трО!f в ТОЧi,е Ха. Этоошачает. что пос(едовате.(ЬНОСТЬ {Xk} сходится к точке Ха.Тем самым для с(учая i[[раниченно[о замкнуто[о выпую ю[ омножеспа Q ОСIЮВI(ая Teope!fa дm,азана.П<!сть теперь Q н е оа н и ч е н н о е замкн<!тоевыпуююе множество. Снова 'иксируем ПРОИЗВО.fЬную тс[чкуэтого!шожества и состави!'(14.116 при(14.115 .ПриитерационнуюIюс(едо([ате.fЬНОСТ1<!GЛОВИИ что чисю а удовлетворяет неравенствамюказате.fЬстветеоремы о существовании локально[оM(fН(!а у с(!ю ([ып<!клой ф<!НКЦИff (C\f .
. 2)<!СI'аНОВ(fЛff .что точка Ха локального l\ШНИМУl\Ia сильно выпуклой Фуню i.ИИ(х:) на неограниченном замкн<!то' вып<!клом множестве Q ле~жит в той части QR множестваЮiторая содержится в шареС Н с центро!' в ТО' !ке х: , ради<!сi,OTOPOrO ([ы4"рю (fз \ GЛОВИiff-1 gIad f(x:Та!' же <!стarювлено,fЯется о[ раниченным[то ПОД\fНожест юО.QRюжестваQя([-выпуклым замкнутым множеством и чтс[fвсюду 'Н(! Q R значс!юfЯ j( Х;'i'ВОСХОДЯТ (х:Так как в сил<! леммы 7 (а точнее в сил<! неравенства (14.127)Шiследовательность(Х А): является нево;растающей, а за пре~де.
ами QR все :~начения(Т) превосхо, iЯТ(1!1), то все то'Чn'U'UтеРШЦU!i1-t'l-ШU послед, iоатеЛ'Ь1-tостu {Xk} лежат Q ; а потО,'f[I;.fЯ лобого нс[мераPQ Xk - аfk. gIad лх:л)=PQR Xk - а. gIad j(X:k)565fЕНИЕит( рационную ПОСfедовате.fЬШСта.нозам( Шf п.Чz:ГZ' в(ен(Tf, (14. 16) '10 'f<-на!Иеf)(н;суждеf !И,fсведетс,}о Г ру :~;.МЮfУТZ"fУ f;ЫТТУКЛОМУ мшн<е(тву Qя,а н и-е.
кY'f<eрассмотренному выше СfучанОСНОfша,f ['еорема ПОЛНОСТf,Ю дor;азана.а м е ч а н и е 1. Особенне; просте; выглядит ПОСfедеша3тельность[l;fЯ случая. ког Щ множество(14.116)Q с';впа, щетвсе '! пространство,' Е 1n . В это', случае для любоМ ТОЧf;ведливо равенстве;(14.1Н;(х)-се;х спрах.
и потому рекуррентная фс;рму. апринимает видX:k+lз а ~I е ч а н и е2.=X:k -СУ 'c,Iadf(X:k)'Излшкенный нами ~Iетод позволяет при выполнениис 'iiТВ;'ТСТВУЮЩИХ УСЛiiВИЙ искать р' шение Хао=о~ ·т,2,о...ф, нкцш шальных, равнений:f1= f; (.Т1, .Т2, ... ,.Т rn ) = О,f2= f{T1, .Т2, .. .Х т ) = О.(х) =;аСГiiЧif ii замесгип,>, ',ПJ ретттеifие у сазаНif ii 'С 'кой л 'к шьного ~IИНИ~IУ~Ш функции1(,)а мч а н и е3.= fiИ:~.ттоженная Н:,~IИ теiiРИЯ отыскания л 'ЮJС;ЬНОГОминимум" сильнii выпуклой (вни:~) функции б,·· к ,ких~либii ОСЛiiл,:ненийifереноси"а осгыс:сание ЛiiкаЛhНШ'О "аксимумаifУКЛiiЙ (вверх)функции.ДОПОЛНЕНЕО ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ СЕГМЕНТАДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛАв гл.12для приБЛIпкенного вычисления интег} ал"ь/ f(x) dc(14.133)амы Р" :бивали c;'r~IeHT [а.
Ь] на достаточно бiiЛЬШiiе число n павных ча~:СГИЧifЫХ се: "енсговна :саЖДiiМ из Э:егмеifпm замеifЧЛИ'f(x)МНiiГiiчлеНО~I ну';' вого. ll' рвого или вто} "го порядка. Вошикш iЯ при ЭТiiМпогреШНiiСТЬ ник ,к не ,Учитывал" индивидуальных СВiiЙСТВП НПnIУfНl,fXе,"РС'l'веНiЮ,Щ:'l'аеi\ОПРОС оi\аРhированииi'O'ieK paii ,иеНi,f','осно "юго сег-,авыборе f\Шfфиксиро ,а fНОЙ фУНЮfffИ f(1) 'l'aKOfO оптим fЛЬНОГО ра:~БИf'НИЯ основного cf'r~IeHTa н" n, вооБЩf' гово! я, не РfШНЫХf\PYf' f\PYf'y чаСГИ'fНi,if Cf'i'ifeHCГOB, fЮf'орое Оi'f'спечивало бы \fИffИ\fал ,ffУЮвеличину погрешности ДfШНОЙ приБЛИ)Кf'ННОЙ формулыВ "а, f'оящем f\ОПОШfении \fbl О' f'аfЮВИ\i(" на реТТТf'ffИИ п<азаffНОf'О f1О-проса, ПРИНff 'fm'жаЩf'~I БН Тихонову и1 аЙСfff'ЯНУ 1)приБЛIпкенного вычисления интегр ша[а, ь"а14, 33)ра:~обьем cer~IeHTчаССГИ'fНi,if cef' ifeHCГOB ffрИ П"МОЩИ f'O'feK< Х1 < Х2 < ' .. <а = ХаДлину k-ro чаi тичного сеПlента [Xk-1,СИ~IВШIО~Ih,т ,к чтоhkПреf\ссгаВИi\ инсгегралXk -Xk= ь.(k = 1,2, ...
,n)обозначим1.шще с\ м ifbl инсгегралов14.1:1:1)/ f(x) d.T =t14.1:14)f(x)k=lаXk_lприбли,шм КffЖДЫЙ IB интегралов в ПрfШОЙ ЧffСТИ (.134) с ШfМО пью однойиз трех приБЛIпкенных фОРМ\'Л (ПРЯ~НfУГОЛЬНИКОВ, трапеций или параi'ОЛ),Любую из указанных трех формул можно ЗfШИСffТЬ В виде'~Jгде узлы+ t,h k + Н в .f(,)14. 35),k(i = О, 1, ... ,1) i\ыбира i1f'СЯ f'af\, чсг"бы оссга ,'О' 'Нi ,п\fИ~Iел по}'ядок h'k при некото} "м S > 12).Вс'Т'аRЛЯЯ 14.1;'1 i) R (14.134)~1iОЛУ'iИ,i\ ч'Т'''t,и ве, ачлен Hs,rn,kьn/dx =m-l14. 36)hkk-1=0где14. 37)k-1Поссгави\' B"ffP'''' о выборе сгакш'о раЗi,иеНif',' {:1k} сегме ff'a], ffрИKOTOPO~I квадрат погрешности (.137) ДОСТИГff' бы МИНИМУМff при фиксиpOBaHHO~I числе точек разбиенияn,РОВfШНОЙ приБЛIпкенной фОР~Iулефиксированной ф\'нкцииЮfа "расг m fгреПfНОССГИ Н;.т (f) зависи ,'олы<очек р" fбиения, т.
е. является функцией (n определенной в тетраэдре< .Т1 < Х2 < . . .и фикс и-тffю fй Ш fСТfш"вке ВОПРОСff(! 1.135).выбора ПРО\fе\f'" ,'О' 'Нi,' f сг! '-)переменных Х1 Х2, ... , 'n-1,х,Поскольку указанный тет} аэдТ' является открыт, ,й обл fСТЬЮ, то минимум функции Н;,rn"~I. рабiiТУ б.Н. Тихонова ив1 аЙСffРЯНff «О выборе ОПТИМffЛЬНЫХсеток при приближенном вычислении квадратур» (Журнал вычислительной \fa,'e\fa\fa,'e\faфИЗИfiИ, .9,.\'15, 19(i9).=2 В частностИ, для формулы ТРfшеций в2, S 2, taО, t11, qa1/2.=====14.
35) следует полшкить m567fЕНИЕfюо;)ще говоря,Нf' 'Юf f'ига fЪСЯ (оп f'имаЛhНОf Оможе , вооБЩf' ,'О юр " И Нf' сущеСПЮf\аСГh)Cf'r"rfeHcгa,,'lO)KHO,т,аO'fД ,ко, ,JlpKa;~aTЬ,nо'ретн,ос "иR;,m(Лдостигается н,а так;о,м, разЬдR;,(/)дХk= о (k = 1,1оуслон'U,-Рис.ОСТ:ШОВИ~IСЯ более шщробно на случаеt,о14.4~I у Л Ыэсг"м случае в фОР\fуле 14.1:Ш) слеf\\е ПОЛОЖИСГh, qo = q1iв ре'ультате чего формула 14./2,ь/d; =tшнения14. 38),та п е Ц и Й.= 2, rnвО,tr,прини~raет вид36)hk2k-1аУрХXk+l(14.138)( 4.139)и.134),- Xk-1)(k = 1,.139)силуприводятся для ,'тогослуч:ш к видуf(.T;+1) - f(Xk-1) = {(.т,,71-1).(14.140)С\'ществование решения системы \'равнений (14.140) обеспечивается соху анение~I знаК:f второй ПУШИЗВОДНОЙ f//(x) н:! cer~IeHTe [а,Ь], т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
