Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Пустъ фу'J-t'Х:'ЦUЛЛМ) 'нгnpepынаa 'J-tП ЗПМ'Х:'J-tуто,м огрп'J-tu'Че'J-t'J-tОМ .iVL'J-tОJICесmвеМ}. Тогда дЛfi любого nОЛОiifiuтелъ'J-tого'ЧUCii!{ Е .iVЮJIC'J-tо у'Х:пзатъ тп'Х:ог ;; >'Что 'J-tП 'Х:ПJICi 10М npu'J-tп, fлг~JlCаЩГ.iVL .iVL'J-tОJICесmву{iVf}ЗПМ'Х:'J-tутО.iVL nOz!.iVL'J-tОJICеСmве{iVf},.iVLemp 'Х:оторого .iVLeHblLlf''Х:Оiiеба'J-tuе w 1) фу'J-t'Х:цшt j (iV!) .iVLeHi;lие Е. ДfiКазаТi' !,CT!!ii ЭТОГf! свойст!!аанаЛfji!i !нодока! (тельству следствия из теоремы§ 4.10.2.Производные и дифференциалы функциинеСКОЛJ,КИХ пеWiеmенных1.ЧНСТJJь;е ПРОИЗВОДJJь;е iliРНf'iЦИИ неСКОЛJ,КИХ переменных. Пусть точка М(х ,Х?, ... 'Х т является внутренней!ю!й ii{iлаt'!и задан!! ф\'llии U = j(Xl, Х2, .
.. ,. Pat', \ю!ри\!да! !i!й ф!!ксир,!!!анной то'М(Хl' Х2, ... ,ОТНОШi'~ние частного прира! !,ения д. Хk U (см. п. 1 § 3, формулы (11.8) и(14.9)) к соотвеТСТВУ!iiщему ПрИрit! !ению д.Хk аргумент" Xk::::"Xk'Uf(Xl, Х2, ...Xk- iXk+ 6Xk6х'"Xk+l,···Хт ) -f(Xl. Х2 ... ,Х т6х'"14.12)От!! !ше!!ие (14.12) п)"'Дt'та!fЛяет Сf!{ii!Й ф\' !кllию (iТ /:"Xk, i!ПРf'Дf'~ленную для всех, отличных от нуля значений д.Хk для которых!ка JT(x ,Х2, ... 'Xk- ,Xkд.Хk' Xk+ , ... ,Х п ,) пр!!надлеЖ!!iоблаСТИ!itдания i!iУНКiiИИ и.Определение. Ес.iШ сущсствугт npez!Cii, от'J-tошеюtл (14.12)'Част'J-tого nрuршщеюtл д.
ч U фу'J-t'Х:'ЦUU в то'Ч'Х:е iVf (Хl, Х2, ... ,Х т )+1Колебанием w ФУЮiЦИИ f(M) на множестве {NI} называется разность\tt'ЖД' то шой iiерхней и то шой нижнейМfЮfii, 'Пfе.ранями функцииI(M)на этом[нихfl:Гl,'J(;'!iJmГkртел3опоар2УikitКИJ\I оБРitiОМ,14.13))ТJ\IеТИJ\I, что ЧitСТНiШ производная i!)УНКllИИ u =apr;iMeHTY Xk Щ"Д;' fаRляет с'); ii)й обf,П<f(Xl'... ,X Тn ) поизвоДнт"f\iЮ проi!)УНКllИИ одной переменноП Xk при i!шксированныхзна f'iНffЯХfepe\fef'fаЛhНf,IХfif,IТТИСЛ'iНff ii,ых.тта;'i-НЬЕ проишодных производится по обычным пр шилitм вычист Нf!ПРОИЗRОДНf,fХ ф;'При М еры.оu =агсf<ЦИЙ (fДН )Й переifеft g-,х_ У_ди - xze Yz+,z' iJzх-=tg'V':J;"iдиziJij2VX2 - YZCiiS VX2 - yzМ е ч,кедх1.+ у2'+ __1_- у + ,z'= eYz1- xye YzzVX2 - yzcos 2 VX2 - yz'дин и етта;' ,'ных_-хх2iJ ухyz, iJiiд';-у2'+ z) ,диiJ удиух2+ 111и=Uдиуfi)Й.у2vx 2 - yzco< vx 2 - yzИi ст f,ествования у i!)УНКЦИИ в ДiШНОППРОffЗRОДНf,fХ,Г )fii)РЯ,fihП н<аетнепрерывность i!)УНКЦИИ в этой точке.
гЛы у +ie убедились, чтоф;'iiffЯU~{хух2+ у2Оприх2у2прих2у2О._Оне является непрерывной§(см. примерп.в точке О( 1. О))днако в этой точке укаЗiшная функция имеет ЧitстныеПРОИЗRОДН ,Ie по Хло, у)== Ос fiдует ffЗтттоf(x.О)_Ои поэтомуiJflдх=ОиiJflду= О.а м е чн и е2. Мы определили понятие частныхпроишодных для внутренних точек облаСТИiiщания ,!)унк ши.499ipaHtt [н ,tX TOTTet< об,tастtt задания да!taCTHt,tX [р НtЗt;;; [ых являет;'я, t;;юбще гВ ЧitСТНОСТИ, это свя; ШО С TeJ\I, чтоiранитТttыхтотп<ах[а;' tиtaMttопреiе, [е tиеit;;iРЯ, ю'пр;' ОДНt,;за,iанtt'I)ункции не всегмо +;но ВЫЧИСЛ1ТЬtастю,tе приращения'''iЙ функцtt(так, пс\прпмст, обстсщт дсло С граппттНОЙ точкоП }.;[о оБЛitСТИ, июБРitженнопна ptt;'. 14.2).;;;'bl'tHO [а;',ные проишодные в гр:шичныхобластttютсязадаt tия ф"ю(кточю(хt<ции ;ют ,'д,ляпредельныеЗНitченияэтихопроишодных.2.стихПонятие дифференцируемо:liРНКЦИИ нескольких переменных.'шомним,Рис.что ПРИРitщениfем (или полным прираt tением) 'I)ункции и[ке }.;[(Х1, Х2,...
•~X2~и =с,ЮтtiеТ;'Т!iуюt t.Им Щ14.2Х1. х2 •... ,Х т ) в,ttpatt,'юtЯм ~x,... , ~:Гт аргументов, Нitзывается выра +;ение+ ~X1, Х2 + ~X2,'"f(X1+ ~Xn )ХХ1 Х2-...,Х rn )'fОпределение. Фун'Х:'Ци,я и(Х1.. ... "т) но iыlастс,яд и Ф Ф ер е н 'Ц и ре.м о и в даннои пю'Ч'Х:е }.;[(х ,Х2,... х n ;).ГС.iШполног nриращ' ние в .;тои то'ч,'Х:е ,МО;)fCгт б/;I,т'!; npez}став. JCHO в виде~!!A1~X1A2~:Г2... + Aт~!m. + а~X1+ a2~X2 + ...aт~Xт.14)гд,; А,. А 2 .. ..
,А т - нг'Х:оторыг не 3 У6ис,ящи; от ~X1. ~X2 •...~Xrn 'Числа, а а1, а2 .... а rn бес'Х:оне'Чно .малые при~X1 --+ О. ~X2 --+ О, ... , ~Xт --+фун'Х:ции, рпвныl г ну;;юпри~XrnО.tие (14.14) назы~Вitется ус;;овиг,м ')иффеРГ1-t'l~ируе.мости функции в д:шноП точ~ке. Ytл it;ие (14.14) Дttффпн;нцttруе\iJ'" tи ф;' llии ;южt записitть Тitкже в иноП 'Iюрме. Для этого РitССМОТРИМ бесконечно;ta. t;;ю пр'; ~X1 --+ О, ~X2 --+ О, ...
,--+ о функцttю р= ... =-_. / LlЛ х 21V++ ... + .==Л 2 l ; ,Л"2"Lх2хп1);';'\teTtt,ттто эта ф;:llияЩitется в нуль лишь при ~x~X2... = ~Xт = О. Убедимсяtetteph,входяt t.аяпраt;;;ю taCTt, ;'О,iТН;iшения (14.1,1, с,;мма a1~X1a2~X2...am.~Xт предст:шляет собоП бесконеч~+но;ta. tуюбо.tit,IC,iКirot;iрядка функцttю по С) ,а;нению с р.преД,т ;f\ЛifJ;Т собой р 'сс+~;1,+~;+~;т).5{){)[них\)итго эта )'умма Пj ';Д)' {ан, {яет )'обой{){;ам{{,{;Ы) ,аже {ие ,;(р)i- О с{{рат;есамо,{ д; Ю', при{ивоi~x,11,и ПОЭТОIlIУ,6.:[;1(;2,6.:[;2+ су т ,6.:[;т~ {la111\;Cll + la21 1\;C2 1+ ...
+ larnlI \;cml }~Таю{м ))(;разом, \<mfБ{{е~{l a11 + la21 + ... + larnl}p =11.14),;(р).Функц{{может быть запис14.15)это\; {;елитти{о(р)M{,I{лае\; раннойЧтобы ДОюt;ать, что условие(14.14), нуж{.очередь вытек (ет предст шление{е {;се,6.Х2, ...р)лю пр;; р=О.эквивалентно условиюпредста{;леttия (14.15)свою(14.11). Для этой цели, СЧИТiШ,15),6.Х)Р ра;ны {{'лю1),пр;дпа;{{м о(р)В видеолагая о(р) ~x, = ai{"тит{,{вая,aiявляет;'я б; ;'К)Н; ,{ноРма.m)Й Прf1-+ О (а '{а, (;ыть, И пр;; ,6.Х1 -+ О, ,6.Х2,6.:Гт -+ О) ,!)УНКllией, мы придем к представлениюИтак, {';л)){;ие диффере{ llИIУ\';'\ЮСТ{{сать юtк в виде(14.11)Е;ли{ibl одноля, то сумм" А 1 ,6.хтак и в виде1ф{'llии мож{(11.15).А 2 , ... ,отлитт{от HY~А т ,6.Х т преДСТiшляет co~{;)й главную, ЛlmеUНt/ю относительно nрщющениu аргументовчасть ПРИРifщения диФ,!)ереНllируемоП ,!fУНКliИИ.
Отметим, чтопри определении понятия диФ,!)ереНllируемости функции мы не{{;'клю'{али {;)з\юж{{)~'{и обращ;'Н;{{;с;х,'11,А2... ,в нуль, и поэтому, если прира{ {ение ,6.и ,!)ункции lIю}{<ет бытьЩ ,;дпавЛl'НОв{{д;' 11.14) или (14.15) {ри А 1 = А 2 = ...= АтО, то функция диф,! ерен iИруема в ДiШНОП точке.(прав;ди1)Е)",и ВП'~)(.15){;а ;лед{'ю{ {ая т;'от;е,{а.рав;;ы Н; ЛЮ, ТО ;;се ';Ш ;;ы В пр ;;;ОЙ ч;"ср ;;;НЫ нулю.Ф<iРМУЛ 14. 4)- I(! 1, :Г2,ре?!'И,uр!/е.ма нМ(:Г1 :Г2,:Г iii ),!!i() НС!/-ЩСi '!f!нуmТn'iiYСПliJ-lЫС пр !из юд'J-lЫС по iiU~.M аргу ',U~H'!пa{~;A i где=диффереi!iЦ'Щ)!jе'1 о к а 3 cl тл h (' Т В о.из УСЛ()Нi!i'(1414)iiли (1415)Из у("тюnия(14.14)диффГ'реп-цируеJ\ЮСТИ il'УНКЦИИ В точке М(х ,Х2""вытею,ет, что ее,i,iЙ тотткс' равно ~X, и = Ai~Xi!астное Пj ,!!ра! !i'Ri!i' ~X, и+ ai ~Xi'к ,кai6 х , 'иО !сюда в ,! тс'кас' i .--+ О.лпри U-X i--+ О.,пр'!, '{е.М6х,11'т~X! 'и6Xi--+ii 6х,=,Ai++ ai,д'Идх,С.ледсmmм',Условие 14, 5) диа if.i ере1-щируемости'И,ии в i!анной то ('Ке М .ivю;)fcно зпnисат'!, в слгдУifiЩi'Й ФОРМi14.
6){'.ледсtпвuе 2. ЕCiШ фун'Кция иЛ:Г1, Х2, . .. ,дифферен'И,ир!/е.iVШ в то'Ч'Ке J1 (Х ,Х2, ... ,Х rn ), то представление ееnриРПЩi iШЯ ~и в фОР.iVLе (14.11) и.iШ (11.15 еi!lИ!ствен?!о. В саi!O,! деле, !<оэффициеiiТ!,! A i ЭТ!!Х ПРiДi' !авm'н !Й paiiihТ TTai' !HhТ\!Пj!Оиз!!ОдН!,iiД!!Нi'в данной то'Ч'Ке МОПРiде.!яются!"Ri'HH!,iУбедимся В СПРiшедливости следующего В"ЖНОГО СВОЙСТВ"Д!!ффi'Iунц!!руе\!hТХ функц!!Й.II,слии = (Х1, Х2, . ..
Х iii.) дщjiферен'И,ир!/е.iVШ в то'Ч'КС .iV!(X1, Х2, . .. ,Х т ), то она и Нiinрсрывнп в этой то'Ч'Кс. В самом д! т', из УСЛО!i!!Я (14.11 ! диффере! i i !!Р' с'мост!! фi' !кllи!!!Ю' !ihП н<ает,liln6х --+0.6ХО,6..>';'~и = О, аiiзна'!аi'Т,функ-'гОция непрерывю В точке .iV! (см. п.§ 3, формула (14.7)).iЛi"та i ' фг'.'ии и = I(xДi:VХiеi:еГiеi ЪТХ Г'iЛ:ii:иеi ,герен шруемости' ~Юi!<ет быт~ илл!';iСТР~~Р;В~НО геомет~и~ески.j kеде\i ПОiiятие !<асатеЛhНОЙ плос!<ост!! к !:i!iepXHOCT!! В тотткеN o.Плос'Костъ К, проходящая 'Через то'Ч'Куназывается'к а с а т е л ъ н о йNon л о с 'к О С т ъповерхности,10в этой то'Ч'Кс, ес. ilt угОi! М!;)fCay этой n.гюс'КосmЫfi и Сii'Кущей, про годящей'Через ПЮ'Ч'К!/и любую то'Ч'КуN iiну iЮ. 'Когдп то {'КпN1N i noBepXHOCnilt, стре.iVштся 'кстРГ.iVштся 'к N o (рис. 14.::).Uii1Здесь все частные производн ,ie -д.г,берутся в данное! точке М.[нихЕ(' tи[кеN a ('ущест;т'ет[<аса tе,thнаяно.[<а('ат;',[а т пmt('костt" то оттеRttд~N;! к tюбой К\;;'расt;tжеt t;tйR ТОТП;J'н"поверхностиипро~ходящ;'йле;t<ит в ука; шной п, fOС~t<OCTttУ6еДИIlIСЯ,т'(л; )t;ияIIIIII:о){х,{/у у/х//J}[a Ха, Уо)етсуществов шиедиффер;чкSэтой функ~llИttR ТОТП;J; Nu(xu Уа,Поло +;имх - ХиУа д.игд;;4.14)вытею(~Za=услоt;;;;;-t;tй тотткегр (,!тку/,М(,;, у)хда!са tе,thНОЙ/--,/~ )/и е;руемости '!;УНКllИИ и_____~-+--~~~~_гl~~/ '10/чтодиффереt llид.уд.х=и - иаиа = J ха Уа , и =f(x.
у). Очевидно,;;ttP;;;;TfOCTtt R раСС;tатри;ае;t;tМслу;tа;;можно;аПИСitТЬ следующим оБРit;ОМ:и - Иа = А(х - ха)Уа)суд.хfЗд.уВ(у- А(хгде А и В-постояttЬТ;;, раннf3 -в точке }.;[а,СУ и'!;УНКllИИ, р- j д.х2;Ie-Уа)о(р),iJ'"д'"taCTНt;I;! П\ ;ОИЗRодНt;IТ; д;;; и д'"бесконечно Мitлые при д.х--+"О и д.уу--+ (;д.у 2 .;;(ссмотрим следуt, ;щее уравнение:ИИ;-Ии = А(х - ха)ан (литическоП+в -геометрии известно,Уи).что это ур;шнениеопределя;;;деt<аРТОRОЙt<о;)рдинаt (х,И) Н;;Юt ;;tруюплоскость 1Г, проходящyt;; через точку Na(xa, Уа, Иа и имеt, ;щуюНОРМitЛЬНЫЙ вектор n = {А, В,. ттто ;та п;t; )('Kt!' [Ъ1} 1) .1г Яt;,;tя;; t'СЯ [<аса! ;ЛhНОЙ Пстью в точке N a поверхности В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
