Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 93
Текст из файла (страница 93)
,Х m).При этом мы по ;учим, чтоПослеДIfее соотношеШfе и fтаIшлароваIfИiI, \ становленные в Iюнце. 5 § 4, fЮЗIЮЛiflОТ нам записать длядва ра:ш дифферею шруемоi\ в данноН точке М функции u =- .t(x Х2···, Х n) слеДУiiiЩУI" цеПО'fКУ равенств:(Р11. -5((111.)l'"Х1 d····.' 1, =бх~' 'd;;';'5[~-д dXi]~5[(lxk]~дГk;)71.'k=1+ дд~ 5((lx !.тАе}~:Гk'=1бх;""= 'd;;';'БХidX1.бх~'d;;';'8i1=di1,бх~'БХi'd;;';'тndX1.(~;;" "=~ дг,д:'k 5Xi .
dXiтn]тn- ~~--dХidх;~ ~ д:г,д:Гk8;1=(~;;""=./,=1 i=1.(1 .13)(l\'ILIВОСПО . ;Lзова . ШСL i'ще и тем, что ДfЯ два раза дифференцируемой фУШiЦИ смешаI [ые "РОИЗIЮДIfые {;торо;о порядка [езависят от того, в какой последователr,ности производится диффереIЩЩ ОI;ание.)Итак,Х1, Х/". ..Ml,iполучаем,чтовслучае,когда.о дифференциала два раза диффереlЩИР\е\ЮЙфункцииaprYMeHTl,i0-,Х т ЯВ fЯЮТСЯ не:~ависимыми переменными, для вторда!ЮЙ то [кеu = .t(X1, Х/" ...
,Х т ) справедливо представление:(14.44)ъп иЗамеmавидаIКЦИ>Imф,ПОСТОЯIгДi'драее юКiiадрат Iчна>i=СЛ('Iая,йр м,крфиотIИСfIepeMei IbIXшснт iМИ"'лиiice;;условиюi1,2, ... т).ПОiученное нами выраjjiениедляieCTIiei IbI"в'"Iаъшает""УДОiшеТiЮР пот2, ... ,т; kIbI"йччисла aik, !2,что521IИФФЕI'ЕНl(14.44)apr(MeiITbIкогдапозволяет утверждаТl".. , Х тХ, Х2"ЯВЛЯi'iТС>iнезависимыми перемеННf;lМИ, второП дифференциадва раза ДIIфференцируемой в даннойI'ОЧ (е"IКЦИИ 11,.f(x" Х2,... Х т ) представляет собой симмеТРИЧНУiС, 1), кваdX1,, ... , ,Ix m , коэффици--дратичную форму от переменныхентыiiOТОIЮЙIbI cooTBeI'CTii\'ii ,щиIacI i IbI\' ЩЮИЗiЮДi IbI\'11, = .f (.У 1 Х2,...Хтвзятым В данвторого порядка фуню щиной точке ]1.;[.Отмети, что fЮЛ('Iеi юе IЮ,iала второго порядка(14.44)iiыIажеiIиеe ДЛ>iщи-МОЖНО переписать и в другом виде,ИСПОЛЬЗi я формаль IЫЙ символ-iJХ,д+ dX2-iJ+ ... + dx mд14.45."2помощью этого симво [а выражение4.44; MOi (ет{,ыть переп IсаiЮ в видееРи -(elx,По индукциид:Гl + dX2 iJl1'2 + ...
+ dX m nгrn) 2 и.(1 .[егко убедиться в том, что в случае, когда ар-Y'iIeHTbI Х1, Х2, . .. , Х т n раз дифференцируемой данной TO'IKe]I.;[(X1 Х2,... Х т функции 11, = .f(./.1 Х2 ... , ./.т) являются незаВИСИМf;lМИ переменными, для n-го Дифференциала этоП функцисправеДЛIfiiОfтедстаiшеiие, dXi' ... d:T in •Это представление с помощью форма [ьного символа\южет быть переписаiЮвиде-дii2+ ... +-ддг rn)nи.(14.45)14.47;1) СиммеТРИ'lНО(fТЬ ,,той квадраТИ'lНоij формы BblTi,'KaeT IB равенства2(P~iJ"'U"k(l'\lI) = •• д и (l'\lI).UxkiJ",[нихСовершеIГО11:Й вид имеI<>Т преДi I'iшленияпослеДУЮЩИiiв СЛУЧi;е,,:[;" функ ши:[;1, :[;2,IБУК)! (ее ЧИIЛI,рыхHI'= f(:[;l,диффереI;iШИПIМЫХ переменныхв; "PO~КОГДС;aprY')I'HTbI:[;т) являются C()OTBeT~:[;2,IИР ,'I'iIЫМИ ФУНiiЦИЯМИ НIt1 t2,,'11:1, ,-,tkО; ,раЩiiЯiЪ к зтому С;УЧi;УiТiШ1,ВИМ ВЫРi;iiiение шя BTO~РОГО дисj"ференциала два раза дифференцируеI\ЮЙ в данной точ~ке М(Х1 Х2 ...
Х т фунющи 11,f(X1 Х2 ... ,Х т ), aprYMeHTl,;,'12, ... ,которой ЯВЛЯЮТС>i два раза ДIIфференцируеМЫi 1фунющями некоторых независимых переменных t1, t2,. .. tk.Повторяя рассу} ;дения из цепочки (] 4.4:1), мы на этот рю=по;учимm5х]=L=dXi,ki",~n~5'1d,k1,8'1= d, 1,1бх~··d;;';'Заметим, что в си ;у опреДi' ;ения второго дифференциа ;аIКЦИИ11, -Xkде-любой из ЮiIеров[д (dJ k )] I ;:dИХ1Х]читываяэтосоотношение,предс Iавлению дляliTOPOIO1 2, ...,т)= di,мыприходимкс;еДУЮI(емуДИфil ере Щ Iала:([2 11,i С использо iаШ·Iеi1[юла(14. ,))-дJJ'm)2и++ ... +ди14.481Сравнивая по;ученное нами ПРI'дстав;ение (14.48) с пред~ставлением4.46), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал ()же не обладаетсво \ством инвариантности формы.ем более не оГ' ;адают свойством инвариантности формы всепос ;еДУЮI ше дифференциа;ы.ъп иЗ ае[;тор ,ЙIИФФЕI'ЕНlа н и еУ <аЖ;'важныйIЫЙпосл;' [у[ощиеf(:[;l,!аЙ, КОIД';IКЦИИ тn от пер'" ;;'н-;ют инвари штностью:[;2,и ;;пределя[от;'той са "юй14А!),дЛЯITO:[;1, :[;2,,:[;тчт;;переменные:[;1, :[;2,,:[;тЯВШ[i'ТiЯФ У н ки я м и не:~ависим[ 1X перемен-;лучая Ю' ;,;ВИПIМЫХ переменю [Хговорить,еньг;н[,1,t2,'"М Иt;если О[IИ о;;ределшотся [iа[;е[;ст[;ю)+ХI1 2, ...в котор[ [Х через aiO, ай,.
..,т),aik о{ю:~начею,; некотор[ [е постоянные.Заметим, что ;сли Функ{\и-я 11, = f(:[;l, :[;2 ... ,:[;т) -яв.ii-ястраз дифференцируемойданной тО~l'I{;е(;т, ;Т2 ... ,),а сс П]Nумснmы Х1 Х2 ... ,Х т -яв.ii-яюmс-я линейными фун'К:'Ци-яМ11, незавиС11,Мf,;i nepeMeHHыx t ,t2,'" ,t;, то n-л д11,ффереН'Ц11,ал Фун'К:'Ци11, 11,f(X1, Х2"" ,Х т ) оnредел-яетс" fПОЙ :JICe са,м.ойфор.муло/i 14.47), 'тю и длл сл!/~ta" незав11,симыx nере.меню,;уn=Х1Х2...,Х т ·Чтоб[ [ убедиться в этом, заметим, что ПОСКОЛЬКiiявшются Н е з а в и с и м ы м и переменн;,;ми, торенциалi как ФУЮfЦИЙравенством типа(14.47),apriiMe[ITOB tt2""t;,/2' ..,t;диффео;!редеш[етсяа точнее равенством-,'tд- )П х'1,'UkНо любая частна;[ fIlJOIIЗ[ЮД[Iая [iЬ1ше пер[ю[о fЮР [Д[fа от лине [ной функции Xi равна нулю.юd 2 x,1-, - -О, d 3 x 1,--,···- Оdnx'z-_·- О(при всех i =2, ...
, т) и представ14.48; да[;" fIКia ю заif.ТПОЧ ПЪ, ITO (Ри о;;редел;[ется равенством (14.46). C'oBepfffeHHo аналогично, испоЛi зуя соотно ffeния dfXi - О, ... , ([n Xi - О, мы fЮ и,IДiiКЦИИ докажем, ITO([3 и, ([4 и, ... ,([7111, определЯiОТСЯ равенством (14.47 ) .лениеа н ися совпадающиеС! Ш!3.ра;;е;;с;;юрас;;';лены,При пров,,"Дении вы'исленийй иногда требу, тся(14.47)уч;п;,ша;, что 11 ЭТО'!! ра;;е;;с;;;евыписать ВС',;;ерЕ'Д НИi.iИДля этой це"ш мшкетимеющая ви';,ра;ЛИ'1ные'1,;'НЫ''то; о рав,'нства соау;;ьзована форму;ап ОИ Н О М аН ь ю т о н а.(11.49)fНl,fXИ" ,е,а'",д!1'1Дыii И.!при уеЛi вии.
чтО"·.0, оры"ММ!1 В"ех ·.пих ИНДi'К< ов а1,е, р.'!днр УС,ЮllИТЬ110,аТУР!1ЛЬН~"i n эта фОР!iУперi'011"lIее!!."ДОllН ТlIОр!изнееТН1Ю фОР\i1Л1 БИНОМ!1И 'ДУКЦИН1''1'нi раllеНСТlIа!!а2+С1 ··,ю!iаде..iiрИ'1ШСДО ·,ю спр iiiiДiiша, ИiЮ11,ЮТ011"llре. 'ПОЮЖИ~I. что эта фОРМУ1а справедлива для неко 10рОГО HO~Ief а~'",iЮГО2,а, "[iального п.
И l1fЮiiерИ!i,ПредставивПОДСЧi1 1ae~Iс... a~1Тt[1ннома011а,,·.о!.;' сл.'.: '1ае о ,а С1ра-+ 1 и любого натуральнО!'о п.(а1 + а2 + ... + а т + a rп +1)n в ви.'.еве. ,лива и для номераmПО~IOЩЫi'. 13i,,1"ToHaНьютонаiiИНО~Iасилу равенства а1преДПОЛОj1'1еifИ"а2КОЭil фициентпри+ ... +О С 'раiiеД1 ШОС,.шя номера т и любого на'урального п.(а1+ а2ат)'(a1)!(a,i! ...(а т)!(пiОЛ}"1еНiюе lIыра'1'1е1ше Д'·.. ОЭil фицие1,та ПрИ а;ц,~,=в точности совпа. ,аеттем выражением. которое получится из формулы(14.19).
есэто!i1е,аменнп, HO>iep rn на rn1.Ин.,укция заверщена, и фОРМ1ла (14.49) ,оказана.+ФОРМУ1а (14.4 С )) дает нам право переписать выf ажеНi1е(14.47)для п-го.шфференциала в сле.'ующем ви.,е:3. Формула Тейлора для функции mпеременных с04iТffТОЧНЫМ ЧЛ4'НШ"Т В сIЮРТ"f4' Лffгранжя.
l\IbI будеы обозначат;, ;иффереiщиал k Г" ПОРЯ!fка функции u = f(Xl' Х2"" ,Х т )В ТiJЧЮ' JvI СИМВРii1М d k u111<1' Док.'Жi'· следующую Ti·iJpeMY.1).Мы"шае!i. '1'1'0 c~п!ПОТО!iУ(а1+ а2 + ... + а т + а т +1)'+ +... а т )!'('1rn~1)!(a1иfbI ':525IИФФЕl'ЕНl.t(M)оХ2,'/(.1,,'2,У?i'!!за !н,ой Е -п'крест'н,ocТn/(J,.t (М)врггттmогттш-du Iпри этомТТ/'!;Ч'К'j1'\'10+-;1I2:N -.t (Мо ),тnmlу'ка шн,j!I"O?i'быт?) nредгтп.вJU'н,о в следу?г?це?'i форме:MeJtCem1\:10'(J,1+...+,1\:10n.н,екотор!!,,яINmO"iK!!вис,яща,я, вообще говор,я, от(14.50)ука шн,j!, ,й Е I,крестх!псти,(ХХ2а дифферен,чиа-nере.менн'Ых Xi, вход,ящие в выраии iln+1uIN,равю,; ~Xi- Xi- !fi.
Фор:.iула (14.50) iiазываетсяюй Тейлора ;lЛЯ ф, iiЮiИИ и = .t(M) с i;'IПРО: i раЗ.lI!)Ю'ПИЯ в точке Мо .Д о к а з ае л ьно.iОi<ращения заi!ИСИрассуждеiiИЯШ фУПКi!ИИ и =.t(x, у)ронедемдвух перемеiiШ.]Х Х и У.ПреД!iаРi!те,IЬНО запишемiеЦi!а,IЬНОЙ форме формулуТ'eJ.rлора ;]ЛЯ 17.1 ра ( iиффереii iИР'в iiею)торой ; ;крестш)iти ТО'iЮ!+toФУНКЦi!ичт;; фор:.iула Т!'Й,I!;ра сP(t)однойi;'IПРО:iеременнойраiложеiiИЯ вt.НаiЮМН [м,/0 дш фупк !ИИи,!'(t) одпой перемеiiiiОЙ ш.iееТIедующиЙ вид (остаточ ii.IЙчлеii в,шт в форме Лаграiiжа):P(t) - P(to)+ P'(to)(t1 р(;') ( to )( t...
+,n.to)t\О+ _р(2)2!(t+B(t+---с(1 .51)О<В<Так как аргу:.iентращеiiие ,6,./= -tto) (tяв, шется iiезаВИiИМОЙ пере: iепной, то при10 пр; 'дставляет с' ;бой дифф!'р; 'Пциал dtIiисимоji iepeMeHHoji t. ПоэтомуII!заp(k)и(14.52)Если:ibl обозначш i раз юстьфор:.iУЛУ Т!'й, l' ;ра 14J(14.52),1н у- P(to) через ~и, то, СОГIапю;;жiю{,списать в СН дующейВместо. Е-о.крестности точки 111/ можно. взять так называемую з в е з дОР е с т н О С Тэтой TO'iKH, ""оторая опре, "еляетс!! ка"" та""аяокрестно.сть точки 111(!, кото.рая вместе с каждо.й своей точкой М целиком,'о, "ержит отрезок 111(!М.[нихfеп fа,ТIЬНОЙto~e(tto)(14.5:1)Рассыотриы теперь н Е-окрестности ТО'fЮI МО(:ГрНу то тuчку Аl (хо+д,х, ]JП+Л?J) и сuеДТТНТТl\l ТUЧКТТРОfIЗНОЛЬтт 1~1 ПрсШUТ':'ТЛИ11иеЙ. ОчеВИJlllО. ю ЮРДИ11аТ1.1 х и у Т11чек ука 1iШНОЙ пря: 11Йпредставляют соБОЙfедующие лuнеiJ:н!.Jе Фун'Кчuu 110ВОЙ переме 1ll0Йt:хпри это:- хоююр+ tд,х,- урточек 11трезка+MoJvI(1 .5со 1тветствуют'feH 11fbl 1еременной t из cefbleHTa [0,1].
OTblellIM, 'lТО зна'lеШIt =отвеча1'Т точка Мо , а 111i1че11ИЮ t = 1 точка JvI. Таккак 10 УСЛОН1IФуш<ция u - .f(x,дну): 1е1 еыенных хнраСС:lатрива1" 11Й 11крестности точки JvIll n +ра 1 Jlиффере11цируе:.lа, то из Фор:.1УЛ (14.54) вытекает, что на пря:.1ОЙ МоМэта фУШ<Ц11Я 1fНШfеТ1Я сложноJf Фуш<цией 1еременной t (n + 1)раз JшФФереШ1Ируемой по крайней' 1'р1'Ш ВСех 111i1че11ИЙ tиз сегме11та [0,1]. ОБОЗ11ачим эту1ОЖ 11 ую ФУ11КЦИЮ через F(t)и заПИШ1"J1ЛЯ ш· р форм' .fY Тейлора С центро: ра1Ложе 1ИЯ вТО'lке to - ОспециальноJf форые (1 .53) 1рИд,и =ФИ! УРИРУЮЩ1IеF(l) - F(O)=.f(M) - .f(Mo).форыуле (14.53) Д1IФФереНЦ1Iа.fЫ раЗfИЧНЬГ<ПОРЯJIКОВ представляют собой Jlиффере1щиалы СЛОЖШ.1Й ф' 11К-Ц1!UI(х, у) [де хЯ:ШlОТС1f .шшеjrныыими (14.54).
СоглаСШ1" 1'ча11ИЮ ПР1·JlьцущеР.1 пункта при этихусловиях диффере1щиа.fЫ любого порядка функции u.f(x,могут1iшиса 11.1 в форме (14.47).dkulto=O= ( - dxдх+ -ду dX)ulМо(хо.Уо)= dkuliJ)( -dx+-dyd n + 1 ., Iду. to~e(t-to)= дll;'п~ 1хulпричем в Фор:.lулах(14.5 )f{t - д,t14,"15) dx и dy 11i1ХО.lЯТСЯ из С ют lOше 1ИЙ1О1. la:1Ibl образоы, H f a <(14.5"1 )dxdtд,хL:lxиdtд,1/L:ly.(14.56)l.ставляя dkUlto и d l + UltoH(t-tо) и 1 14.55) в Ф ;рм, луи' читывая СоОТ11Oше11ИЯ (11.56), :lыI получим ФОРМУfУ Тейлора(14.50). Теорема Дока:ана.527!еНлораП!fп;едеы разнернутое 1;ыра} <еШfеДШl фУНКЦff.tи(1 ,50).['1, .['2,n+:=1+4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
