Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 90
Текст из файла (страница 90)
\ля этого достаточно убедитьттто: 1) плоскостt; 1г щюх;)дит ттерез тоттк;; N a t;tt;epXHOCTttиугол ер между НОРМitfЫ;' n к этоП плоскости И любой ce~кущей N aN 1 стр;;к 1гЮ!fда то; [<а N 1 t;tt;epXHOCTtt S/2,стремится к точке1)1)очевидно. Перейдем кНор, ;;;ЛЫiЫ,;i В;К ;'ром П;ЮСЮ;;ТИ на;ы;;;;еiюбой нен, Л);В;'Й В);К "рN a.Утверждениеп, п);рш НДИКУЛ1СРНЫЙ К ЭТОЙ П;ЮСЮ;;ТИ.ПГ{'lпво.,'ШllE ИfllФФЕГЕfДОf<азателы' [НУ YfH) РЖД1'Нff2;f,fТТИС ffM К )ПfНУС[а <р, НОСПОЛf,З )f;аf;Шff'"ИЗf;)'" ['! f1)Й фор )f;'ЛОЙfЯ ю )Пfнуса )тла )f1'Ж т),ДВУIlIЯ вектор"ми Так ю\к координаты вектор" n равны А, В.-1, аfинаfЫ f;ef<Topa]vUNl- ио (см, рис, то;'08<рсе <)'Щ1'Й paвНf.;- :Го, у - Уо,= ---;:;;:;::;:;====;:;.'",,1(=,1=-_Xvr';)=+='=Ь='(y~=y=o=)=(='II.~~==~J \2 + В2 + i v(; х;)2 + (у - у;) + (и -11.0)2llИИ и =з ;;Л )f;ИЯ диффереf llИIУ)" )ЮСТff(х, у)к \ет.
чтоА(х- хо)В(у- уо) -= о(р).ПоэтомуIC08Из ЭТОЙ форм;'ш.I f;f.IT1xa1"ттто lim; 08=О, т. е. lim <рР--+"УfН1'рЖД1'Юf 1 'ТаЮfМ2)= 7r /2.Р--+"ДФункцfЯ и =f(xв точке }.;[о хо. уо) с геометрическоП точки зрения означает на-f<асатеЛhНОЙ пл );'ю)" fИточкеfрафffКУ ф;'llИИ и =(х, у)N o (хо. Уо .fi.o).Такf<af< ю) ;ффffЦff1'НТЫИ ВpaHHf.f ;'0' )ТН1' fCTf;efпроизводным.
вычисленным в точке }.;[о (хо, Уо'";'аТ1Л .Н1)Й ПЛОС<ОСТff МОЖ1"и-иоНОР;fал.ныЙ [;н<торбf.fТf. заf=ffcaHo н f;иде- хо+ iJi1{ди,ди-1}= ii 71·(XiJ)jтта;' [НЫ;;то ур \Бнение ка14. /)дуf<асаf1ЛhНОЙ ll.f);'Ю)"fИпринято н"зывать нормалыо к поверхности и =N o хо, уu, ио .fх, у) в точкедиффереf llИР;" )ЮСТff функ·ции нескольких переменных.Теорема14.10.Ес.iШ фую,;'Цил иf(Xl',х т ) им;;т'частныe nроизводныe по всем п.ргументам в неnоторои оnрестности то'Чnи Mo(~ . ~2.'..• ~т).
nри'Чс,м вс; ,'ти·uj.стныc ПРОизводныe Henpepынъ!l в са,мои то'Чnе }.;[u то уnазанна;)дифф~ре'J-щируг,мп. в то'ч,nе }.;[о.Д о кзт е л ь с т в о. Для сш::р"щения з;шиси проведем до·казаТ1Лf.СТf;\' для фУНКЦff Дf;;'Х П1';·')f1'ННf.fХ и = f(x. у).faf<пусть обе ч;\стные производные f~ и f~ ст f,ествуют в окрестно·сти точки Мо(хо. УО) и непрерывны в этой точке. Д;\Дим ;\ргу·ментами у столь малые прир"щения д.г и д.у, чтобы точю\[Нl [Х(хаВ'ажен [е++ tly)(:Г!) ,+[.f(xo+1/0 +-(х!),/(хо, уа+ tl1/+ /\1/)]+- .f(70,МОЖfЮ рассматривать как прирar fение функции Лх, уоtly) о. fНОЙ переменной ;Т на сегменте ;То, ;Тоtlxl.
n.)сю).rьку il;ункция.f(x, у)ИГfеет частные производные, указанная функция .f(x, уоtly)++Дифil;еренцируемаее ПРОИЗfЮДffая по ;Т предстаfшяет собойастную п] юизводняю Х' Применяя к пшзаННОJ\Е п] Ш] ;ащениюфоргry.fУ ЛаграЮf'Д, наЙ. [ем такое (}1 из интервала 0< (}1 < 1 чтоРассу jf,дая совершенно ана.ЮГИЧНО. ПОЛУЧИГ.f, чтоторого(}2< (}2из интерва.fа[/(хо, у!)+ tly) -шя HeKO~лхо, Уа)] = .f~Так как производные.t:и.f:,непрерывны вTO'fKe Мо , те)+ (}1 tlx , уа + tly) = .f~(xo Уа) + а,.f~(xo, уа + (}.,tly) = .f~(xo, Уа) + (3,.f~(xoгде а и {1 - (iесконечные малые при tlx --+ О и tlyОтсюда, у' итывая приведеf [ые выражеf ия ДfЯи(хо+ L:l;T, уаL:l1 ) - .f(xo, уав ,Iражение дляслучае функциирассяждеНИ"iниеL:lu=.!(ха,+ .f~(xo, yo)tly + aL:lx + {1tly.Сfед шатеrьно. функцияNI!).иЮfЮДЯТСЯДИфil;еренцируеГlа в TOTT~.frnпере.lенныхu =аffалоги'Ю,ТОЛf,fiО.f(71, Х2,полноеэтой функции сле [ует пре fставить в видеоо(х" ...
,Xk-1 :Tk,xk+1Теорема доказана., .... .. ,при] .аще~Cy.li.lbImk=1О функции.fайдемL:lu = I~;(xo yo)tl.rке+ L:ly)--+5U5ПГ{'lпво..·ШllE ИfllФФЕГЕII.ИН JfН фРНIUЦf' И несколькихf.ли[е-лAte1-l:mО{i "ИСП)'Ь nрираw,ен!!лфi/'l-l'Кi'ЦU!!1и.)ффициент'Ы А ! 6 nредста6ле'I-I/U'U(14.реti.'Цuру(моЙ фУti.'Х:'Цuи ри6Ю,! нулю, тоJZ1ttt 6 mO"l'X:e М С"lитаетсл pa6HblAt н! лю.Таким обра юм, шфференциа.юмдифферент~ируе: юй вTO'fKeи = .f(x ,Х2,...
•Iаз ,1f'ается выражеfIие14.18)Нспол ,зс')' теорему;1,ение(14.18)11.9мы можем!ля дифферент~иалаоттевидно, пе] ,еписать,аduСIеДПОf ш;! образо: '.(14.\веде: 1 понятиеПо дифферент~иалог!dx;ia6UCtL;jlOilXi.i не ;ависиг юй пере;;1енной Х; ;.;ЮжнО пони;.;1атыfбоеe (не зависящее от Х1, Х2, ...
,Х;;!НеДог;шорИГ;1СЯ В fальнейше;! брать это число равны;;! прираf fеНИfJi ~x;незаВИCfIмой,емеf юй Xi. Эта договоре; юсть Iюзволяет нампереписать фОР.i1УЛУ(14.19) в виде14.20)duПод [еркнем, тттоСIучаякогда,еме;)мслааргументыIЫМИ. Однюшкажем, что фОР;;1ула.20)Xlустановлена,Х т...иже, в п.14.20\ая, когда арг\ ;.;1енты ХХ'2,;Т2,5Iами JШЯВ.ШI<>ТСЯэ;f ;j10 па]остается справе. fПИВОЙ и... • Х т[ь длянезаВИСИГ.;1Ы-дo~!ЛЯ CIY~не ЯВ.ШЮТСЯ незаВИСИ;.;1Ы;.;Шпере;;1енныгшш а са;ПI предстаВЛЯI<>Т СОiiой шфферею шруе;;1ыефункт~ии некоторых новых переменных.4.
Дифф,еренцирование сложной фрнкции. В 'тог!пункте ;.;1Ы расс;;ютриг! вопрос о дифферент~ировании слож:нойфя! f}ции вида и.f,;Т2, . .. Х т ) 1де=Xl = <pl(tl, t'2,tj() 1, /2, ... ,Хт=14.21)<р ;j()l, /2,··· ,}\Iы дока 1,е;.;1, что при опре. fеленных условиях эта сложнаяфУНIсшя яв. шется шфференцируе;юй функцией своих apгy~[Нl [Хментовt,tk[aCTНf,Hпр( и ШР Шf,Н, /2,, tk выр 1жаются ткpe:~ ч 1·СТНЫ! пр( И ШР шьн функ шиu - f (:! 1, ii2,, iimИ Чiрi';].CTНf,H пр( и {PPДНf,H(14.пр сл(д! ющим формусложНfН~'f<пии поaprTM(ffTaM+д1! д;[;l; dt1д1! дХ1д1! дх.dX2;д1! дХ2+a.iд1!+ ... +m(14.22)~.&1&т=дХ1-+-~2+ ...
+дХ-.athathдХ2 athт athДокаж:еJ\I следующяю OC1-tО61-t:tJ? • тео]Теорема 14.11. ПУiтъeAt'bf=(14.21)не'Х:отороиХ2 ... , :1: m .)6f (:1:1tk), а фу1-t'Х:ция и6 соот6r:тст6УЮ·!J',еU то'Ч,-о00оо00'Х:е N(x Х', ... :1:. где Xi=:i(t"t2, ... ,tk) i =2, ... ,Тогда сло:ж;'Нля фУ1-t'Х:'ЦИЯ II = f(X1, Х',... Х т ), где Х1, Х', ... , Х топределяются11.21) дllффере1-tЦllруе,ма 6то'Ч,'Х:'этО.'1 'Ч,(Jстll'l,lеl'vI,,ЩИ 6 fло'Ч,'Х:е6i:e 'ч,ш тti.Ъffn; ОН.:60 д 11""од" дидХ··1 дх' .. ""дХ т, tk берутся6 то'Ч,'Х:е М,езатв точкеьсо'(14 . 21)ка4.22),д ... б.
. . .- - ,. утсяll ',le дх!ilpmL360U'..a!lа 6СС: 'ч,ш тti.ЪffДэтоu СЛО:Ж;IIОUопределяются фор,м! лами (l'vIтво.M(t1, t2 ... ti:)'Х:оторых6 то·'{.'Х:'ilO 'Iргумеti.т 1МПрида. ш;.;о6аргументампроизвольные приращени'", . . . . не 'aBffbIe ОДНOffременно НУfЮ. Этимприрat !.енияг,; соответствуют прирat !.ения .6..11 .6..Х2,... .6..Х тфинкций4.2]) в тоттке l'vI. Приращениям L:l,T, .6..Х2,... .6..Х тв свою очередь соответствует приращение .6..
u Фуню шиII = f(x , Х2,... Х ттотП<е N. ГIоскольку фи; !<ция u=ЛХ1, :1:.',. ..кеN.указа!Х т ) пре полагаетсяюе п],ираще!fие.6..11шфференпируег юй в точэтой фи; !<ции может быть записано в ви !ед1! .'-'''Х?дХ2~ди.'"'+-д'''х"Хта1дигде ттастные производные да а1, а"...ат -Х;оесконечноди' дХ2+... +(14 .ди, ... , -д бе] ,ится в то !ке;.;a.fbIeХтпри .6..Х1---+О,.6..:1:'ОN....5U7ПГ! 'lПВО.lНl.lЕ Иf llФФЕГЕfо ,I,ункциР H'Нf,H,ну. fЮ приПод [еркнем, [ТО в соотнотпени(14~:!, ~Tт пре fСТ;ШЛЯЮТприраf f.ения функт~ий(14., ,;fВiТШЮЩИ i[ым,ираЩiffИЯМ ~!,~/k;1РГУ: 1eHT1iB этих функсилу диффеРiН tируем( сти функ-11.21) в точю M(tlУ <;],lаню,н:.1О11ШОlаписать в сле. fУI<>щей фОР:.1е:t'2,дх~Xi = [Н: ~tl,tk)дх,Пр1fраff1fЯдх+ Ot2 ~t'2 + ...
+ Bt;' ~tk + о(р)14.24)2, ... ,z=дхгде частные прои шо шые -д." '-д' ... , -д' берутся в точкеt;Р1/Ч 2 )2y(!\t f )2'k,2+ ... + (!\tk)2.NI, аlы ДОЛЖНf.l ',,'бедитьсятом. [то после подс 1af 1О! f<Ип] ;аВ1fЮ(14.2;:) выраж:ений (14.24) приращение ~и J\юж:ет бытьп] ;lшеде 10 к ВИД1fчасть... +k~/k+ о(р),14.гдеА = ~ дх1.дХl Ot,1+ ~ дХ2 + ... +дХ2д1! дХ тutU,r m. = 1,2, .
..Тем самым доказатеJЬСТВО теоремы б1fдет завеРffef1O,k.14.26)ибо фор[а (14.25) устанавливает факт дифферент~ируе:1ОСТИ слож:нойf<ЦИИ, а,ажение (14.213) предстаВ.шет соб()й астную производ f1fЮ указаf 1Ой СЛОЖf1ОЙ(см. теоремн.9).При подстановке в праВ1fЮ асть4.23) выраж:ений (14.24),KpOГ1e группы слагаемых Al~tlA,~t'2Ai1~t!" :lыI полу++ ... +ДР1fгие гр1fшlыI слагаемых.
Нам f1fЖНО убеДИТf,СЯ в том,что все fругие группы Сfагаемых предстаВ.ШI<>Т собой величину. Это Bf,lTeKaeT из следующи;; сооб] 1ажеf fИ. Все 'Част'Н/ые nроизво дные -д1!в Ф ОР.Ntуле14.23)берут-iЯ в rnO"l'X:e N, т. е. n; i·дlтавля.ют собой постоя !ff'!;le 'ч,'UСЛU'X:OmOp'i;le nрН У ilHOJICr:H'U1'о(р) дают иова велu',; !и!У о(р).20. Вс! ~X; 1i = 1,2,...
т) удовштворяют шравеi!ству~ const р. Это непосредственно выте'Х:ает из ФОРМУЛII(14.24).30. Вlе а; в фОР'\lУШ 14.2;:) n] !дlтавля.ют 10бой бе''Х:оне'ч,i!ОАtaЛ'bfе при---+ п ФiiН'Х:izuи. В самом деле все ОО! Яf'ляются бесконечно :.,1 алы: lИ при ~:ГlО, ~X'2О, ... , ~XтО. Но всеf<ции.2диФ,I,еренцируемы, а стало быть, и непре;ны В точке М и ПОЭТО:,lУ ~Xl, ~Xl,'"при рО.",~Xт стре:,штся к нулю[Нl [Х(;оБО'/'1иfifO!,!i'ч,'(J,~Тfю],;маfi;KaiaHaамваж fЫЙ ттаГПfЫЙfсттай, КО1данфункт~иинта( 42сложную фс; fiЦИЮгдепеременН!н!!Ii'U(t). П роизводнаяXit.Тог.fиГ.,iЫ иг iеег,!, ;;2,!т'iй сло iш iЙ ; I;ункции оп] !eдe~iftляе iСЯ следующейd1t=dt!име! fИМд1! dx,iftaXlд1! dX'J+ дХ2фо] YMYf!"ift(11.+ ...ДfЯ до iазате.fЬС'i ва.27)meopeAt'bfЭилера об однородных фую;;uuя,х.Функцшт(Х, Х2,...'(J,Х т ), зада!fая на множеС'i Ре {1\;1} ,на этом MHOli,eCTBe,называется о.
!нородной Функт~ией степениес.ш для каii,ДОЙ тоттки NI (Х ,Х2"" ,г,!Ножествакаждого числа t, !ля которого точка(tXl, tx'2, ...надлежит м! южествс {М} выnолня,ется, равенство.f(tXl, tx.!,... tx m ) = t P .f(Xl' Х'2, ...Теоре/сс(.С{NI} и для,t:!m) при~,х т ).14.28)14 .12(теорема ЭЙ,/l,ера об однородных ФУН~= .f(Xl, Х!, . .. ,Х m ) я,в,!,я,етi в f!('Которои облuсти {71Т} дифферен'И,иРiiемои однороднои фун'К'И,иеи степени р,то в 'Кu:ждои то'Ч'К; NI(Xl Х'2 ... ,Х m ) обл icmu {NI} сnрuведлицu,я,!г). Е!во равенство(14.29)ри.д о к а з ае л ь св О.прои!Вольная точка об.fастипию иФункт~июПуст!, МО о~.,'~nJ)-М.
Расс.!,ютрим с.ЮЖ:НУff\ функ~.f(;r, Х2, ... ,;T~ ,где Xiи = /(t Xl t Х'2,... t х m ).t ~i (i1,2,... тn), т. е.Так как приоXi = t Xi ДИфiliеренцируемы'(J,t = 1Фунюши= .f(Xl, Х2,· .. ,x nJ )!ИффереН! шруеГ,iа в соотвеТСТВУI<>щей точке МО то, согласно теореГ,iе]4.1и заме' ан ию кd1t!той теореГ,iе. I1;fЫ г,юж:ем ВЫ'!ИС штьПрОИЗfЮДНУЮ ift С!iазанной слож юй фс! !iЦИИ В тотТ!<еt =по!fx=Х тоФ ОРГ,iу.fе (14.27). Так как dt'дnilnldt t=l!де ПРОИЗf'одН!,!еВ силу14.28)д1!ди12берутся в+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
