Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 102
Текст из файла (страница 102)
у) ПОЛО'j{fiтельн;]д'nС \НHOBa~i;ш i:;Ш про iзвоДнаяфую:~-СJИЯ F(u, х, у) возрастает на этом сегменте (или, что то же самое"возрастает на отреЗi:е А1{ A1~). Но тогда i1З ссловю: F(J\;I{) < О,F(J\;I~)О вытекает,ооiTO BiiCTpi1 сеПiеiiта и -~ и ~ инай, jется \лно е, jИнственное значение и такое чтоF(u,,у)+Сu(или. выражаясь :еометрически. внутри отрезка М{ M~ най, iетсяСД ШСi i:C'HHaji i'оч:а М., iежащаji на повеР:НОСТi1 S.)ПУСТi,Teij\I)1,iКЦИji и = <р(Х:,СИ,iiЮ i1ЗipyeTтоiipa:i1-л';. посредством кот,;рогс, кажд';Й т' ;чке, у) из окрестности,;.6) стаВИТС\i в соответсТ!'" еДЮiствеiшое Чi1СЛО и i1З интерваоia и -о<и <и+,ДШi которогоF(u, Х:,что в окрестности=о.
Мы ДOl:азали.(15.6 существует единственная ,уню~ия и х. у , ~'ДO:: :е:::оряющаji СС,'IOвию lu - ~I < С jШЛjiющаясярешением уравнения (15.;12. Докажем теперь чтс; фу'!!.'Х:'Ци,яу) '!!.еnрерыl'нлл влюбоi1 rnо'Ч'Х:е М' Х. у О\,рссrnносrnuiaK т:ат: для люi':ойточки, у) из \жрестнс;сти (15.6) въlnО }'не'н,ыl rnе .же усло~ви,ячто и 1ЛЯ точки M~ (~, у) то :остаточно :оказать непре~1)1, 1ШОСТi, ФУШ:Ш1 и =х. у лuш:, rnо'Ч'Х:е M~(~:, у.[l;оказать, что 1ЛЯ люБО1О достаточно малого положительно 1о Ссупествсет i1О :О'ij11теш,ное Ч11СЛО д i'aKoe., iTO ДШi 1юбьп: х иу :овлетворян пих неравенствам 111ИВО неравенство lu -~IС г <еод.
у - 711д. справе[l;<р(Т, у) о<p(~, у). Ес.1Ивзять В качествето число, которое выбрано выше при расCl\ЮiреНЮ1. 1, то ссщеСП:О1:Ю 11е д обеспе'iю:аеТС,i нера1:еНСП;ЮiИ(15.5 . Остается заметить что в раССУЖ[l;ениях п. 1 положительное чис.:о может быть взятоугодно(это отмечалосьв п. 1).Тем самым непрерывность функ JИИу) установлена.1е\1 услоuис неnрср ,тностnu1КЦИИ и = <р( Х:,В ТО' iKeA1~(~: у)разно/П\ноi1ОБОЗ:1а'iая iерез /::"и i1О шое при~;) И~Iенн", люб;;й точке 2\!I' (х,ка М(и,.т,у) l'р"п'раНСГRаRи/ окрестности 15.6) соответствует точ~1'а1Сая, чсг;; ф,'\Н\\ЦИЯ Р(и,.т,у) обращаесгсянуль в точке М, дифференцируе~ш в нек;;тор;;й окрестности точки 2\!I идРи\,еесг R Э1'ОЙ о'\рессгноссги ОСГЛИЧ1'УЮнуля ',аССГ1,УЮ ПрОИЗR'Щ1'УЮ ди'i('ОтветС'!;]pry'iiY!i'iii""ЧТi'О,Оюка у;]т!aeTCiiФуню шиСР(:1:, у) в любой точке(15.6).'(J,-В силууа, ечаНИii, сделанного в п. 2.
достаточно докаiаТi дифференU !р\"емость функции u = ср(х,в само!"! точке(~, о . Чтоt"ibI это с,(елать, iibI !ИGПИМ ПОЛiюе Щ "иращеi6и функции u= ср(х, у)точке(~, о ,сои! iiеТСТВ\"ii1щее приращеi иям аргуMeiiToii 6х и 6у. Поскольку P(~,~, оО и P(~+6и"~+6x" 0+F("ii, х, у) В точсоответствующее rrриращениям aprY\ieHTOB 6и"-то nОЛJfO(; nрuра'ЩСJ, У{Ске l'vIo(~, ;~, о ,6! и 6у равно нулю. Но вфункции Р(и,х,у)то'!кефУН1);'Цf{iiсилу УСЛОВИii дифферею шруемостио ~,:'/J) это ПОЛiюе щиращеiимеет вид(~+~ 1)( дРдудIдРЗ,(есь исе 'чдсrn1-tЪtе nj оизводНЪtе дu! дх1);(;Мо о :1:, у): а,и1О ри{ 6:6иИтак, м!---+u(3) 6у.дЕду беруrnся в rnо'Ч,-О.О.получаем15.7)Сог [асно разностной фОР\iе УСЛОВИii непрерывности функцииu=в точкеl'vIo'(О)х, у---+при{6;У"---+0,6у---+О.Таким об-разом, можно УТПСрж ,ат'" что ИЗ ус"опия {~~ о еле.
"·СТ,что а,{Jи1 ---+О.lЕСТВОВ \НИ11дР'аянуляПОСКОЛЬКУТОЧiс;е{----7 ОIдР/::"у "Ы! i].жение дu+~y)----7О,Т!Р1!/::"у ----7 О,+Iн' обую цаетnсям(!ж,ю поделить ,а15.71ну !'ь. В таком слу ,аеi 'и/::"ХдР +д!!рез\ль ате ',его мы полу ,им:;+ СУдР)/::,.и = ( - а;./::,.хд!! + 8()(д!дР+ --+~Iд!!-+д!!/::"у.(15.8)теореме о !!редеш,ном значении частно, о двух функ шй можем утверждат"чтодРдР +8дu_ду--;;;д'""'р;--- - - дР-д!! +д!!гдеILиVо при {(15.9)/::,.Х ----7 О./::"у ----7 О.Со юстаВЛЮi формулы,!Р)/::,.и = ( g.:~.+ V,!.8)(и(15.9),окончат! ш,но !юлучимf,~)иду.(1.
10)Р1lФормула15.10) докаii,шает диффер!= tp(!, у) В точке l'vIb(X, :ч). Те\ сам!н шруе\iOСТЬ фУНКiшиu=TeOpe\ia 15.1 !ЮЛНОСТi,Ююказаi а.3а м е ч а н и е 2. Приведенное докаiатеш,ство без всязал!" шений переносится на СЛ\'чай iеЯВiЮЙ функции. заВИСiiщей не от двух, а от люБОiО конечного числа apiY\ieHTOB:1:1Х2... ,:1: rn1). Случай двух аргументовпреИМ\'щес'! iЮ,'iTOдоп\'ска8'!:1: иимеет лишь тоiаглюшую геометрическую иллюстра; шю в !!ространстве (и, х,2. Вычисление частных ПРОИЗВОДНЫХ неявно заданной фУi!КЦИИ. Остановимся на ВЫЧИGТIении частных проиiВОДИi,iX функции. не явно за,iанн(!f.l !юсредств!м \тавнеНИii1) И, в частности. от одного аргумента.5.:1,.Пп:тьf;ЫПОШ[ыусл(нияTi'\'peMbIПiiiл,аЩi" ия функции'/),5,1для ШiЛ [(ТОT(ir,у) СПРёшедшв\' пре,iстаf;, fениепредстаВfение и теорема 14,9ЩiЗВ(if!fЮТ утвер(15:10)скдать, '!то '!aCTHbIi' ПРОИЗfЮДНЫ i ' функции'/}, =ШfЮТ\Я фор' ул((' Иу) iюредедРд!д,т;{iU{iyдГдудГди15.11)диАна,югичю ,fe формулы с iраведливы и ДЛ!f случая, ко! да ю !fВHOзадаf ая функция завис тт не о"т дв!"!, а от любого I(О!югоЧИCJlа apiY' ентов Хl Х2Х т .
В;том случаеди(k= 1,,2, ... ,т).днЕсли мы,!отим обеспечить существование у нешшо за,iанноI,I=функции ито.естестве;ср(х, у) чаСТЮ,fХ проишодных второго iЮР!fдка,Ю.'!ОДiПСЯ !'силить тре(' оваfШЯ,на' фунюшюналоскеf[ыев теореме 15.1, а и' енно: ПРИХОДИТС!f доiюлнитеЛf,НО" что(',f,J;Т, у) i'f,Jла сва разаfU тр!'ема в рассматривае:VНiii то тке. В этих пре,шолоnp01tiiBO(j'llbl.xжеНИ!fХ остаНОВИ;iС!f на в ,fчислении 'Част !ъивторого Тiор.ядnа.Введем iюлешое в даш,нейшем ПОН!fТIГ iЮЛНОЙ частной iiPOИЗfюдно11 функции. Предположим, '!то нам да; аемая функция трех apiY;ieHTOB Ф(и,:г,у), приче'аргументов и сам ш;ляетсяодин из этихi исlн!>ереfдв!"других аргументов Х и у Тогда функцию Ф(и,х,СМа'! lНT [;ать как слоскную функцию i [;ух аргумен'! ов х,Ю,fе iiРОИЗВОДЮ,fе;той сложной фунющи iЮ Х И у будем Hai'вать nол1-tЪ!ми 'Част1-tъt.лли т!роизвод1-tъt.лли фу1-tк'Ции Ф( и, х,DФи у и ii('ЮЗffа'тать СИМfюламиDФ'по ХПii правил!'DijuтроваfШЯ СШiЖfЮЙ функции мы пол! 'тим Gпе,iУЮЩ те <!юрмулыДЛ!fука ,анных полных частных прои (водных:Ш'дiI' дидФОн дхдхDy =~.:: ди + ~.: .к ВirIЧИGпению чаСТНirIХ ПРОИЗВОДНirIХBTOPOiOiЮРШка неявно заданной фуню [Ии.
Ради опреде,fенности в! ,fчислимд2iiРОИЗВОДНУЮ --о ДиффереНЦИРУ!f первую иi фор;;ул (15.11)дудхпоуиfюдны'!имаяд!ид!днfЮfшимаfзаfШСИ'iО"!ие,'ПОчастны'!каж, iаятре,! арг!'меfTOf;иХ, у,ПJоизизявляет> я функцией1;OTOj)bIXDдидуд.!и'>'миметьдF D+дхдРб'u5771Иф !>Е1 ЕЮ!! ,ГУЕ>С>СТ11!ЕСТВОВ \НИ!>)удР (д 2 Р дидu-а;:а;;; ауд'Р)дР (д'РдН+ fUдY + fu[+Р5.1),01JOl'lательно2 Р_' (_дР) 2_д_"Р_' _дР _дР _ _д_д,т;Пu ду дuдхду_дuд'Р)+ а:;:ау2Вставшш в ПО.lученную фор\tyлу в! Jражениеиз форм\ла;;'2 аудидl/ 'определяемоеиметьд'_Р _дР _дРд'Р дР дР[+и 2 д,т; дудуПu дх дu_3(15.
2)Совершенно аналогично в ,lчис.ШlЮТСЯ чаСТНЫI' llРОИЗВОДЮ,lе2u Адду". налогичныммето, ЮМ Ivюг\'т быть вьнислеllЫllРОИЗВОДЮ Je трет! ,е! о и lюследующих lЮр [дковП рм ефУllКЦИИ U =ы.Вы lИСШ1ТЬ част!1у)хза,!дlу2)д!!дхдуд2дуд,т;про 1З юднуюб'uдуд.!u - е-(Х+У+U) =(15. 1вччис.ТIи! частнче1+1+=1.О.Тот же во тос lД!! функции. заданной уравнение!и2+ х 2 + у2п ТШ УСЛОВИИ. что Ф.' нкцияF ( u.соответствующее число раз.191).lЮР!lдкад!!Далее очевидно, что'lacTHbIeюй ПОСjе,;,ством ура fllениярежде всего.
lюл ,зу [сь форм! ламиllРОИЗВОДЮ,lещ'рвогод2 uВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI_1/)а 2 - О.дифференцируема в данной точкеИ<шшьзуя(15 1ш л\ '!имднхдн, д!!дхиметьд!!D (;){!ун2D!fОсоБЫЕ' точки ПОВРРХf Осс!И3.смотрим некоторуюfеляемуюдинатв!лоскойffТОЛЫза,!ДfШОИ(Х. суравнение'функцииРас-ffoBepXHocTb S (плоскую кривую L), опре!fЮЛОЖИ'F(x,:t}, z)системе ко'ю= О).
Относитель~очт'f она имеет непреap!Y\feH-Рf,ШЮ,fе чаСТНЫf' прои !водны!' перво!о fЮР [дка fю все'там ВСf!ЩУ в некоторо!( о,рестности ЛЮ1ЮЙ то'!(кривойL).Буде' называть данную точку fюверхностиL) осо( о (, если в это!с( точ},е ОlfращаfliТСЯffРОИЗВОДЮ,fе ffepBoro порядка функцииSS(кри-нуль все частные).усв m,рестности особой то'!киF(x, у, z) =ПОffер'! юсг'fельзя примеf итьураfшению(F(x, у) = О) теоре\;у 15.1, т.
е. нешзя утверждаТf"это ура fffение разреfхотя бы 'fТff'fсителыюШО!с(пе-ремеНЮ,fХ х у z (х, у). ТаКИ f обраЮ\f, участок fюверхности S(кривой L), приле!ающий к особой точке, может не допускатьо,юзна'!f'frO проеЦИР'fffаf ияна о,коор,шffатffыI!f плосffCкостей (ни на одну ТЕ осей координат). Структура поверхности S(кривой L) в окрестности осоtюй т'fчки f'ожет lfыIff ffчею сл'fжной и требует ДОПОЛНИТf'ш ,ного ИССfедоваНИff.То'!ки ПОffер'! юсти,), [е ЯffЛЯff'п~иеся ОСОl'fЫМИсffРИНffТО HaffJBaTf Of'f,lK!!06e !!fыпl•. В окрестности обыкновеннойточ},дейс! ffyeT теорема 15.так что прилегаfliЩИЙOlfbIKHOвенной точке участок поверхностиЗf а'! юе проецирование хотя быS(кривойа ОДffУL)допускает одно},оор,fЮ ffbIX плоскостей (хотя бы на одну и! осей координат), что существенно() участка.. Найг' особые точки },pfTOBoro },о!Оl'шегчает исследование это!П р+дР-м еры.z2 = О.
Пос},олы,!с F(x,:t}, z) - х 2+дРх2+то дх = 2х,д "'~ = -2z. Е, [стве; юй осоl'Ю!С( точкой является на'!а{!уло }(оор,ат. Хоро! ю ИЗffес! fЮс что в окрес! fЮСГ' это!с( то'!киfюверхность конуса не может бf,fТf одношачно Cf!роецированани на одну из координаТЮJХ fшоскостей (рис. 1,!.З).lECTBOB\НИl!пш ской крив! Й :1:2 дР= О" Ч;1С11lЬН~ про 1З1ЮДНЫ!" 11М! 111Т 1ШД дхдР2у" Об!" частн"leточках плоско! ти (О,+2:г++37 ),пршгшодны!" обращаЮТС1l в ну!и(-2/3,в двухИ1 этих двух точ! К толь-ко ТТСР15CLЯ ТТРIШ<1ДсlеЖliТ Р<lССЧCLТРИВ<lе,юй кривой, т. е. являетсяОС1)('О1.1.
Пое1РОИВ КРИВ)"l!1 х 2 _у2 +х 3 = Оокрее1lЮСТ11(О,1lыI убедимся в томчто эта точка 1lВЛ1lется точкой са'юllересечеНИ1l lрафика (рис.5.4). Ясне), что в окрестности этойточки кривую н1 ш зя однозначно спроеlшроваТlни на ось Оха ось 01/.zРис.4.у15.3Условия,функции у =Рис.обеспечивающие15.4существованиедляf(х)обратноt\ функцииf фименим теоремуJ 5.11Д1! Вl"lЯснеНИ1l условий" lljШ ВЫlюлнении KOTe)11l"lX <I>\"НКlИ1l УИ'lеет в некоторой окрестности точки :го обрат-= fНУЮ ФУЮ(;i\UЮ х = f-1(y) определенную в lе110ТОРОЙ 01рестности точки УО[де УО =лхо). Будем рассматривать У =11а11 функцию" опре1iеляемуюда ""(х, У) = лх)-f(x)11П 10нальным ураlшением lШУ =Тогда ве) тос о существовании11 \"нкции cOBlla1iaeT сBOllPOCOM о ра;реЩИ'lQСТИ относитеш"но указаННОlО Фунюшоалыюго ураlшения.
Как следе1lше теоремы 15.замечаl ияllеред доказательство!1ТОЙ теоре';ы,\"твеРЖ1iе; ие: CC iU ФУЮ(;i\UЯ1MlJПОlУЧИ!слеДУЮlllееГ(х) U.ллсст от 1iU'ЧНУU 1 от НУля nроuзводНijЮ в !!с'Х:оторои о'Х:рсст'llости то'Ч'Х:u хоэтоu фу!!'Х:'Цшt в O'X:P!:Cmi!OCmU хо существует19*то дл"s 3.tlеявные функции, опредеJlяемые системойфункциона,it ,Ш,I>;:tенийосистемы функциот ;ТЛЬ-НЫХ уравнений.пре,ънущем парагра<l>е мы рассматривали1. TeopPlvlaBOiiPOC о существовании и дифференцируем ости неявной функuи ,опре,селяе:vн)'! посреДСf ;ff)M односс'О ФУiiКЦИОiiалыюр) ypai,-неНШi. В это' iiараграфе м! рассмотрим анаЛОiИЧНЫЙ BOiiPOCдл!! совокуnности 111 (т - любое натуральное число) 1-tе,iiВНЫХ Фу1-tКi\UU, опреде J.яемыхп,осредством сuсте.ЛЛЪf Фу1-tКi\UО!taЛ'Ь'/lЫХИтак,{е!!ии.!JpaB;iЮЛОЖИ'что 111 функций,:1:2,··· Х п )= rl= r2Н2Нт,:1:2,··· Х п ),)m(Xl,ищутся как решение систе,iЫmХ2,·..,Х п )функ шонал .ных уравненийF 1 ;UlН2Нт ,Xl,Х2,···Хп )О,F 2 .UlН2Нт ,Xl,Х2,···Хп )О,Нт ,15.1 ),!!2,··· хп)=о.Из,"iИМ i,'ШРОС О разреi шмости системы ФУiiКЦИОiiаЛЫiЫХypai,-нений (15.14) относительно Ul Н2 ...
,Н т . Под термино' «решение систеМi(15.14»> м! в дальнейше' будем iЮНИ,iатьсовокупность m!!Шf(15.та!!'!ТО при по,сстаiке !ТИХ функций в систе,;у (15.14) все уравнения этой систем! о{!рап~аi' ,тс,; в тождества. эт'i ретпение м! Jсем называтьне iрерi.tВюи диффереЮiИРУСМiвнекоторой об.iасти D изMeiieiияперемеi[ЫХХ,Х2,...,Х п ,еслика}f{,;ДЯиз!(uиHeiipepiJВHa и дифференцируема в об.iасти D.римся ОlЮЗiiачать символом R ПJЮС'f ранс! iЮ (тn) перемеiЮJХ Ul Н2 ... Н т , Xl, Х2, ... Х п , а симво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
