Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 92
Текст из файла (страница 92)
iНОЙ второго поря. (.ка. После'1010 1<a1<В1 едено ПОi lЯ'jие второйастной ПРОИЗЕОДНОЙ.можно последовательно ввести понятие третьей: частной производной.затем четвертой и т. д.Если предпо.1ОЖ:ИТЬ,что намиуже f'ведеi1О понятиеi )-й iастной П]1О1iЗВОДi1ОЙ фя! l<ЦИИ1L =,Х', ... ,Х т ) ПО aprYj,jeHTaj.! X;l,Xi." ...
,Xi n _! (О'Т.i.ельные или даij,е все Hoг,jepa которых j,югут совпадать) и что117В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, ч!!стьI[нихпроизво, I.НуюВ, iШУЮ"f:ЙПii,;водипоНir:~ывС1ЮТn~riiТО'irprYMeHTC1M :Ti"ffepe;;o~fflJOдя от ffервой частнойние,мыпо fifтие п~йопределяющеепююйчастну,iiпоследующим. Lоотноше-производнуюпоаргументамимеет видЕсли['ОневсеиндеiiСЫ22[аст fая ffРОИЗ,ЮД,fая дсовпадают2/1дПимеждусобой,назьшае ;'ся С.меШШl-t1-tоU,r Z1частной производной n~гo порядка. Так как частная ПРОИЗВОд~HaiifКЦИИ по apiY',feHf T Xi ОЩiедеЛiiется как оБыiновеннаiiiпроизводная функции одноН переменной Xi при фиксирован~ны;; Зifа'fеiчастныхд...ffepeMeiостаЛЫfЫХпрои:~водных,r znВЫСifiИХ[ых, то меТОДffiiа вьгпорядковисленияпредпо;агаетумениевычислят;, тою.ко обыкновенные производные первого порядка. В качестве примера вычис,шм частные прои:~водные второгопорядка фуню шиu=уд"+ у2)2-Хупр2у2)2(,\2дую,,;ди2,гу(х 21),,2рассмотре;Имеем+ у2х2д 2 ·ид 2 ,.....:..уд'Ив:1"агсtgС,fешанныеf"fepeчастныепроизводныеа 2 ,.ау дг и а,г ()у равны друг другу.
Вообще говоря, значения CMe~шанныхпроизводныхзависятотДЯТСif последователь [ые"fep,[то С,fешанные[аст [ыеХХ!,порядка,вкоторомЩИРОfiания. Убеди2,2-уffpOfЗfЮД [ые ду д;Н' 71,д; дупроизво~, нати~l( JYH iЦИ2у2приприfОЧ <е (О, О) с; ществуют, ю [е рано.iffbIдру! др; го.. Дейст штель~ЪП и515IИФФЕl'ЕНl0ЗТОМУроводяТакимстато·аllалоги'o{fpa:~oM,jbleИЗВОДЮ.IХ,ыевточкеО)д...-1получид.г ду х=о. у=о71.дуд.дуlезаlШСИМОСТИ Зllа'lеllИЙУСЛОlШ>lотвы lислеюfЯ!порядка.вкотором2..
'.! ..,,' •В ыясним 2.10-С·.lешанньг;производятся-1.пропоследоватею.ные диффереlЩИРОllания. Предварителыю [;веде! ПОll>lтие n раздифференцируеМОi\ фуню щи нескою,ких переменнf.lХ. ФУН:К;'ЦUЯ(х ,Х2""U,x m )называеrnсяnразод U Ф Ф е-ооН Ч Uумii.в iПО'Ч:К;i МО (Х1, х2 •... ,х т ), (СЛU все ·тcrnHыe nроuзводШ.fе n1) -го nорндка эrnоii. ФУНК!fUU являются i)UФФСРi '!!'ЦиPYCMЪfMи ФУНКf\UЯМU в mо'Чкс Мо .Отметиследующее утверждеЮlе. Для rnого ·irnобf . ! фУНК'ЦUЯU = f(X1, Х2, ... ,Х т f·Ъfла nдv.фферен'Цv.руе.м.оЙ в fп·о'ЧкеM1)(:~', !i: 2 , .
.. !i: rnдocrnarno~тo, ·mюбf . ! все ее ~lаСrn1-tf.·fе nроuз,вOдHЪf! n-! п порядка Быl.u нспIнl)!.!6ныluu в то'Чкс ]1,;10. СправедЛИВОСТ1,. этого утверждения вытекает из определения дифференцируемости функции и теоремы 14. О о достаточных условияхДllfliфереНЦ!lруеМОСlИ.Теорема14.13.Пустъ фУНК'ЦUЯ 'И. = f х.у) два:жаЪf i)uФФерен'Цv.руе.ма в rnO~lKe ]1,;[1) (хо У1)). Тогда в эrnо/i rnO~lKe ~lасrnШ·fеПРОUI60дНЪfi f~~)Uf~;) paвHЪf..Д о к а з а тL с Т В О.ак как функция 'И. = 1(:[;, удваЖД1. f дифференцируема в точке ]1,;10 хо Уо), то частные проИЗlЮДllые f~f~ ofтеделеlыI в неfЮТОIЮЙ ОffреСllЮСТИ l'ОЧff]1,;[0 и представляют соГюй дифференцируеМ1 1е функции в этойточке.
Рассмотрим выражениеф= 1(:[;0 + 11, уо + 11 -f хо+ h. уо- 1( х о. уо+ h) + 1( х о. Уо),(14.381гдеh -1юГюе стоЛf. маюе чис,iO. что точка М(:[;о + h. уо + h) наУffазаl юй окрестности ТО'lКИ. Выражение мож-ХОДИТСf+но рассматриваТ1. как приращение 6.tp =хоh) хо) дифщируеюй ,а cel.leHle [Х1). хо +11]lкции tp(x) = лх. У1) +- Лх, Уо) одной переменноi\ х.
Поэтому по форму 1е Лагранжа. оГюзначая чере:~ е некоторое число из интервала17*<е<1[нихФ = !:::.ер = ер! (:го[J~ :го +-+ fJh)h= [J~(:ToУо +h)f~+ fJh, Уо + h) -,УО)]f~(:To+fJh, Уи)+ fJh, Yo)]h =f~,УО)] h.(ТаЕ как Чi:tСТНi:Ш IlР()К3lS()~llCLЯточке Мо фУНКЦIг i ![/. .,хХО+Уо+ h)f;.якшеТUl ДЕффереIlЦИР\Т~,ЮЙ вто(ХО Уи)] --= fJ~) ХО УО)Ю1 + fJ7:) ХО yo)/1 + О:1 Ю1 + (31 h ,Уогде0:1 (31 и 0:2 - i есконечно Ma . tLIe при htiШfЯ [айденные ;шраже;[ю; для и,: ХОи If~ ХОЮ1, Уо - f~(xo, УО)] в формулу--+функции.
Подста+ fJh, Уи ++(ХО Уи)]4.39), получим(14.40)--+ О фУЮiЦИЯ.(14.;18), можнорассматривать как приращение !:::.фФ(Уи + h) -ф(!/о) диффереющруемой на сегмент!' [Уо Уо + h] фунющиф(У) = ЛХО ++h, у) - f(xo у). Применяя формулу Лагранжа и учитывая диф(3; --беСiюнечно мала); ffрИдругой стороны, выраi;iение Ф, определяемоеЩЩi\!8\ЮСТЬ частной производной f~то'[ке Ми, ,,[ы [юл\!чим совер !!енно аналогично предыдущему следующее выражение дЛЯ Ф:Ф(хо, Уо)=+ (3]/1",де- бес юне"IНО мала); пр" hправые части соотно!!!ениП (14.40) и(14.41)О ':"'''кциПрираi' "ива' ,и сокра; ;дя обе ча(14.41)сти полученного равенства на h 2 найдем, что f~~) хо уо)У! (хи, Уи+ (3.Так каки(3 -бесконечно малые прифунющи, то из последнего равенства С;! дует, чтоУи3.(»fxy+ о: =h --+Охо УО) =Теорема доказана.а м е ч а н и е.еорема4.1;1утверждает, что в даннойточке 1\IIo(xo уо) имеет место равенство fJ~) = f~;), если в этой[ОЧiiеруемыf~ в точке.t:и Г.диффере; ЩИР\!8\ЮСТИ1\110 вытекает существование в :лпоu mо'Ч'К:с вссх частных прои:~водных второго порядка.
()днако равенство fJ~) = f~;),,[еет,,[ес ['Опри\!СЛО;iИИс\!ществова; [и);лишьi[РОИЗ;ЮД; [ыхfJ~) и f~?) но при дополнитеtЬНОМ требовании непрерывностиfbI,!и"ПИК; ПРОИ:~ВОДНЬГ;Л,iр;;ссмаI [)Ив;;ем,;:й ТО' ,IO'И;: ;'ННО, ;пр;шсд-iУi;iщее У' В' 1)ЖДСНIU'UeJUJmOpOuи517IИФФЕl'ЕНl=(п,;рест; юсти rnЛ~l!иf(:T, у) имсстn ~шrnij!!Ы; nр;т36ОJ;pOMe тnого, пр; т300диыeТогда6это/! то тк;етnо тк;е МииenpepЪl !1-lЪl.t.i7:) -Для доказательства воспользуемся выражением Ф, определенным соотношение;;: (14.38). Из (14.39) 1I"iТекает, ч, о Ф,иет собой ;';:ножен-ную на 11 ра:шо;ть :ша'lений функции I~(.;,кахк этой разностиприращений по Ш'рем' нной у на С'.·гменте [УО.Лагран:жа конеч:по ,у :им(,,;;; ++Ф=f;,;в сшту ,е ,рерыllост!!где11 точке ]\;1;:;з0<:юсле()11, уоh)< 1.,его ра :енст:;а НО-ЛУ'шемгдеa(h) --+спри11 --+ О.':р,гой стороны, эта )ке вели'ншапредставляет собой умноженную на 11 разность зна'lений функции f~(:J.:"Y) в TO'lKax(:1;0, уоh,yo ()2h) и+()211).
IIрименяя к это!·; разности формулу ."1агранжа кош"шых приращ' ни!·; по Ш'рем' нно!·;точ,;е ]\;1;где:(!:)--+на се: м' нт'.· [:::0,+h]и У'lитывая Ш'ПР"рывностьвыражен iя f\ляи расс,лс:дя так )ке, как. НОЛ: чи:;:--+о приО.Приравнивая после':.ниеf\Baи в конне доказаТ"льства теоремын,юго на:;:мы убедимся в справедливостира::е: ,с, ::аjj(2)(21 (,.. ) _:1·0, уо -туУ,Еуо).Докажем теперь теорему о независимости зна'lения л:;:бой смешанной'шстной производной 'П-го порядка от порядка" в котором производятся послеД01lЮ ел, ,ные диффере: щиро::а:Теорема14.14.и,1ЬР:jеJvШ в тО"М:'е ]\;10Пустъ фу'Нжи,uл• ~;2 • . .
. •~;щ.смешанной ';астной nроuзводН;l'i: 'п-'"uj(:1;1,:1;2...Тогд" в этой то",·';'"nраз дuфферен-любойnорлдnа не завUС1Ьт от nорлдnа, в.';·отого.М''"001,; ;!овател:,нъw д1ЬФФ::реН!i.,;роваn1ЬЛ.Д О К а з а т еь с т в о. О'lевидно, достато':но доказать шзависи'·;юст,· значениZl л:<:бой n-й сме,,:а:шой НРОИЗ1l0Д:ЮЙ О, норид,;а нро::едениZlдвух послед,:; ателъных диффер,.'ннировани!;.Иными с,ювами, доzтато'шодо,;азать ра::е ,ст:юдПидПи(14.42)ЖДJ,I 'iиффер' i1i'ИР,',;е ,1i'';ю фун <цию пер' <ieH 1J,IX;Г~/,'+l14,1 ")тсюда и вытека','т "прав''Д iИвость равенстваОТ1iiетим.функции и,то=случае(11.12).Тлрема докашна.раз Д iфференцируемойnf(X1, Х<" ... ,Х т )то' ,ке,юбую ее частную производнуюn~гo по! ядка можно записать в,;идедПигде0:1,0:<"...О:т+-,еЧИС.,а.+ ...
+удов ,еТВОРЯЮЩIГО ~ O:i ~ n0:2О:rn - n.2. Дифференциалы высшихИСПОЛЬЗОjiалидл)jоБОЗiiа'iеiiИ)jпорядков.ус 1ОвиямВы iie мыapr1iMeiiTOBДifфференциаЛОii=функции иЛХ1, Х<" ... ,Х т И дш ОГ1Означения дифферен~циала самой этой фую>цисимволы (IX1, (IX2, ... ,(lx rn и (111, co~ответственно.еперь нам придется испо,ь:~оваТj, для ОГ1Означения диф~щиалов apr1iMeiiTOB Уj>азаi 1ОйiКЦИИДifфференциа~,а самой этой функщш и другие симво . 'Ы.
В частности, мыбудем обозначать дифференциа,ы аргументов фунюiИИ 11, =f(Xi Х2,··· ,X m ) и дифференциал самой этой фую>ци симво~,ами 6Х1, 6х<" ... ,6Х т и 6и соответственно. В этих о] ,означениях,Шiiариаiiтное i1О фОР"iе выражение для "ервогощиала-этоП функ ши5:(14.20)ии=д71,(см. п.5:-д' ИХ1., 15 § 4)а71,{'удет иметь видд71,5:5:+ -д'ИХ<, + ... + -д" ИХ m ·., 2·'тпВозвращаЯСj, к прежним обозначениям, рассмотрим выраже~н ,е (14.20) для "ервого дифференциала диффереiЩИР1iеюй вданноП точке М(Х1 Х2 ... ,Х т ) функции 11, = f(X1,... , Г т ):d</71,и = д1il+дuд"2<У71,(14.2.0)+ ...
+ д"тпПреДПОЛOiЮIМ, что величина, стою iДЯ в правой частипредставляет собоП фУНКЦИi<i аргпментов Х ,Х2""(14.20),,X m , диффе~ренцируемую в данной точке М(Х1, Х<" ... ,х т ). Дш этого дo~стато'10потреБОiiЮЪ,iтобыiКЦИ)j и- f(;1;1 , Х2,... ;1;rn)бы~,а два раза диффереЮiИруема в данной точке М(Г1,, ... ,Г т ),а apr1iMeiiTbI Х ,Х2, ... ,Х rn являлись либо iезаi;исимы"J"epe~менными.шбо два раза дифферею шруемыми функциями HeKO~торых независимых переменных.fbI ':и51')IИФФЕl'ЕНlренц I,iЛд ((lu) = б'=1от неЛИLLИНЫ (14.2О).Оnрсдс.ленuе1.3на ,ение д( duдv,фферен'Цv.ала от первою= d:T1, дхс = d:Tc(lx rn , называете.iт О рМ д v, Ф Ф е р е H~и а л О м фун'К:'Ции '/J, = f Х1,, . ..
х т (в дан (.ой rnO"ln'х ,Х2, ... ,Х rn )) v, обозна !Летел еимволо.М d C и.И (ак. [10 определеншо 1)!)иФФсрсн,!\иа./!Лв··!ято' при дХ114.2!... , &Г rn -5Хl =5Х2dX1,dX28'1= d, 1,8'2=d'2,бх',.,,"= 'd~';'Дифференциа,/n Vлю! 'ого порядкавв! демп о и н Д у K~ц! !редположим. что уже !шеден дифсl ере щиал di!-l v, [1ОРi!Д-fка n и что функция v, =(Х1 Х2 ...
х т n раз диффе~ренцируема в данноН точке JI.;[(x Х2 ... , Х m), а ее aprYMeHTl.!Х1 Х2 ... ,Х т ЯВ . lЯются шбо независимыми переменными. ш~боnраз ДIIфференцируемы\!мых переменныхIКЦИi!(екоторых независиt1, t2 ... ,tk'2 ..CHa"leHue д(,/n- и дифферен \иала от (nl)-го дv,фферен'Цv.ала (In-1 V , взлтое npv, дх(IX1, дХ2= dx;!, ... , б../ m =, н{! !ыlастсяя n~Mv, Фсс H~'ц и а л О м Фун'К:'Цv,и и - f (х ,Х2,...
Х rn ) (в данной то !'К:еМ(Х1 Х2, ... х т )) и обоi1-t{!"l{l./ mея символо,!" dn'/J,.-Итак.[10определениюdnv, - J(d n - и)8'1= d, 1,8'2=d'2,бх',.,,"= 'd~';'При вычислении второго и последу!'" }их диФсl еренциаловприходится существенно ра:~шчаТl. два с!учая:да аргuме! (ты хными;2Х2...'Х[['ЯВЛЯЮТСi!CJlучаi\, когда аргументы...Си ,ilюл { } IOX 1. =dX 1 . обозначает, что11o, .. =d'E2·случаi\Iеза!lИСИМЬЕ!KO~пере\Iен-,.i m являются COOT~1I!,Iраже !!!И. закл! !че!!Но!;!АХ~п'='d~~фигурны,· СКОl!КИ, С."'Д}ТТ положить6../1= d ../ 16../2= d.!2, . .
,6!! m= d ../ rn .[Нl [Х[;ет! fвующее чи Дi! pa:~ Д fфференц [руемы\!у'уурыНi':;ШИi И\fЫ[ыхffepeMefРа; iМОТРИМ (н iч;ша первый С;УЧ;iЙЛЯIОТi'нМ Ы мiЧИТ;iТL, ЧТii"ереме!,d:T m/{аЖ,IЫЙfКЦИiI. ti,/2,Если:Г т\fbI[ы\!яв-право,:Г тю':;шисят от :Г1, :Г2,щиал (I:Tk\fbI можем в:ять ра ;IfЬEf одномуи тому же нрира; ;,ению b.Xk для всех точек М(х ,Х2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
