Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 104
Текст из файла (страница 104)
и т . Это отоГ;ра)кГiНИГ' н;; iывается вэаu.МНО од';;а'Чгг'Ым, если каждой то ,,;е из указаН1ЮЙ окре;' )но;' пг то',,;и МО соо! ;;етствует только of\Ha точка множеств;; {N}, т;;к что при этом к 1Жf\;Ш точкамншкества {Л'} соответствует только одной точке указанной окрестн, ;стиГО jI(J,f Мо .Из TГiopeMЫ 15.2 НГiПО;', ," 1ГTBГiHHO BЫTГiKaeT слеf\УЮЩГ'Гi утвеРЖf\ГiНИГЕст, фугг1'.;ЦЩ'5.27) ;;1,ФФереНЦ1,руе,ч'Ы в 01'.;рестност1, т;i'Ч1'.;1, А10 ,при С).М все <астн'г,;; nроиэводн'г,;; nГ]7вого nоряд'К;а непрерывны в са.моЙ'К;е А10 • а "С1'.;ц ;1,(15.27\iб1,сD(Yi, .... Ут){У(Х1 ...сiтJи,'Че,с cim,осуществЛ,гi,10тод ;0" ;;а'Ч ;оеор [й ;i1'.;pecm iiiCm'!! т;i'Ч'К;1, А10N o ( [, ...
,, Хтг;еn,=Уi(!fi,отобрuакещьеФу с1'.;-;;е1'.;ото-;;а ;;е1'.;от;iРijЮ о'К;рестностъ то'Ч1'.;'!!,Х m )(15.27\...В самом f\i ле, СООТНОШГiнияэтoii тСi'Ч'К;е, то(i=1,2, ... ,m).мшкно ра; см;;тривать к;;к системуура;;нений относитеЛhНО Х[, Х;, ... , Х т , для 1<О! орой Ю,;ПО, iНГiHЫ условия тг оремыокрестности точки1'';.2.НоTOrf\;;эт;; систем;; ВСЮf\У внекоторой(;;'1, . ..
;;'т) имеет е, 1инственное решение:(15.27'ХтОчеШЩ1Ю. что фТiКЦИИ=='~~тi, . . .(15.27' осу iiеСТRЛЯЮТ обратн,;е отображе iие.Заметим, что в условиях сформулированного утверл,:дения как функции(15.27), осуществляющие прямое отоГ,рюкение,ШК и функции (1';.27')осущеСi ЩИiобрат",;е о! ображе"ие, ЧRЛЯifiТСi ;;еnрер'Ы;гн'Ы; н. 1;заИii1НООf\нознаЧНОi' отог,рал,ГiНИГi, обл;; 1ающг''" таким свойством, на:~ываГiТСЯ гО.меоМ;iРфГГ'Ы,ч.§ 4.1.Зависимость функцийПонятие зависимости функций.
Достаточное усло;iiЮС'; иПустьmфр; ;КЦИЙ от ОД;и тех жеnпеременныхl(Хl,ХР, .. .2(Хl, Хр, . . .,Х;, ... • Х n )(lБ.28)о [кры lОЙОПf)!м!рной!i'k,:)ля(15.2CJ)где Фне'Котораяопределенная 'U д'Uфференц'Uруе,мая в соответствУ1ОщеIl област'U 'Uз,менен'Uя свои! а; '!'!у,ментов. Функции иl, и2, ... ,и т ;iY;leM называть зав'Uс'Uмы,м'U в06ласnшесш ОДi1а 1iЗ ЭТ1iD,ФУНКlшй (iiceю какая) зависит в об!iасти D от OCTa,!ibHbIX.ЕСiИ же не существ\ет дифференцируеМО!"'i функции Ф таi<ОЙ,что сра iY iЛЯ всех точе1! области D справе, iЛИВО тож (ество ви Щ(15.2:5),тоы буде>.мыми в о(iластиичет!Ipexиlи,'изеы.пере>.!еi1. Легко \беДИТl!С!i1"32,Покю!!е>.=у1ТО три ФУНКlшиХ4,+ 2Х2ХЗ ++01 iJIaСТИ DiiCel< ТО'1ек (Х ,Х,!,х+у И!i2то>.!,2х 4',Х+четырехмерного пространства, ИI юэтой области2'U2-'UЗ''U=,и т независиых= XI += Хl +;; 2= 2ХIХ2 +iависимы В!iЮI Ю!!для1азLIВаih функции 'Uj, и2""D.=те;что lIiie ф\i1КЦ1Ш двух пере>.!еiых иl-у независимы в любой об!iасти D ПЛОС1ШСТИ ;I"У,содержащеП начало i<оординат.
Ясно, что функция иl сохраняет поСТОЯiюе Зi1а'1еiшеу =1\ЛL1аiРЯ>.ЮЙо! проходящей через нача-!Ю координат15.5).По на этойпрямой функция и;; имеет переменюе Зi1а'1еiи2 = 2х, Поэто>.' натом участке этой прямоп, 1ШТОРЫЙлежит внутри D, и2 'iaBe;loMo не 'iaвисит от иl.
СОiiершенно ана!югично!.Оказывается,внутри об!iастиГис.115.5Dчтона\част- у = о и2 = О, иl = 2;1" к сталобы [Ь, 'U1е зависит от 'Ui.В частности, в Кi!чеi"ТВС: об, !i!стиможно вшть некотот ую окре} ТНОГТЬфИКСИРОВi!ННОЙ точки МО n-мс:рного ПРОСТРi!Нi"ТВi!.5Ю;АВИСИМОСIЪЗаза ,1'С'ич а'курсе .IlинеЙн ;й аш'ебросm1.nlт,висимыми в о;;ласти('сли ,,(ЛЯBC(jX,;вводит' я,iiазточек о(;ластиза~D oflHa изЭТИХ функцийRi,(ражаетс; в виде линейной фТii(ЦИИ от осташ,ныхлинейнаязависимость фунюшй ЯВЛЯi;тся ЧiiСТНЫМ случ "'М ';шисимости ЭТИХ Функ~ций, ибо, если фун((ции nl,линейно за (иси\'" в области D, тоОСР,этой о(нтаг'стино не являющиеся вв ,(iiисаНiiые в при\(ере 1).но С','jj(('СТВУЮТDзависимые в оБЛii~линейно зависимыми (н;шример, функции,Теорема 15.3 (достато'Ч,ное условие независимостиФ jН'К','ЦШ'1,) Пуст '.
m фУ'Н'Х:Ц'U'й, от n ? m nере,ме'Н'Н,/,х, ...'U, ...,Х n,Х т , Х т +l,···,,О !ределе'ны 'U д'uффере'н1J;uруемы 6 ощ?ест'Ност'U то'Ч'Х:'U Мо (~I~т, ~т+1 ... ,~n . То;,;да есл'U л'Х:об'Uа'Н 'UЗ эт'Uх ф!j'Н'Х:'Ц'Utt 'ПО'Х:а'Х:'Uм~л'Uбо m nepeMe'н'нымM отл'U'Че'Н от 'Нулл 6 то'Ч'Х:е JI/L) , тоэт'U фУ'Н'Х:'Ц'U'U 'неза6'uс'u,мы 6 'Не'Х:ОnИIЮIl ощ?ест'Ност'U то'Ч'Х:'UД о к а з а т е лLс То.Не огра;Ешаil оБЩl1ОСТll, будемсчитать, что в точ ,:е ]\.;10 ОТ,lичен от нуля Яl\обианD(nl, 71",...,n т )(15.301D(Xl,X2, ... Х т )',Iокаже\теоре\lУ отf.ЮТИВНОlО.l)едположим, что фУlIКЦllИ,и2,.
.. !imlависимы В не1ШТОРОП о (рестности ТОЧ1(И ]\.;10, т. е.одна из эти". функцю\ например 'Uk, Д'! все". точе< этоП о <1)eCTности выражается в ВИ;l,еНА; = фгде1екотораящируемаil ФУНЮlИя. ПОЛLЗУЯСl, праВlпом lифференцирования сложной фующии, вычислим проиводную функции 'Uk Ю шоБОl из переменны". ;Tl (l1 2, ... ,т).=БУ;l,ем иметь(l1,2,... т).(",.31)иформулы (Е.31), если их в !Ять lЛЯ кажюго значенияТО'lке Мо следуетпо k-я строка ilкоб1lана(15.30) представляет со()оП чшеПную комбинацию остальных1,2, ... ,строк с коэффициеliтамиcooTBeTCll:el 10l)аВНЬЕ'aCl"aCl"anl'дn2'...ПФдФдФр ШfOНПри М+= ХfO р.и Н2=эт"м СЮ.Т1.fO якоБИ;1'НодnМО чт" про lИfi' 'РfOчит УiЛ()ВИ}i, т( iipfOMLI.ЖfO рассlVЮТР( ННЫfO ВЫ}в(' фУЮiЦИИ '/),ЫiiKPfOCT} i' ,сти .шоб()Й то' ,Кi·}Х11212.(5.30\о Вi.ЮДУФункциональные матрицы и их приложения.
Сноварасс>. OTpiimфунк шй отnпере>.iеННЫi,J(15.28):2, ...15.28),х" ... ,Х n )'Нанъ!этот раз преД}}Q1}ОЖИМи дифференцируемые во, ...iTO фJ }iКЦiШ (15.28)HeKomopm'lо i7iеделеокреС17ШОС17Ш 17и'Чки,х n ) nри'Чем все 'Частные тчюизводные первого rЮ7iлдка этих функ'Ций Hen7ie7iblBHbl в самой 17и'Чке Мо.оставим из частных производных фJШiЦИЙ (15.28ЩJЮiаЛL};JЮд{j'PlдХlд,i2i }'Р2дХlдХ2д,i m'}'Рд,i mдХlдХ2дх n--дХ2(15.32)со }ержа} }ую m строк и n столбцов.И>.iеет \iecTo слеДJющееТеорема5,4.с}еДJЮ-\iаТРИЦJше.Пуст'ь у ФУН'КЦШJ1-l.алъноЙ ,матриuы(15.32) :Нiкоторый минор 7'-го nоршjка ) отли'Чi'Н.
от нулл в тО'Ч'КiЛ10 о;~2,"" ~n)' 2) все ,миноры(7'в некотО7ЮЙ ОЩiеС17ШОС17Ш то'Ч'Ки1) -го nорлд'Ка равны ну2). TOiiaa7'фун'К'Ций,представленных в указанном ,миноре 7'-го nорлд'Ка. независимыв ОЩiестl-/.Ости то'Ч'Ки. 'Каждал из осталъных фун'К'Ций зависит в этой о'Крестности от укаюнныi! 7' фун'КциЙ.Д оа з а т е л ь с т в о.
Не о} iuаничивая общности, бу}ем считать. что в точке Л10 отличен от нуля минор, стою }ИПНапомним, чт,опреде. iитеЛh,COCTafi.'''i11i0J70MГТО порядка данной матрицы называетсяиз 'те,ieHTOR, "iОЯЩИ i"а iiересечеiiИИлибо г столб !ов и Г строк матрицы.2 В случ ;;', ;;сли Г = mil1( и, n), требование 2) сЛi:. ,у;;т опустить.каiiИi:-;АВ! iСИМОСТЬЛЕОi,;;МoiВЕОР\i1СДСЛi iТЕОЛLду !дСРIдХlд!д у;дсрдХIдх ;(15.33)не. iависимостъвокрестностиТОЧiШМофункт~иПи т сразу вытекает из теоре;; ы 15.:5.
Остается дока-i or;la'UI, и". ..iaTb, что лю()ая ифункциП и,+1, ... ,и т )iависит в окрестностиот иl, и2, . ... и т . ДОКЮiiе;;' напри;; ер, по 'U r +l зав'Uсит в о'Х:рестности mO"l'X:'U ]У!;; от иl,'U r . Сосре.;оточимсвое внимание на первы\ т фУНi!ЦШiХ. Если обозначитьчереоооиl, ... , и, числа ВИ;lа иl ='Рlо00,Х2,... ,Х n ),о•••и,'Р, (~1, ~2,' .. ,~n) то всю <у в некоторой окрестности ТОЧiiИНо (~1, ... ,,~;, ~1, ... '~n) (n + т )~MepHOГO пространства первые тфУiiКЦiiЙ (15.28) предстаiШ!iii!Т собой едшюе и диффереii=цируемое решение сле;lующей системы уравнений 2):, ... ,== 'Рl(15.3 )СОП стороны, пос ,:ОЛЫ!!' !iкобианD(F1 , ...,РГ )ПJ(Хl,...)совпадаii,ЩИЙ с минором (15.3:5), отличен от НУЛЯ в точке НОто систему (15.34) можно в окрестности этой точки одJ{()зна"lНОl?азреш'Uтъ относ'Uтелъно Х ....
,X r . Иi ыми СЛОi,амш ВСiiiДУ;остаточно ма. юй Оiiрестности точ Ш НО системаединственное(15.3 )имеетдифферешшруе;;1 ое решение=ф (иl , ...Х,и т ,Xr+l, ...,Хn )15.35Xr= Фr('U1,'Ur , Xr+1ХN1) I! iiнечно, при этом предполагается, что т > Т.2) В самом f\,'ле. в УК;! ';шном точю'все функции Р;нул!" а ;·!К ;биант,'оремы15.2.D(F1D( 71 1,Р,)(,71,,) = -)r--lт-Р" обт ащают-та!·; что ;;ы!! ;лне!!';5с35) и ПfOр {ЫfO Т равfOНСТВПОДЧfOРКНfOМс чтi' равfOНСТВ"полно' ТLЮсти,ссли"КРС,СТ; li 'ст;с] ТО'Э'<ВИJ{JJЛfOНТ;,1"1, 1"2,Шi;l'ТJШИТЪми (15с35), в п( РВШ'm'ЛЯfOмьн(YKJ3JJ'ТО,и заIlIечаiТчтоиИ 1'независiТТотуравнfOНИЯ~ЫfOо()раТЯТJЯ в Т<iЖ с J.fOСТШl ОТНОСИТfOльНi' 1"1'+1,с IиффfOрfOШlИРУ'; ЭТlс; Тi'ЖДfOстваПfOРfOМfOННОЙ Х!, n)(В ча' тно'/), ,, '/},1'+1X1'+I,...
,Хn ,бу (ем иметь- <61)1 Ь.сс+ a{Jr дфгдерг a1jJlaTl (!х!Заметим с что равенства;{се\{ З;lа'1е;lИ1с ;д уг = О.~д•••(!х!справе ;ливы( 1'.36 )-( 1,.361'), ...ых XI, ...• Хт,Х т +;ере\!е;,х n из;ляlеКОJОРОЙокрестности точки Л10 .д'; того чтобы тбедит ,с,;ТО\!, 1ТО фУНКlИя И1'+1 за {1с ;СИТВ некоторой окрестности ТОЧ;fИ МО от И1, ...
,И 1' , ПОсJ.ставим зна~чения Х1 • ... ,Х 1' о; редел,;е\!LIе уравнения\(15.:55),+ 1 }-еравенство (15.28). При ном И 1' +1 превращается в фушщию аргументов и... ,Х n , ибо И т +1",+1, .. · ,...,И 1' , Х1'+IИ 1' ,fЕ 1' +1, ..,Х n ] = Ф (и, ..., ...,Х n,X1'+I,···=·,, ...СРТ+(XI •...
• Х т ,, ... ,,И т • Х т +(И1,,,,,Х n•...(ну Функт~ию мы обошачили ;iуквой Ф). с Jстается ;lО;Шfатъ,ых ХI ...Х т , X1'+I,. ..Х n , с';ежащих в ;lостаточно малой окрестности точки lv'[,j, функция Ф'Не зависит от Х т +1 ... Х n . Дл,; это; О достато' ю доказаТf" 1ТО;ля всех Х1, . .. ,f!n из юстаточно мас'юй О;fрестности ТОЧ;fИ Jvlf !что для ;{се\{ значений пере\!е;справес ;ливыравенствадФдг[о([='('+1, ... ,n).(15.37)ПродиффереНffируе\! функ lИ;"по ;ере\!е; юй Х!,n) как сложную фун fflИЮ. При этом получимayr +1 a,,'l---aTlдх[aepr+l д",г---дх гд, [ayr +дФ_-дх[Рассмотрим тепе; ,ь с ;едтющиП минор;.ы (Е.32):дуfдх г,6,=1--д угai[+о ПО; ,яд;<а матри-дер Iдх[дергi!Xl(УХ Тдг[дерГ+1дерг+1дерГ+1i!Xl(l = '('+1, ...дг[15.38);АВИСИМОСl ЬПо УСЛОВЮ i , т(iipEOMLI этот минор ]хи;е'Н, 'н, /Лii i'ПiО1{,'Х;U JI/L)множим раВЕОНСТШl ( Гi 36 ) (""ТСТВУiОЩiii" /ШГЕОбр/шчЕОСКИЕО допою6.,,6.7'O?ipi'i 'Пi'Н,()-ПЮТЭЛЕОИ ПОСЛЕОiТОГ" сло)кимМЕОНТiШ ПОСЛЕО {.НЕОГО столБТ~/i МИНОР/iэти раВЕОнства, В силоы о ТОМ, чт"НИЙiЛЕОiiЕОНТiiii(а!нто стол;сумма пр' 'из ,сдс-СООТВЕОТ; ТiiУЮТТ~ИЕО аЛГ(I;iраiiСЮlе ;lополненияшементов <Того (iPyrOrO) CTo'i()lla равна опреiелителю (нулю), получимдФ6.
= -д 6.7'+1 .15.3:5Х!В равенстве (15.3:5) сим iOл 6. обозначаетioР (15.~8) paii i ыйнулю ВСЮiУ В Оiiрестности точки Ма а алгебраичеСiше ;lОПОЛнение6.1'+совпадает с минором15.:53), от.}И'ым от НУ'!ТОЧiiе Ма . а стало ;iьпъ, и внекоторой Оiiрестности<тоП точ~iШ 2).З равенстваокрес (нос (И точкиГi .39)' iаключаем. что ВСЮ;lУ в неiШТОРОПсправедли ,Ы i\aiiei [С! iia (15.37). ТеоремаiOказана.Приер,И, = ХIВернеМб! к iiсследоваi;iiЮ за iiiСИiЮСТИ ф\ iiКЦiiЙ+ ++ Х2 ++2Хl Х ЗХ,+Хф\ i iКЦiiOнал ,на>! \ia iРИllа12(Х21+ .Тз + .Т4)lеГiШiiiдеСТiiеi\ieeT2(Хlвид1+ .тз + .Т4)2(Хl1+ Х2 + .Т4)2(А 1 + Х2+ .Тз)i.ИТЬСЯ в том.
что все опре,iелители 3~ГO поря iiШ TO~io равныпричеiВ'iюбой точкеространства, Х;, Хз, Х4), У iШТОРОЙ не все четыре iШОр,i.Инаты ;! 1, Х;, Хз, Х4совпа;lают, хотя бы О;lИН И опреiелителеП второго ПОРЯ;lка2J12J411отличен от нуля. Ста io ;iьпъ, в окрестности .'iЮ; юП ука iаннойточки ии И",, незаВИСИМLI,а ИЗ зависит от Ии И1) При ЭТОМ мы ПОВТОрЯСiМ РаАТУЖf\(iНИЯ, ПО"iРО(ШО опис;шные н" с. 584,2) Поскольку все ч<tГТНЬНi ПТЮИЗВОf\НЬНi, ВХО"шщие в МИНОР (1'';.33) непрерывныточ;;е Мо , то и сам \;и;юр (! 5.:<:<) "е"рерывен Tii'iKe А10 .
Н;; \iiгдапо T(iOpeM(i 0(; устойчивости Ш<tКi1 ШiПТ ;'рывной фуню!Ии ЭТОТ МИНОР ОТЛИч(iн ОТ НУЛЯ Шi ТОЛЬКО В Сi1МОЙ точке ;;;0, но и внекоторойОКР(i(:ТНО(:ТИ.llОН'кiТИС УСЛОВНОi(i'IbHмалш ь:'кю:трсмума.IiаНШ'J\'I л()кальньр:'iIOПЕО (Вiiзапы пикакимиTi"iВМЕОст(' С ТЕОмзаТJ:а',IaмаТЕОматике иТРЕОМ,}!М(С РiОiiOШИТ(п! 'ил; '!КЕОниях;(iВИii ('laCT;' встрсчаЕОТ(ЯmnЫСh;ШНiuи эr.;сmрt;,АtУМО6 фун,r.;ци'u, аргУ,АЕе'нmы h;пmо-роймумы такого РО,iДдоnол'!!иmJЛЫ-lЫ.М UU/,(i6'UЛ.М /'/IЛ3'U.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
