Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 85

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 85)

ПонопТ'я m-mерного координатного 0POCTj'?aHCTBaи m-мерНОiО еt;клидоt;;! простр;!НСтt;а. M1-tоJfCесmео всевозMoJfc1-tыlx УnОРJiдо'Ч~1-t1-t'ЫХ сово!;!уnносmей (хl, Х2"",х т ) rn 'Чuсел41')П()Н'lТИЕ,J rn:[;2(J,прПри 'jTOM КСОВQ};УПНОСТЬ:[;1, :[;2,, :[;п') мыllа"ынать то" l"ОЙ ЭТОГi' ПРiiсгра; ;с'Гна иоБОЗЮiЧiiТЬ 01\НО!";М Числа :[;1, :[;2,':[;"" Н,'ЗЫВaf"Т~СЯ i':iЮРДll ;ата:) ТОLi"И М, Запие MCT1,J2,:[; ,,)а" 1ас 'Г'l"a ivl1"ООРДИflа'Гы Х1, Х2,· ..

,Х rn 'Г::~J\Л~Р1-аkО евi,Л, :дова пространства. KoopдиHaтHO~ npocтpaH~:т:ю Аrn Но :ываетс:т-.М еЫ.М е в '1\; л и д о в ыпро с т ртО.М Е ПI , еСЛ"Ll ,не ;::ду люБЫ,Н"Llто'Ч'I\;О-, ...М.:: м' Cг~,,x~J и м" (х", x~,...,x~J 'координатного про-странства А rn onpeae;i.eHO расстоянuе 1 р( м', м") по фОРМ. улер(x~)2.'['"("1") =(14. )BBe:leHHbIe ШiМИ понятия l1H\IepHOro КООР:ШШiТНОГО ПРОСТРiiН~с'Гна Аrnm-МСРf",lО ,'Нl',Лllдона llр"с'Гращ:'Гна Е П?1) Евкли юво m-,,;ерное",'дс'Ганля-;;остранство представ';яет собой та;, назы­MHOii,eCTBO {М}.

эле­ваемое MempU"ieC'h~oe nросmРШliсmво. Произвольноеме;;ко;'01;01'0имену;р ;'Ос!то' ;кам"наз;,шае ;'Ос!метр,,' ;ескимствOi'"сли существует правило. с по, "'щью ;,от"рого любым ДВу"М'М"М;;О2кестнаj ,нстанитс;;соо; "етс; ""ер(М' М"), Ha:~ЫBa,'Moe р~с;mОЯIiU>'Мзан;;ое пра,,;шо;тан­точ>,а",;;екоторое'lИСЮэти;,;и точ>,а,,;и. При это,; ука-;отж;;о бытт, так"м,";"ПОЛН}iЛИС;, с;е;у!Пщ"е ак-сио,,;ы (a1i;;UOMbl меmричесм)го nросmршн" mва), ) ;ля любых М' и 1\II"p(Mi.M ii ) = p(Mii.M i ) (си;,;метрия расстояния): 2) для любых 1\11' и 1\II"р(М' ,Н") ~ О, ;;РИ'lем, если,н' М") =то то';ки("OH;;a~дают: 3) для любых трех точек 1\II', М" и М'" выполня,'тся Нi'paBeHCTBOп(М i М,и) ~ р("Н")Ми,) ;;ера"е;;с;;;о треугоm,;;ика).Уб,'ДИМСЯ, что ввеД;'нно"с;'елт,но}iНЛ}iетс;;метр"на,,;и "в;<лид"Вii;ескимпростраНСТВii дей-прос; ранстном.самом;елеСllра;щц-лив' ,сть ш 'lJEbIx ДБ;Х а;<сИi;М метрического ;1" 'странства очеВДiiна (см.

фор­м<л; ( 4.1)). Убеди;,;ся в справедливости третьей аксио,,;ы.lУСlЪ;,.х;"-коор ;;;наты ТО'lекm2:[(; -х;)]2 =-х;')i=l. М", м/II, Имеем р2(m2: (х;"-.По ;агая= О,Xi/ix~')i=!1=1х;.'-+х; = Ь, и исполт,зуя неравенствок гл.,уня <овского10),най;е,'~----mчто2: (X~II -x~.') (X~II-1=1чтоp'(1\I1'.

М п ,)p(1\I1' , М")(+ p(M i'2rn2: (хМ п ,).п'х у ) ,т. е. p(1\I1' , 1\11' i) ~[НЫХю'Г собой обобщсния Yf,;a ;аншп; ныи сю;ПiJ' ятий ,,;'юрди 1а'! 1ЮГiJидона Пlk)с'ГраffС'ГRаTO',feKСИМRО,ЮМ1\;1}'inтvvериогоМ1,IеffКЛТТДОff1fПРОСТР1fИ-обозна LШ'Г1ю-жество точек rn-мерного евкли ЮК1 ПрОСТрi НСТК1 Е rn'Грим"'о;"ЛЫ';iJпримср,н:ЮсС'ГRRт-Рассмо-юмпростраш тве ь rn .1.Юсf{еС'ГRО1\;1} нс: f:iJ:',fOcf{HbIX 'Го LiCK, ,,"юрди ,аты,J2" .. ,J rn КОТОРЫХ У1\овлетворЯf<>Т нерс 1 венству (Хl ++(xr-x8)2+ ...

+(J rn -хgJ2 ~ R2, назыюется т-м.гр'Ным. шаром.радиуса R с Цi'ii'ГРiJ"ТОLiЮ' 1\;10 (xi, ХЫ, ... ,x~ . Тю;iJбраюм,тiый [ар Оffредсляе'Гс':т [,;акЮсf{еС'ГRО {1\;1} Т" i'RОЗМ1)}f{ttыХточек М: ра, стояние р от каЖ1\оit из КОТОРЫХЮ некоторой точки МО (центр"дов" творяст штавенству р(1\;1, Мо )Если ра, стояние р(1\;10'riJ")от каЖ1\оi't точки множестваУД,Н: iСТТi"ряет с'Гр,ном"R.{! '1"'раR:'iiС'ГRУ р(1\;1,Мо '!1\0< R,то множество {наЗЫКiеТiЯ Omi,PblmblM rn-м.ер'НЪ/..;\л шаром.20. J\Iножество {М} точек, Рiнтстояние от ЮiЖ1\оit из ко'riJPblX до tt'f';iJ'ГiJРОЙ 'Г11\;10 "ДОRШ''ГRОр1'1Ю'ГtЮtИЮр(М, Мо ) = R, назыюеТi я т-м.ер'НоЙ сферо/J р! 1\ИУС 1' R с T~eHТР' 'м в точке 1\;10.3. I\Тш)жсг1\;1} ТО LiCIO, ',,,,юрди еаты xl Х,, х rnРЫХ уювлетворЯf"Т неравенствам IXl - x~1 ~ d 1 , IXrIx rn-x~,1,x~1 ~ d 2 , ...на;i,iRастся m-,,,,repnbl,,,, , noop)uHumnbl,", , nа-раллелеirшrедо.м.

При этом точка Mo(x~,x~, ...x~) Ha.ъrвaCT­ся T~eHTpOM :1ТОГО тn-мерного Шiраллелепипе'ГыXl. Если КООР1\инаУДiJТiЛСТfi1РЯЮ'Г СТР1Н"Х, ... ,Х rn TOLiCK МШ)}f{Сi Т1iанеравенствамx~1< d11\;1}IX2-x81 < d r ... IX mx~1< drnтоЮсf{еС'ГRО {М} на;i,iRастся omnpblmbl,,,, , т-,,,,,,р :ы,,,,' noopd'Ll :ат­'ныl •. nараллелеnun~дом"Вве1\емпонятияEonpecmHocmuт-ЮГiJпр, ,с'Гра! [с'Гнаточкипр :,НO'Ijголъnоuточки Ма . Будем. 'Называт'ь Е-Оon[Моевкли ЮК1е,т :о,тир ~ С т 'н О 'с тэтойю т О 'Ч-U(X~и' х8, .

.. ,xg,) rn-.;\Лf'Р'Ного ~вi,Л :дова nростра'Нства Е П?omnpblmblU т-,"""'Рnыи шар родШf: ацс'Нтро,,,, , в то'Чnе 1\;10.Пр,ям.оугол'Ной Орест'Ност'ью то'ЧUМо~., т) т-,,,,~epnoгo "''',nJ!u)oBa nро,тра'Н,т",'" пазы ш­гтс,я любоu Omi,Pblmbl,U rn-м.ер'Нъ/.71, i,оордu'Нат'Нъt.71 nараллелеnu­,.[8, .nс)це'Нтро,,,, , в то'ЧnеС танед1\;10.(ТiСДУЮЩ:'"У'ГR:ТЖд'"Люба,я E-Оi,ресmносm'iJ mO'fi,U:идова rn-M.' р'Ного nро:тра'Н: т",'" Е П? содсрж:'Ltт 'Н!nотОРУЮЩ.щ,,,,юуголъ'Ную onp" :т­'Ностъ этой тО'Чi, n. Люба,я nр,ям.оуголъ'На,я onpecmHocmb то'Чi,UCOd~P:JICUm 'Н~i,;оторую E-Оi,ресmносm'iJ тО'Чi,;U481П<.ШЛИЕllСКО'ГОР' ,!'{М}т-МШi}КСС'Гi1i iЮГ11 ПРiiс'Гра <с'Гна ЕrnГо'Чк;а М ,lluож:ссmван 10!М}u1i!ыlасnсiiт()'Ч,'f);()'й ЭТn()" i ' .;\ЛН():JICГСПiва,l'v1,E-ок;ресmНОС1!i"mо [К;'Ll<'TiК <ИДi 'Т1аСiСД" ЮЩlli' П11'"CI'ilву тnСУЩlOсmвуlO'Тn Нif1()'П/,()-все 'П/,о'ЧК;U,мНО:JICес'П/,ву {МТо'Ч!,а М 1) назыаетс,я<т1,1!г р а н u 'Ч Н О '11 то'Чк;о"/i .;\ЛНО:JICееит люба,я Е-ок;рестностъ этой то'Чк;u содер !!i'Llmnpi7'J-lаd iГ:JICа'ЩUIO .;\ЛНО:JICесmву {Мтш, U HIO nри­{l'vI} ,е.М!!.MHo:JICecmeo {т ъlО} пространства Е rn назыаlomс,я О т 'К р 'ь/,с с т в Оu л 'Ll О б л ат ъ ю.

ССЛ'Ll люба,ятО'Ч!,iа эт(ро .;\ЛНО:JICествавнутренн,я,я.Еслu !,а:JICда,я граНU'Jна,я то'Ч!,а .;\ЛНО:JIClOства {М ,явл,яетс,ято'Чк;ой этого ,llUO:JICe;rn,o, тnо .множ:ес пво l'v1} uа:ыоеrn;,яза,м'кнутыl"Если множество {М} пре[\ставляет собо!'; ооm сть, то множе-стно!l'vI},точекiiOЛУ'1i"!jTOrOюс !!РЩlОСДИllСllИСМмноже! тк'ш!зывается з а м,l'v1}Т1ССХ !раllИLШЫХн у т О7lобласrn!,ю,Отметим что если все точки оБШf(lТИ {М! нахо[\ятся внутриш,'ю)Т, ;рОГ11 птара. Т11 эта 11бласть называется О га н 'Ll 'Ч ен О 'й.В [\!iльнейшем НПЛ ПОШiiO, iится понятие св,язного .;\ЛНО:JICе<т ,о. П рсдвар !,!'Гельш i \!ЫПi "неnрерынойu К;Р'LlfЮЙв многомерном ПрОСТр!iнственlonргрыно7l !,Pue07l L в npocmpaHcmelOм,ы, будем, назы1,отъ ,ll,uож:е;т1Ю {М} то'Чек; этого nро;тран; тuо, к;oop)иHaтыХ1, Х2" ..

,Х rn к;oтopыx nредставл,яют собой HenpepыHъlee функ;i!,'iШ nарам,етра,У'2Мыбудем1""2= 1'2, ... ,'\ rn =!оно!ить.") ,,'11'110::::;; :::;;<Рт'Г11'!x~,...l'vI'{З.(14.2)x~J'Е rn .MOi!!iuo COeu'Llif/Llmb.1... 2 х rn пространстваpынонJ, !,PUe07J, L если существует таюш непрерывная криваям " !Х 12Хопрсде iя,\!ая !!ара!, i''ГРИLiССКИМИ уран;x~(0:),= <Р1 ({з),x~=ями<Р2 (о:) ,x~ = <Р2({З),.2) LiTO= <Рт (о:) ,x':n =Рrn ({З).С, [юрмулируем понятие связного множества. Ji.lHo:JICecmeo {}nро; mpaH;mi,1i Е rn иa:ы ,оет;сн ъlССЛ'LlЛI, ,(iыc1) ОтмеТИ;,iСТБ116что при ЭТOi' точка М{1VI}.В.А.

Ильин, Э.Г. Позняк, частьIнепринадлежатьMHOiiie-[НЫХ!'7!!о,ну3а м е ч а н и еО'! ['!РЫ'ГОС И СRЯЗН!Отметим, что ИНОГ1\а оош СТЫО назыв! ют!!',аПР!!С'Г!!! !'ГКр! ,I'Г!!!"ЮсКi"С'ГRОР!!ссмотрим сле1\УЮi iип примерЮсКi"С'ГRО {М}Еrn, ОПрСДС!Я!'АОС !ратшснисм+ ...1/1.3'i1,назыв!!еТi я rn-мерным эллиnсоидо.;\Л. Точки rn-мерного 'шлиш'о­ида ЯRЛ ТЮТСЯ гра!!ыми 'Г!!';Ю +ii"С'ГRа11\;1}TOLiCf,!1\;1КООР1\ИНi ты которых У1\овлетворЯf<>Т нер! веш ТВУх2x~--++--,,-+.. ·+f<ai2атаЮсКi"С'ГRОЮi !Яi"'Г!"'!!ЮсК;С'ГRОМн! iУТРСННИХт-мерного !ШЛИПi"ОИ1\а.Чита'Гс!Crf'!O уБСДИ'f СЯ сам, '1'Г!! мн! !жсгчек 111-мерного !1ЛЛИШ'ОИ1\!!Шl \ ГР!';то-является открытым и i"ВЯЗНЫМ мно­сксс'Гном. О'ГМС'Г11'1'Г!! m-м!'}!ный элотношением (пре1\ставляет i"о<iой з!!мкнутое множеi"ТВО.4.3;IIСОИД, ОПРСДi' !Я!'\fЫЙ со­Обш сть за f!!ния функ !.иИvcos(x 2 + у2)ипре1\ст!!Вляет i"о<iой несв-язное множествосм.

пример30п.3и14.1).В закш<>чение 1\ОГОВОРИМСЯ назыв!!ть ор е с т н о с тют о 'Чи М ш<>бое открытое i"вязное множеi тво, i"О;fерж! щее М.6,Il,онятиефугкции m-пеР4!М4!ШИЫХ, ВНСД!'"Функт~ии m переменных.Еиш к;о.ждоU то'Чк;емерно, о ев'х;лидова!т!;испоМиз.множ:есmвапространства Е rnиз!;! !тnо,\;!у{М}став \тс-я!!ск;оторо!'Ч'Ll!ЛОfЮНЯ'ГИ!'то'Чек; т­ви,соответтого!ю-р-ят, что на множестве {задана фУНI!ци-я= и(илии = .f. При этом, Ю!ii"С'ГRО {М} на,!ЫRастся о !ластън! ;а­дани-я ФУНК;Цi71t и = ЛМ).ЧИi Ю и, !'! Ю'f liС'ГС'ГRУЮЩСС даШf!!Й 'ГОLiЮ' 1\;1ЮсК;С'ГRа{М} !!У1\ем назыв!!ть 'Частным.

зна'Чением. ФУНI!Ц {и в то'Ч'х;е М.С'! !в!жупность {и} вссх [астных шаЧi"НИЙ функции 'Ll = .fназыв!!еТi"Я м.ножгством. зна'ЧеНii7l ЭТОП Функт~ии. Т!!к как точ[,!а М !!ffРi"Дi"ЛЯСТСЯ ко!!рдинатами Xl Х!,Х rn ТО Дi!Я фу!пии 'Ll = .f(M) m Ш'}J;Мi"ННЫХ исшшь,!устся такж!' обозначсниси = .f(Xl' Х2,· ..О.Пусть и'1ТОЙ фуiIю!Иии'х т ).ПрИМСр!,I фу!m псрсмснных.i"ЛУЖИТrn-мерныП=VI - xi - xj - ... очеВИ1\НО,x~. ОБШНlТЫО за f!!нияшарР!!f\ИУ!"\!с4Ю2li'ii'ГРiJ"'ГОLiЮ'О,'ГРИRасм, ,й ф, 11 ';ции Юi20ПустьiOсксс'Гном З11а LiС11ИЙ рассма­;1'0,11u =Об [,'СТЫОз,лания:r:rna~J rшутренних точек ннчерног()функции ЯКlяе'Г('я множеС'ГRО'ШЛИШ'ОИ1\а.

Множе; твом значений этоп;упрямая 'Ll§ 2.щи является по:? 1.Предельное значение функции несколькихпеременных1. Сходящиеся ооследовательности то',;ех в m-М4'j'НЮМевкли/;,ОВОМ пространст;;е E Тn • Критерий Коши сходимости ПОСЛ4'до"ап'льности. Рассмотрим в т-м;тном ;'ВКiИДii­вом простр,шстве Е П? после1\овательность точек { } 1). С, [юрмулируем сле;I}'f<>щее опре1\еление.170;ледоuотеЛЪiiо;тъ{J\;I}то'Чеnе;)nJш)оваnро;тршн,;т­Е П? uа:ыJ';ет;ллХ О ;) Л 'Щ С Uссл'атаnо'то'Ч!,а А, 'Что длл любого nОЛО:JICuтеЛЪН,й,JО 'Чuсла Е .;\ЛО:JIC'НО уnа;атъ Ho,J,jep N2) таnои, 'Что !!риN вЫ!f.Oл'Нлет'nuерш,еп-ство Р(Мn , А) < Е.

Прu этом. то'Ч!,а А 'НаЗbl,ваетсл пр е д ел Оnо;ледо"отелъ ,о;ти {М;;}. Д.iЯ обозна'iСНИЯ прсдела Апо; ле1\овательности { n используется сле1\УЮi i,'Я символика:liш= А, илиnп-+ос!о!,;ажсмЛемма';'дующ, Ю1.--+А при11 --+ 00.\!у.Пу;тъ ПО, ледоuотелъuо;тъ1J\;ln }то'Чеn е;)nJШ­дова nростра'Нства Е П? сходuтсл 'Х; то'Ч!,г А. Ттда nоследова-т<ЛЪiiо;тu {x~n)}, {x~n)},хо 'я,m я,~o':~'~u"~,... , {x~~)}соотве '!!CmeYI, ,'ЩU""nunоор)и'Н ,т то'Чсn Миnоо"д'аа"а"ааа'Наоборот еслu nr)сле~ов~m~Л:~ОС~~jj'2'{ ~.~~ Г1) Понятие последовательности точек в ,'В;<ЛИЩiВом пространств,' Е ткаждому 'lИС;У n на;'уралт,но­го РЯ",а чисел 1,2, ...

,... ставится в соотв,'тствие точ,<а 1\IIn евклидовао ;ре;еЛ}iе;'Оi следующим образом.пространства Е rn . !iозникающий при этш, ряд точе,< М 11\II2 , ... ,1\IIn...рассма, рю,аемыii н указа;шом l1Оlшдке, ;;азы;;ае'l'С<; последоваmелы{ОсmъlОточ, " ,'в,<лид ,ва пространства Е т . l\IbI бущ'м крап<о обошачать эту посл,'ю;;а'l'еm,;юс'l', снм;ю'юм}.2) Так ка,< номер lV :~ависит вообще говоря от Е, то иногда пишутN = N(s).16*[нихOfOли""Янеравенство Р(Мп , А)< с.наты точки Мn , а (аl, а2,Нt'paii('HCТltO p(l'vIn , А)<V/( ;Т (п)1 -ПустьА..

..TOfcJa50:,,1:\2 + ((п);Т 2-\2 + ... + ( Х т(n)аl)(2)\2 <- ат )с.- CLml <(14.4)с.ююрдин;стточеl,МNсходятся'! tOтветс! !!(,нно кlИС1ам([2 ... ([т' ДОКЮI\:;'М т(,'обратное "твер)кдение. ПреДШ1ЛОЖИI,l. ,то Уl,азанные tOследоваlеш.ности координат To"iel, l'v!",сходятся'твенн! 1lИслам аl, а2, ... ,а т .для110БО10 G > О можно указать номера N 1 N 2 ,... N m такие, что при11 ~~ N 2 , ... , 11 ~'itOTBeTCl!!('HHO I3l,.ШО"lНЯlотся ш'ра­венства-а2<ЕГт'... ,х(n) _ атт<Е..;:т'()тсюда следует, что при 11 ~ N = Illах{ N 1 N 2 ...

Характеристики

Список файлов книги