Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 96
Текст из файла (страница 96)
,но ш' равных ну'!. ..дрс'( 4.78)знакопереыенной ква-СОВQ}!УiШОСТffарг'еifТОf',t;~) состоящие из чисе, i, одновреыен-и таКИf!, чтоФ(t~ t;, ... ,t:n )> О,Ф(t~ t~ ... ,t:~)<(14.Положивt"1,J(!;')+ (t~)! + ... + (t:~)р4.80)У'!ера)'f'ая,Oiip< ДfiЛf!Н fЯ'iTO)[,г выт< кас!т,ю адраТИЧiюi!j <IЮРычтоh'Ф (h ' ,!,...
, h''rn =ф (/1" ,(14.71). .. ,!, "!~~J1(t~)2+(!;)+ ... +(tiп)= (t{ ) 2.ф(j'j/",'+ (t~) 1+ ... + (t~),',. ф (t" t~ ... t~~J,мы получиы (в силу (14.неравенства (14.78) причем из соотношений (14.80 сразу же вытекают равенства (14.77).Вспомогательноефо] !мы дока)ано.свойствознакопеременнойквадратичнойВО)В] !атиыся ТfiПf!РЬ к дока )аТfiЛЬСТВУ второй части теорс!мы.Зафиксируем две совокупности переыенных (/1' 11' ... ,(h ii , h,~, ... , h;~),!ДОfШf'f'f'ОРЯЮЩfff' СООТНОШfiНffЯ14.и (14.78), и докажеы, что для любого р > U найдутся две точким' (;1;; JY:, ... ,:1;~rJм" (:1;;',) пространства вт та!!'iTO р(м', мо ),Х,-р=р(м", мо )"Х",-о1,р=р,Д'iЯ всех=1,В самоы деле, положив для любого рноыераi (i = 1 2, ...,т)тn.>идля(14.81)каждогоъrй>КСl lK lY "), lрИ (("м В силу Р шс;н,тв((iшеllИilМныl53')Р'ШС,Нi l"Вi{;2 _р(М',т,о.11"рl')=о.'11')(Х т - З;т'~-{Х 2 - З;2{~pj(l1~)2 + (lf~)2 + .
. . (l1;;У=Тепеl;Ь уже НС;Тl )"дно убедиться в том, что для случак когдавторой дифференциал (14.69) (14.70) представляет собой знакоlС"РС;МС;ННУЮ квадраlЯ'l IfЮ <1>01, ф" lK iИil U = f(l'v1) le Иilеетэкстремума в точкеЗаl исьшаil для <1>УНifЦИUf(l'v1)=ра ;'>Оже lие в т;юститочки МО по форыуле Тейлора с остаточным членом в форыеПСДlЮбеlШ это ;аЗЛО;+ТШ"lС" в (ка;анных ВЫШС" TO'lKax l'v1'мы ПО'lУЧ~Ы вместо (14.75) С'lеДУЮl ше два раз >Ожения:ЛМ') - лмо ).f(=~L L Щk(Х;- ~,)(X~- ~k)i=k=lmmО)( " - О)'''i 1xi - J;kЩk Х,Сllравсдливьн' для всех достаточно М<L'lЫХ РПодстаВЛЯil в эти ра;ложеllИil зна'lС;НИЯиз равенств (14.81) и учитывая, что 0(р2) =--+ О,l'vJi'..m") - .f(lрИ Ри""Ы пl ;идадимiаЗЛО>f С'ШfЯ" ."0(1'(14.82)+ о (2),f(14.8<)"'""'"> О.i~i) и (з;:'·а(р), где а(р)и~i)--+ Uслсдую-(14)';))щий вид:тnf(M') - ЛМо= /~L'=1 kт(М")- лмо )=~Li=1тLaik I1 ;'а(р).k=llоследние два соотношения ыожно также переписать в виде:ЛМ')-ЛМО =, ...(14.82* )[нихСО()ТНi;шс;НffЯУчиты!';:Ф(h,~,h,;,,h;n)ВСПОМИН,iЯо78)О и Ф(h,1, h~,= р(;;тн;;шс;нивеЛИЧИI,,ыып()лучиыиз;ПР,iведливы неравенстваI'Орые";i,аЗЫI ;;н;тТеореыа14.1(;(0ОИ.f(отс;т;I'ВИС'он,стр; м' м,!полностью доказана.3 а ы е ч а н и е 1.
Ес:ш второй диффереНllиал два разадифференцируеыой в данной точке возможного экстремума М;;ф' IКllffИ и= .f(l'v1)iрсдставляет соfю1;]это 1;] TO'fКl' iшазизнакоопреде'fенную квадратичную форму, то нео,{Ьзя сказать ничегоОi,еде'fенного о наличии или отс;тствии в этой точке ЛОК<L {Ьного экстреыуыа.Так,Н,Hai;fe];т 4+ у4у каждой из двух ф'+ивто] 'ой ди;j;фе] ,еНllиал в точкс' во;ыожного экс-а l'vlo(O О) I'ождс;ствс;нно,авеfш;,iрсдстarшяетсобой квазизнакоопределенную квадратичную форму), но TO'fЬко одна вторая и; ука;анных двух ФУНКllИЙ иыеет в этой точкс'локальныЙжстреыуы.Для решения вопроса о локальном экстремуме для случая,iiOIдавторо1;],е! llиалiрсдстarшяетсоfю1;]iшазизнакоопреде'fенную квадратичную форыу, следует прив fечь дифферс:нциалы {ЮШ'i' высоких порядков, но это выходит;а ;амки данного курса.3а м е ч а н и е:«оd 2 '/J,IMo?2.(с;юmве17umвеннп)!вл)шmс;! необхо;}:/1, Ч'Ы,м условие,м ло'Х:алъногпчи-lшч:ч,ма (ча'Х:сич:ч,ма) в mоч'Х:еJBa:JIC;}:b! Jиффгренчиру;,мпi1 вЭ17U}'й 17и}ч'Х:е фун'Х:чии и = .f ( ).в самоы деле, пусть, ради определенности, и = .f(M) имеетв точкс; l'v10 'Юi,аЛЫIЫОИ!IИ оЮ усло!';:;'полнено.
10гда найдутся 111 112 ... ,Рассыотриы функ fИю;авсдо:юопредео,!е!лю. Функ fИЯt О,п]F(t)F(t) =.fприо!1всех([2'/1,1?О[евы-такие, чтоо+ tl11,!2достато,!, ...юмао,!опооду-обязана иметь локальный минимум в точкеF"(O) = d!ulMo< О.3. Случай функции двух переменных.
На практике часто встречается задача об ;кстреыуые функции двух перемен-541ных(:r:,iiiщиесяУ)В 3Tiiэто:'"(ун (теы прив! д< м РС' iУЛfШ'1Т iiслуч:!Обозн !чим ч !стные пр, ,изводныеi'Oн(еl'v10ох. У) си'ЛИВii следующее'Ид'И, а 2,д'ид2 и""''''тстве[О! iЮ~в некот, ,ройЮ.(р:!у т в е р ж Д е н и еПусть фУ'Н:Х:ЦV.я ивут nepeJvteHH:blT 'И.f(x,оу) odv.H ра,зофеfiе'НЦЩiуеJvta в O'x:fiecmHocmv то-ч:х:и l'v10 (х У) 'И. два fю,зафереff'Цируеча в сачой то-ч:х:е Мо 'И. пусть Мо )!вЛ)iетс.;! то"l-Х:ОЙво·:JvЮ (н'Ного i-х:сmfiеМУJvta. Тогда, еслv. в точ-х:е l'v10 в'Ыftол'Не'НоусловV.еа;2 - а22 > О, то фу'Н-х:'Ция 'И.
f(Y, у) vJvteem в этойnUi"l-х:е ло-х:аЛЫt'Ы'Й э-х:струму ч (ча-х:сv.ч:цм npv. al1 < U и МU1шму!!при al1 > . Если :ж:е в точ-х:е Мо al1 а22 - af 2 <то фу'Н-х:'Ци)!и = f(x,не и! л'т в этой точ-х:е ло-х:алыtого э-х:стремуча 1 .Д Оаае лсв О.iaiiСДЛfШОСТiчастисформулированного утверждения непосредственно вытекает изтеоремы 14.1(; и критерия Сильвестра знакоопределенности KBa~д<;ат iЧНОЙаА1а21а2а22докаже' вторую 'iacTi утвс!рждс!н iЯ. И i'aK, пус;ъ В ТОЧКСi МОс! iaiiСДЛfШО HCipaBCiHcTBO аnУ2 < О.что в это:'с. [учае второй диффереНllиал d 2 '1J, в точкепредстав'шет собойз н ао п емн н уформу.
')аССМОТl 'им с iа'iалаа 1О. ИСiЮЛf i!Я в! СДСiННi Ie JiЫШС' оую i[iа'iе[iИiii-оо-ху- урh'2 = -р-'юлу iИМ СЛfдун;щее выраже iие для ВТОIЮiОЛ! гкоiРОВЧJИТЬ, чтоiрИh,1, h.,=О и(z2uIMo'лучай 0.110.22 2)= 10.'2iИhим! с'тiазные знаки,О сгреБУ"i ДОПОЛiiИ'iеЛi,iiOi'О !fССЛi'ДOiiаН!fЯ.При этом р может быть ка); уг '.. !Но Мii.lЮЙ Вi'ЛИ'iИНОЙ. Ус. !овнеВЫШi. (нено.111+h~=[них,fВT;;, тся16,;е:е[с'рс;м; нн' ,й ф, 'рм;;й, Иф'fКЦИ,f НС; и:еетто fЮ;ю ['е-l'v1{))1''к ;льн;;г;; э}{стрс'мум:;al1 a 22о выт; }{ас;т,BbIfffeн:; писанн; >г;;выр ;жения дляполучится2(14.84)d '/J,IMo =П\Сf ".
h,i- оВС;Шfчина h'2 СТО'}след.' с'т, что такой выбор+ a22112)(2a12111hма.}ауслов fЯ h,~ + h 2 = 1и h'2 во:можся), что выражениесохраняет знак ве.'ШЧИНЫ2a12111. 10гда из фор[а}{ при h.; > ОМУШf (14.81) вытс'}{ас;т, 'ПО ([2'U,12\,[o и\}еет ра :}fЫС'.f<h'2О, т.<j>ую{ция u,у) НС; и\}еет локашяого э}{стрс;мума в точке М;;. Утверждение по.'шостью доказано.4. Примеры исследошшия функции на экстремум.1)Найти точки локального экстремума функцииu = АХ'где А-X~mпереыенных+ 2Х2 + ...(14.85)отличное от нуля ве1 1ественное число.отыс}{анияf"ОЗМО:+;ЮfО э}{стрс;мумаюлу 1ае'сле-дующие уравнения:дuд:1:1=2АХl~=д:1:2=2Х22=д11,---д:l: rn2Х т= О.( 4':-'6)И:;aB1fe1 ий (14.86) :а}{Ш"'lае\l, что еди [стве1 ю1\] ['О'1возмо:+\ ЮfО э}{стрс'мума ,fВТ;U'ТСЯ точка Мо(О,1, ... ,Что' ыI исследовать ф' нкllию ( 4.85) в этой точю; МО с помощью достаточных условий экстреыуыа вычислиы второй диффеl>е1 1шал(14.87)Очевидно, что при А>a.1a (14.82)U все значения второго диффереНllИ&1;2,"" &1;rn одноврс;мс;нно НС' ;аВ1нустрого положительными, т.
е. при А > U второй(14.82);едстаВЛ,lС" соfю1\] ПО'ЮЖfпешяо опре-d\!являютсяделенную квадратичную форыу. llоэтоыу при А>функцияиыеет в точке l'vlo(O -1 ... ,-1) .'юкальныЙ минимум.При АU второй дифференциал (14.87) положителен при(14.:-'··<... ,(lз;"n- == О, dJ == 1 ОТРИll,ате.Тlе! [ри dJj•. . . , dX m =Это означает, что при А < U второй диффере1 llиал (14.82) предстаВ'lсо{юй знакопере\lе1ю;адратичную форму.
llоэтоыу при А <функция (14.85\ не имеет вточке Н 0 (О -1 ... ,-1) .'юкальногожстреыуыа.(l:1;,О,ГГА. IИЕН2)вНа1 Нl.!lЛ<>СЮ>СТll Д:l},(П I>РЫХН:lЙТll Н:l11ТН, ,ситеЛЬНII кот' ,ройMaTi.'Иl1е] 'llии,n.,2,>е1' '1ЛЧi ны.]Т' ,й пл, ,IЮ ,Iти точкуMI>el1T543lOИСКАЖСIIК\lУ 'Ар 1:1Л<ЯЫХTII[ек явля-ется миним lЛЬНЫЫ.Та" ЮlКMI>"el1TllНСсРЦllточек относительно точкиСИСТi МЫM:lTCiP1:1ЛЬНЫХiVinI(x,L 'гщ[(х -=(ik)2+(14.88)k=то iадача сводится к отысканию точки 1'v10 i!o УО), в которойфункция (14.88) достигает своего ыиниыального значения.для(14.88)отыскаl1Иil-дI =2дхточекl'ОЗМОf+:1010экст]аф'1ЮiИИполучаеы следующие уравнения:nL(14.8 i ))'mkk=llавнений (14.89) iаключаеы, что единственной точкой возможного экстремума функции (14.88) является точкаМОУО), КООРДИl1аТlf которо;:] раЕНЫ++ ...
+'lnlal _ _т:а2'lnnan:];0 = ----'=----=----"_ _ _ _-'-.с:..ml+(14.90)дI2L 'т!,> О. то(L!!22соглас!1Оа22д2 1= д if 2У1 f'('РЖДСiНllk=доказанноыу в п.функция (14.88) иыеет локальный минимумв ТО'll,е 1'v10 (:];0, УО) с коорди 1юа:!и (1 .90). Легко убедиться, 'lTOзначение I(x, у) в этой точке ЯВ.'!Яется минима.'!ЬНЫЫ.
Заметиы вiаключение, что фОРМУ'!Ы ( 4.90) Оl,еде'!Яют координаты lleHтра тяжести рассматриваемой систеыы материальных точек.§ 7.Гра,.'И,иентныЙ метод поиска :i!KCTpeMYMa сильновыпуклои Функциив этоы[а]ИiлагаСiТСЯ теория пти]юкоlримсяяеыогона практике градиентного ыетода поиска экстреыуыа сильно выlУlOIOЙ ф' 1ЮiИИ.этого метода10 01 НСl<аНllЯ 1'ОЧl< мзуется тот факт, чтоление, совпадающее счрезвычайно проста.приближенно1Нllмума ф' 1КЦИИ 'т,с'мсснных испо.'!градиент этой функции имеет направнаправлением наибо'!ьшего возрастанияfНl,fXвН;l fравл( н в ;'т<>рону наиболыо убыв аj[1[2,ii;'нование iiЖИ-ни;lД lТЬ,чтр еслоотп\а iЛЯЯСЬо= (Х['О Прfiн('леfiOГii,:r: m , l'lbI ПОСТРОИliffЯточек'гоприблюрекуррентной Фо\м{ ледостато шо малом ПОЛОЖfiтеЛf,НШ,iПОСfеДОfiатеЛЬНОCf'i,сойдеТСl к точке миним('ма функции{Xk}СТРОfОЙ реализации этойj(;r .fРОСТОЙ идеи и по;'вящен на;'тоя-щий параГРШjВыпуклые множества и выпуклые функции.
П{!сть12,Х2.' .. ,и Х2 = (Хl, Xi, . ..• Х т ) - две точки тмерно! о евклидова (ространства Е т KOTOPbIi' мы можем рас1.смаТ\fШЮ(,какfie{торыс соо! fiеТСТВУЮЩfiкоординатами.Назовем о т рез к о м, соеДИНilii!ЩИМ точки Х1 и Х2, мншкеСПiO TO!leK пространспа Е т вида Х1t(X2 - Х1 , где t - любоечи;'ло из ;'efMeHTa О :::;; t :::;; 1.+Будем обозначать отрезок, соеДИНilii iЩИЙ точки Х1 И Х2, символом ХIХ2.Оnреде.ле'/-l,uе 1. NIJ-tожество Q то'Чеn nространства Е тJ-tП3'blвается'bl пуп л 'bl М., i{'ЛИ оно облп.дает следующи.;\лC6iJ'L'icmfj, '.Н.: nan;J;i'bl бы н'и !!'blЛ!! )ве то'Чn'u "1• nринаl ле.жащи, MJ-tо.Ж' {'m,;iY Q.
отрез оп :С1Х2, их С, '!диJ-tяющи'й, т,п,];;i!;"nринаl лежит это НУ .HJ-tОЖfст;iУ.ПРИllерш; Вl,Ш{ liЛОГО МffOifiеСПiапро с [ранС! lielюжет;'лужить т-мерный шар (безразлично, открытый или замкнуполупространспо Х т);?.е. МНШiiеспо всех точекХ ,Х2, ... ,Х т ) пространства Ет, 111-Я координата котор,lXудовлетворяет условию ХН ;? О).Примером множестваСЛУЖli Т 'дополнеШiеQ,не являющегося111-мерногошараBbIff{!K [ым,т-l/lерШ,iможетшаркоторого удалена /отя бы одна точка.ПусТi Q - некоторое МlfOifiеспо TOileli пространCf lia;Т - любая фиксированная точка этого пространства.Назовем р а ст он и е м от точки Х до множ, 'стваf'ОЧ f{!юf'oileli!iiНЮЮ граш, расстоянэтогоот ТОЧliХ доаQBceliO {IЮЖНЫХl'lНожества.Будем обозначать ра, ;'тояние от точки Х до множества;'имволоми{Х,Q545i'aK,iiЮПi,p(:r: Q)люi ,iJГO ;"ш()жеСТЕ:Ip(:r:Q пр' ,стр IHCi iiaэт, ,iO [ростраНСТВ,I СУЩi ,'твует P,I, ,'т' 'iШИi р(.т, Q))rти, если ТО'lЮlОднакоПРИШ:1;lлежит МllШЮ,.:rт13Умножествачто р(х, у) = р(х,QQ,то р(х,, ч,I, тю)Q) =не всегда сущеСТВiiет точка1f такая,Q).Tai! напр i;Iep, если ;шожество Q представляет о т к р ыт ы й111-мерный шар, а х - точка Е т , лежащая вне ЭТОiОшара, то .1 TaiiOro ;,шожества Q не Сiiществует i'ОЧi!iакой,=что р(х, у)спраiiеДiiШОх,(ибоHepaiie iCi [iOоткрыто! о шараЕсли в, е же у множе,'тваР(;У,х,Q),тоtTa(]Х,[ествует точка у такая, чтоточканаiываетсяр о е к Ц и е йт о ч к ин а м н о жт в о Q.Проекцию точки х на ;шожество Q будем обо iIIa'iaTb с i;ШОлом Р(} х).Подчер (нем, что еслi'ОЧi!а х принадле iiИТ ;шожеству Q, тоPQ(x) = х.Итак, iроекция PQ х) точки х на множествоопределяеТСilсоо! ношение;iПолезно о! ;'IeTiiT' 'iTO MO!iieT Сi'ществоватr, неСiiOЛi,iiO проеi!iiИЙ точки х на множе,'тво Q.например, е,'ли Q - т-мернаясфера с центром в точке х, то любаil точка Q являеТCil проекцией точки х на множество Q.СправеДЛИiiа, однаiiO, слеД.l'ющая лемма.Лfiмма 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
