Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(3)Онера-;'0 знаком,и из;'eIMeHTa О :::;; t :::;; 1в iЮТОРОЙ11Ы приде1 1CiiMeHTa;;?Оточку лоНо 1'огда, ПОСiЮЛI,J'"(11.101) получим, что р', а )1'0 о ,начает, чтополучаем Iротиворечие ;'0<О>на юлуин-;;?о.вторым соотно! Iениемкоторое дока ,I,шает, что i'(t)I;СЮДУ на интервалет. е. доказывает ;'ТРОIУЮ вьmуклость f(x) на мншке< t < 1,;'твено. Исходясправедливого на этот рази IреДIЮЛОЖИВ, что внутри551Л( ммапо. fНОСТЬЮ,'Jf'(l(ан;(Доказ;(нная лемм;( е( TeCTBeHНil н;ш, ,fИт на мыiльь о рассм()fреню! С I<Д{(ющеГ 11 ещ(iУКЛОМ множествеQ;;,'лее {!Зi1' !го;(СС( Вi,Ш{i1ЛЫХ на iibI-иша раз;( диффереюсируемых на этомОnределенuе{ва раза дu.ффере'Н'И,Uр!fе,мал 'На в mi;nЛО,М,м'Нож,ст(l' Q фУ'Нn'И,il!' j (г) 'На (ываетс!! СЛ Ъ 'н О'ы n у nлй 'На этом.
м.'Нджестве, еслu j'УЩ, j'm(lуют таnи,ложu,те.н·ь'Н'Ы{ nосто.н'Н'Ны,е k j 'и k.l 'Что второйдвеd2 j этой фу'Н.n'Цuu, mjiilделлеМ:blй С;Jот'Нлше'Нuем. 11.98), вото'Чnа;т х .·,(.'Нож, ст;юQi;дов.нетв;Jрл,т Hepa;l' 'Нства,м14.эти;, HepaBeНi тва;, через ~x обознач; н в; ктор С координатаобо (начает С1алярш,;квадрат ЭТОiО вектора.Из левого неравеш'тва(11.101);'разу же вытекает, что второй дифференциал сильно выпуклой ф{!нкт~ии(редстав. f1leT собойполо f1i!тельно опреде!fенн{!ю во iicex точках 1'lНоже;'твафункцю;" а ютому (в ;'илу леммы 2) j'uЛt,'Но ;lbl iуnлал'На ,М'Н! 'ж,ст;lе Q фУ'Нn'И,i;" заведо,мо лв и;етс!! строго вы,nуnлой'Нл.!mом. М.'НО.жестве.Вме;'теШИРОi1итем класс ;'ильно выпуклых функций достаточноiiаженпт(! i1лаДНi,iх(адачах,иограНИЧИ1'lСЯклассом при изложении теориирадиеНТНОiО методаНачнемHOCTi!Н'И1!юиска миВЫ1lснения вопро;'а о суще;'твовании и о единствен1'lИНИIlY1'la.2.
Существование lуНllНIмума у силт,но выпуклойф'уНi(ЦИИединстпеННОС'iЪ МИНИI'i'i.У мастроголой функции. ПусТfмноже;'твеНOI!1есп;а(].Qфункцияj(xопределена на iiЫПУКЛOI;Будем говорить, что эта фУНКЦИ1l им; ;'Т В точке хао к аьйн, если сущее ii{!eTтакая д-окрестность этой точки Ха, что значение j(xa) 1ШЛ1lет;'янаii1'lеШ,ШИ1! среДi! (на!iений j(x!i1lli! (1О iicex TO!iKaXпересече fiiЯ д-окресТНОСТi! хо и 1шожества Q.ПТ (! Tai10M определеню! понятие ЛОi1алыюгоilНi!включает в ;'еi;я и точки краевого минимума функции jнаранице множества Q.Tai1i!M обра1ОМ, Прi! данна1,lИ определен11ОЖНО подразделитьточкиминимуманаточкивнутреннеголокаЛЬНОiО(!м{!ма (для Сf\чая, (1Огда Н'И ТО!iКИ являются внутренточками Q) и точки краево! о локального минимума;'луча1l,КОiда эти точки 1ШЛ1l ;!ТС1} раничными точками Q).[Нl [ХffЯ fюпр, ,С;1 О с\ щеСТВ()К1 ри е! fшственн< ,ст fi,i{;1ifbH, ,ГО\Нl нам пон 1доб iТСЯ слеД\!Юf fi1Я f;СПОмогатеЛЬНi1!! TeopeMi1Ле,мАfа 3, ПI!гтt,НЫn?!'КJlД!1! Н'i!i1же! !/!{ie Q ащ)а?fЛфере?!'Цuруе.мл,,я выпу? л т,я фУ'Н'? !!U,я j (:r; )lл,я того 'Чтобы этаДляЛ,фУ'Н'К'Ц!! l ' !!,нела ло'КаJi'Ь'НЫUв то'Ч'Ке го ,н'Ножества Q,'Неоптодu,мо u досrnаrnо'Ч'Но, 'Чтоб!!!любого век;тора ,зх, дл,я'Коmоро?ого~T nрu?:адЛ,)f{'uт .м,'НО !!!'!i'm!!y Q, было+сnраведлu,вf! 'Нiраве'Нст!ю 1(gIadа к а з а тл ь с т в а.'пержде fffЯ, дакаiа шага;;?1)Н е а бп.
6 § 4 гл.равна fраизведеН:Шf! fраизваднайнаправлению f;e {тара Пх на дл(gIadJ(xo),~,T)де е=~x:I~!I-( 4.105)О.а д и м ат ь.,'илv4, левая часТf (14. 05')функции j х) в тачке хо юI пхl этага f;e {тара:п!'де xo)l~xl~единичныи вектар в направлении(14.106)лu-X.Так как х(! являе! ся тачкай лакал !fюга l'fИНИI!fУI!fаj(x , та праИiваднаif ~:неаТРiщательна(Ta!iHee,i{Цif~x:ю любаму на fравлениюра ;на нулю в СЛУ!iае! еслвнутреннего. лО!{альнага эксfpel!fY:!fa,х(!-тачкаи неатрицател !на в случае,еi'ЛИ хо - тачка KpaeBafa лакальнаfа экстремума).Итаi{ праi;ая !iaCTb (14. (6) (а патам\левая !iaCТf4,1051)неатрицательна. Неабхадимаi'ТЬ даказана.2) Д а с т а т а ч н а с т ь.любаfа вектара ~;T,катарага тачка хо~T принадлежит,справедлива неравенст!ю ( 4.1(5).
lакажеl!f, !iTa тачка х(! я ;ляется та!!лакаеТ!нага минимума функции j х),Так как функция j(x) па уславию я ;ляется i;ыпуклаf на мна,жеi'тве Q, та ДЛif Лfобь!\тачек хl и Х2 этага мно.жеi'тва и+ifсла t ifЗ сеП!fеt 1 справедл iiЮ неравенства. llалагая в эта м неравеш'тве хl = Хо, Х2ХО + ~x, мажfepe fисать эта неравенства в виделюбага(11.9~!на!!!ОtП!)- f!!o'( 4.107)Считая хо и ~x фиксираванными, перейдем в неравеш'тве(14.к предеш Прif t --+ ОО.
Па апределению праи iiЮДнай па направлеНИff! (см.,6л. 11) предел fрИ tОО1) 13 неравенстве ( 1.105) берется С!iалярное произведение векторовgradf(:r:! и ~!, Опре!еление gradf(:r:! см, в п. 6 § 4 гл. 4.'faCTff (14 (7)оиз ,(Д( НffЮ, стоящеIiI\iв праfЮЙ 'f;lC fЯ410вс<ют fOШ<Р4105) и(1] 106) этот fредел неотр:vщателен Учитыв;ш, чтi i лева~l Ч;li ть(14, (7);;ШffСИТ от t,ШШУЧИIiпреlеле при --+шравеш'тва (14,107), ЧТi1+~,г)f- j(:r:o)Оllоследнее неравеш тво, справедливое дшl Ш1iбого вектора ~X,дЛЯ которого точка Хо~X ПРfflfадлеЖfП Q, дока; 1!Бает, 'fTOфункцияХ) имеет в точке ХО локальный минимум.
10статочfность дока;ана.Лемма33ЮЛНОСТЫ{i доказана.а м е ч а н и ео (е 'ffДНО, что длян е й1. Из fриведеННОf о нами доказателы'тваCf1 'faK когда то'н,а ХО Яf,ляется в уе нточкой множе,'тва,т. е. КОfда речь идет о внутреннемлокальном МИНИМ1 ' ме, в ФОРМ1 1 лировке леммы 3;нак ;? в неравенстве (lJ.10~!) можно заменить на знакалеммы=.е ч ае 2.При ДOf,а;ательстве неоБХОДffМОСТffмы ш ' и1 fюльзовали требоваНИ~l вьmуклости функции3f(x . ПоэтOfry ДOf,а;ательство неоБХОДffМОСТff проходит без (ребоваНИIl вьmуклости функции f(x). Иными 1 ' ловами, справедливо следующее уеж Д ее: 1СЛ!! фУНК:'Ц!! 11(х дU1ф-fфi П!1!'Цируе,м.п 'Н.п выnук:ло,м.и и,м.еет л,"!IУЛ'Ь !Ыйминиму,м.
60 6 !утрен!!ей (6 ?lJa1!И'Ч'Н,оu) то'Чк:е хо этоi'О .;\л'Н,о)i1любоi'О 11/к:тора ~x, длл к:, 'тор, '?О то'Чк:а хоQ. справедлив{! н' равен! '!n!m= О(gIad,~x) ;? О].[(gIadllерейдем к ВОПр01 ' У о едиш ' твенности и о суще1 ' твовании точлокаЛf,1ЮГОMffI'Ia.Teopf1Ma (о ед 1iИiсmве1iносmu .лоnа.лъного м 'пн 'пмума усnрогофУ1iУ'fu,uu).фУНК:'Ц!!1 1х) 1luфферен'ЦируемаuCmpOi'O 6ыnук:ла но 6'Ы iУК:ЛО,м..;\л'Н,о)i1 !{'т6еQ.то оно,ножет 'и,!1{ет'Ь лок:аJ,'ЬНЫU ,н'ин'и Н.!!,Н. то.н·ьк:о в 1'cfHOU то'Чк:е это,м.'Н,он{'ества.ь с т в о.докаffMeeTЛОf,аЛЬffI'IИНИIiIУI1и ;Т,ч н ы х14.95)f(;r('о н,ах хlдля точекможно;а(Х2) ;десьа з лда условие ВЫПУКЛ01 ' ТИи Х2 множествах!Предположим. что функцияД "1 Хt-14.
(8)(хлюбое число и; се; мента ОJ\kH l~l В 1 ' ООТНОШ! нии (lJ.108) точкиffM нераf,еllСТfЮt1и 12 рол lМИ, мыЮ14. (9)[нихпрнно[рав;у,чаСТf,н;]правлению вектор;] х"х « ,111твеТСТВI нно вектора хlвз(с,ютвет< твен!в T11'fKeIfHI111"I'HH"(){'11 ,ак какнн\fY\Ia,точки хХ2)наи Х2 являются точками лок;]льто об,' т,,;];анныеfРОffЗЕ,щныенаffр;шлениюнеотрицате,'ТЬны, т. е. пределы правых частей 14.НJR) 11 (14.НJ9)при t -+ ОО оба неОТРlщательны.Tat"обра;ом.
из [ераЕенстр (14. ()8)(14. оч) в tределе+приОt+Омы получимЛХ2Соtюставленнелхl~ О,юследнихfлхl -[ера! енстрtриводtf'l.нию о ТОМ. что f хl) = ЛХ2Использ"раве! [С; во j (" ) =строгой выпуклости 14.96), что+t(:C2 -(12))]х ,) ~ О.нас'!им"tы<f(14.< <tля в с е х t из интервала Оt1.Неравенство 14.110) противоречит тому что функт~ияfхTO'fKe(в точt·:е :Сl + t(:C2 - :Сlмалом t к точке Хl, функт~ия f (х имеети\tеетмини''"вкак уго. [но близкой при;начение. меньшее;начения (;Тl)),Полученное противоречие доказывает, что наше пре шоложе-ние о том. что функцияи\}еет Лоt"аЛf,ныi.jf(1)различных точках множестваQ,ннндв\является ошибочным.доt·:а;ана.Существование локальногоl\ШНИМУl\Ia докажем при i'юлее..Теорема (о сущесmвова1iUU .лO'tш.лЪ1iого мииимума уси. ",ныхо!'Т)а l;fчеЮf'''Х,че,,1еДИНСТЕеННОС IIсu.лъ1iо выnуn.лоU фУ1inЦUU).
Еслu фУН'К'ЦUЯ лх) сuльно 6ыnу'Кла на заJvt'Кн jmO.Jvt 6 ыlntj'КЛО.Jvt .Jvшожест6е Q, тоэтойфУН'К'ЦUUна .) f.НО:Ж:I:С!i!61'QmО"i'К1i хо ло'КаЛЬНО20MUHUMY·JvtaД о к а з а т е л ь с т в о. Сначала отметим. что ТI орема заведо\юсttравеДЛИffажестводляQ являетскча)}t<шдаfътttyt·:лое;а,,1[утоекроме того, о г р а н и ч е н н ы м.мноогда повторой теореме Вейерштрасса (см. теоремубудучи во всяt<о,}случае непреРЫВfЮЙ [а14. 7) функт~ия j( х),MHO)ffeCTBe Q. ДОСТИl'ает в некоторой точке хо этого множества своего МИНИl\IaЛЬНОГОна Q;на'fения.
у ·:а;анна)} точt·:а 1'о и )шл)}ется ТО'fКОЙ лоt·:ального l\ШНИМУl\Ia.1) Так как сильно выпуклая на выпуклом множестве Q функция f(x)jШ.,!ЯI· С"точю,рого ВЫfiУ1i.,Ю'"1 "а эбудетд"ред,р,555JCTaeI С>Iд' ,Кёга'IQто''I,теор,'сн еkЛl'да Ю"в л я е ткл' ,ео г р ач;амкну-н н ынекоторую внутреннюю точку Х1 мн, ,жестваt<Цf1Ю (:1:) п,i ,f,'iPMi ле ТеЙ'I' ,ра цеIJв »шглтато'шыijalтанжаУказаНН'i"14)1)иметь вилх) = Л Х 1где е-14.111число из интервала О< е < 1, так что точка Х1принадлежит отрезку, соединяю нему точки Х1 и ХЕсли оГюзначить д.х вектор хвеДЛf1ВОQ и раз-Х1)2).Х1. то tля dJ(X1{'удет спраравенство:11), д.(= (gradИз cfТOl'O рю,еНСТI а ВIЛ екает, что.1 2выДалее, используя левое неравенство в опресклости (14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
