Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. сохранеffие\' напраШlеНf;',' ВЫПУ:\ЛОССГИ криrюй упри::;; .т=::;;Ь.'ЗШ,IОПТИМ:fЛЬНОГО ра,биения cer~IeHTa [а, Ь], ОПУ еделяемого уравнеНИЯ~IИ(14.140), обладаfiiСГ слеД\'f\:ЩИМ геомесгричес \И\' СfЮЙС ПЮ\f: сек;ущая, nрош:rJе;r'тr;чк;'U график;аf(x) с rri" "Ц'u.сса.lvШ ;rk+,{;rk}nараллел',н,а к;асатеЛ:rн,ой к; ук;азан,н,о 'АУ гlю:рик;у, nроведен,н,ой 'rере-з\ k -1,его то 'к;у С абс"ЦиссойXk.ЭТО св"йство является прямым следствие~I равенствна рис.= О, 1, ...14.4(ра, СУЖf\еffИЯ ,е14. 40) и иллю§ 7 :л. 8:Д"ка:ать, что у :лы<приб.тппкенного ра:биеНИЯi>paf:e,fi сг :а rfИ{Xk}="kУf\lщлеПЮРЯf,i11/3(k = 0,1,...\'ра :ffeНfr"M(14.140)1{Xk}близко{Х k}, узлы косг; fрШ 'О ,юследш:асгеш ,r,'(14.
iка,\71ра:~бие-}. Таким образом, ffрИ бош,-ших 71 вычисление интегр:шаношениями(14.141щтт :бкойговорят, с невя:~кой) порядка .\2. ЭТО О шачает, что при большихние(k,71), Оffредел:"еМf"е ре \урреffСГffЫ\fИ.\If//(ffРИ.\самые, чсг оформуле трапеций с р:! ;биением'" fреf\еЛЯf\, "СЯ peKyppeHCГНf "ми,'-) обеспечивает п' ,грешность, б.тпвкую к миним fЛЬНОЙ.ffаf",сги в ра; ,осге А.Н.
Ти "0-нов:!и. 1 айсfРЯН:fОТ~Iеченной В сн,н:! С.566 .ГЛАВА1~,ТЕОРИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕПРИЛОЖЕНИЯПонятие неявной функции§ 1.атематСf'аКИ\fИf[<еизадача\fИ,ееприло>[<еНИ,f[<огдаffepe\feH":ОДИТСffая'И,с ;'аЛКИfiаТf,СЯ,ШЛ,fющаясяпос ,fbl~,у,...задается lliiсредствомF(u. х. у . ... ) -О.(15.1)СЛУiадачи l'ункт~ией аРГу'ментовfкционального ура шешfЯв этом случае говорят, чтокак Фуню[ия аРГу'ментовзадана неЯ6НО. Так, например,'ункт~иясматр шаема,f в [;руге х: 2~+ у2--J1 -х2, у, . ..- у2, рас\южет быть НС:ЯfШО заданапосре, [ством функ [иона.!Ьного уравнения+ х 2 + у2F(i ,х, у)- 1(15.2)Естественно . возникает вопрос, при каких ус.ТIOвиях'ункт~ионаш,ное граВ!fение1 однозначно разреf ш\ю OTHocffTe, ю 'И.т.
е. однозначно опре, [еляет явную l'ункт~июср(х У... ) иболее ТОНКИ(f вощ ОС, при каких ус ЮВИЯХ.5Та явная функция являетсяu дuффер('нцuруе.млU. Эти ВОПР:iСЫ не являются !!POCTbТMfi .I'ак фУЮ;Цfюналы юе гравне! ше (1 :,.2),Гf;ВОРЯ. определяет в кругеше явн·,Й фуню[ии-V1 -+ у21 Kp:iMe указанной вых 2 - у2, бесюшечно мно!о [l;PY-rfifКЦИ(f. Ta[;oBbТMfi ,ШШfЮТСЯ фГНКЦЮf U = +J1 - х 2 - у2.а также юбая фуню [ияравная +v1 - х 2 - у2 !ля некоторых !'оче[; (х:,из [;руга х 2 +~ 1раfша,f -J1 - х:! - у2для остальных точек этого кру! а.УСЮfiffЯХ.
обс:с!!еЧfшаюпих однозна'ния (15.» относительнострации. Уравнение (15.выяснения Вfшроса обfОЮ разреrШiМОСТ!, opaBHe~обратимся к геометрической иллюопределяет в пространствех. у)ТЕОГ ,:м2pa[l;\ОТМО{ тиCYl1усаО, у), не люка llУЮ вВ(' ъм( м натакун,'lЛЯ кот([l;OC 1'ат(' , 10l('Ж(}l 1а(}ио,iiiе'Цuруетсячто15, )ююрдинатш:н!еСJIИО,IтураССll1атринатн+ х 2 + у2FCu, ,у)ЮСКОС'l'Иl'ОЧliРн()литичсски эт(' о:~н()ч(}ет,Функт~июи- 1 только в указанной окрестности точкиuliЧСВИ,l'нО,()лой О <р«, п 101' l'И,',;псnостъ56')то уравнеШiе(15.2) ОДlюзначно разре1 lИ\Ю относи~тельно u и опре, 1еляет е, lИнственную явнуюфuнкцию u =v1 - х 2 - 1/' при ~О иu= -Vl - х 2 -Еслиже~( 2нау< О.сфереSвзятьточкуА1 1 (О, Х, у), 1ежащуюЮСКОСТ1i Оху (P1C.15.1) то очевидно, lTO чаСТl, сферы S,Рис. 5.1жащая в любои окрестности, неодноз'НЛ'ч/но nроецuруется наnлосr.;ост!,, Оху.
Ана,lески по ОЗl1а'lает., lTO есlИ paCC\lal К!+вать функцию F( 'и. х. уточки7111,lИf'то уравнение=и2(15.1':2+ у2 -1 в 1юбой окрестностине ЯВ,lЯется о, щознаЧН'f разре~ОТlЮС11тельно 'и. Обра! иf' 1Ш1iмание на то, что частна(!роиз юдна(! ддFU=2и фУЮЩ1iF(u,1':,•=и2+ х 2 + у2-'Н,(обршщастся'НlJЛ'Ь (JJ\;lu и обращаетCi!НУЛl, в то' lKe7111. Ниже мы установим что для однозначной разрешимостив 01,юсти то' lКИ М(! обпего ФУЮ,Ц1юна,юго uраВl1ени(!(15.1относительнониенул'ЬYCTaHo1f iiuПРИШlипиальнун' роль и!рает необршще-то'Ч,r.;е М(, ·;асrrmоИ nроuзuоднои ~:.ОllУllЮУСЮ1f1lЯ. при 1,ОТОРЫХ (шная ФУЮ,Ц1lЯ, llредс lа1f"lЯ~ющая собой единственное решение уравнениянеnреръu/'Нои(15.1) являетсяд!, ,Iiферен!! ируе.моИ.В ДCLш,не(lтпемы будем обозна'lalЪ пространСТlю llере\lешх.
у .... ) символом R а ПРСlстранство переменных (т, у, . .. )с 1МВОЛО ,1 R'. РаД1i сокращеllИ(l записи и для удобства reO\leTp1iческой ил, юстра11ИИ будем рассматривать две переменные х, у.2.Теорема о сущеСТТ4JтаниидиФ;I)еренцируемостинеявной функции и некоторые ее применения1. TeopeTfTff о сущеt(ТВОВffНИИ и дифференцируеТfТОСТИнеявноii функции.ТеоремавHer.;omilЮИ15.1. Пуст,.or.;pecmHocmUF(u,1':,то'Ч,r.;uдuфференчuруе/,шо х.
у) пространства R,ТЕОГИ5i НЕЯВНUХпр! 'Ч,е,м 'час'!!!')ИЛО ?<ЕНИ5iе,ли!!!о')f.'Х;! М{!!Езнод'!!!!" дРЩЮ20то'Ч,киnО 1i?jЛ'Ь,обращае'!!!сяд!!'ПШ'Ч1iе Аlоi'!!Л",'то дл,iложиiТiеЛЫ-lО! о 'Ч,ислО уО) n?!ост?!iИ-lствfiсс{ [;lu -~I'Ч,i!.С Тi1!ЛЯ про{, любо )) до) ТN UiШ'Ч,1Ш!!!аn(н!R', 'Ч,то в< [;оnресп носп 'ь,;тO'l'1 оnрестности существует uJинстве'!!ная фунnция!;доuлетнюряет УСЛОUU10те) до,- <Ре, , У), nотораяи яuляеп !Я решеНUЕ/),! ураu-не'l-tияР(и,,у)(15.3)nРU'Ч,Е/)! эта Фун!,чия и = <р(х, у) неnрер )!(JHa и дифференчируе~м,а в уnазанно'Й оnрестности то'Ч,nи M~.3а м е ч а н и е1.В условиях теоремыможно опустить15,1ше непреРЫВi юс!'И частно!!! ПРО!!ЗВОДi юй ~~ноитогt.aiютребоваiпридетсяi), iTO()))i'оч!!е М{!юпо, шительноэта ПlJO!!ЗВОДi!аяне обращал ась в ну,! Ь не только всамой точке Мо, но и в некоторойiжреСТН\fСТИ эт!fй точки и сохраня,!аопределеiшыi1'3i!a!!этоi1 Oi!реСТiЮсти.Д о К а з а т е л ь с т в о теоремы15.1.1.Прежде всего докажем! что дляiia, юго [; О о оnр! ! ! ! ! ности то'Ч,nи(lf, у) существуетдостаточноедuнстоеннаяO~--+--,----+-~---+-_и =удовлетворяющая условию< [;<р(х:,ии яuляю'щаяся р!шеН!i!,М урш,не1iия(15.3), Чтобы сделать д!жа~i)CTBO бо, iee iаГ.ШiДНЫ ,буде i )СОПРОВОЖ[l;атьeio iеометрическойзате,iюстраЦi!еЙ.Рш.15.2геометрии(1)!.3Изизвестно,ана,iескойчтоуравнениеопределяет в пространствеRнекоторун) поверхность S (рис.
15.2 , причем, в силу усювияР(Аlо ) = О, точ!!а Аlо ле)f!jiТ на "то!! iю!!ерхности. С гео\!етр!!ческой точки зрения однозначная разрешимость уравнения (15.3)относите,10 и озна'iает iTO iасть повер::ност!! S. !J'жаща!!непосре, iственной близости к точке Мо , может быть о, шозначноСПР!fе!!Ирована на координатную п,юскость Оту,ТЕОГ ,:м2\ОТМО< тиCYlРади о lР(Лz:Лz:НШдРн:! ';,-буде>' сч(T1!положи Уiелы!Лд'n:~:нной ЩiРИ Ш(;.lШ Й В МО и и;ш 11РЧJl, 11НР!;' фун '1Ш!?!.осп'/)выТТШ''l'!i 1{, )l.;1о ,1TaT1,. 1TPl'OЧ1iе )l.;1о Тогда изча(нЩ 'О1!:~ВОД~THal11ещ ,ерывности OК;]'~(;ремы ;,б у(l'eKaeT, 1TO571рйчив( (тиншй,деfJll,я,'!i'!i'ТnOpm'1 ~:1Накаor,;pe;niЛО)1! ;;m('Лi '!!лnЭту окрестность мы можем взять в ви, {е шарадостаточ~но >lа.ЮГО [iаД1!уса с це11Т1JO>'l'ОЧiiе )l.;1о .далее 1Ю~южите.юс' ч 1СЛОнасто.
1,ко >la.чтобы iшждая из TO~чек(~ - c,!i:. у) иC~l+ c.!i:, у)этого достаточно вз пъ с меНЫТIllнемчтоприжем братьэтомснизуслежала внутри шарарадипса шара О.)ограниченокак >тодно малымe10лишьнулем.([I;ЛЯnОД'lерк~имыMO~по будет использованонами ниже.Рассмотрим'уню~ию F( и, ,у) ОДН'iЙ переменной на ce1~оменте-сгеометрическойиэто означает,(см. рис.F(u,x,y) B[I;O.nFоВОД;lая ~и и, :г,+гдао,то фПНКЦИl1поскольку этасст "с'нтаЗНШ'lеНUi'Кон'Цедалеет.
е.точки;рения1КЦИЮ трех пере 'lеш lЬП:111)1115.2 .Так как произ~оlЬHa на сегменте и -поло;'+'осuозрасrnаеrn на это>,сегменте.'уню~ия равна нулю в середине=+ои. х.ио~ и ~ иоои), тона ле; О.М 'Концеи. :г,о TO~YKa;aHH'i1o;;л,{'ееrn оm.ричап i'ЛЪНОiположител ,ное зншч,;нuе на nраоо.Муr,;а:юн' юго сегмента. т. е.[iaCCMOTp1!фuнкциии-с. х. уии+,:Г,Д1iУ::переменных х и у. т. е., выражаясь геометрическим языком, pac~смотрим'унюtИюF(u, ,у) на двух плоскостях. параллельныхiiООРДl1Натной ПЛОСiiОСТИ Оху, пеР1iаl1 l!З которы:: ПРОХОД1!! черсзточку, а вторая - через точку. Поскольку F(M1 )11,F()I.;12 )Оф::НКЦИl1 F(u, :Г,непреРЫВ11а 1iСЮД:: в1аре О .то по теореме об устойчивости знака непрерывной фуню t.ии на>указанных плоскостях найд::тсяmаr,;иеor,;peimHOimuточеки М2 , в пре[l;е.1ах ЮiТОРЫХ l;уню~ия F сохраняет те же знаки.что и в ТОЧiш::)I.;1М2 .
Эти oKpeCTHOCТl! >lbТ може>' 1iЗЯТ1, ввиде открытых квадратов с т~еНТРа1\fИ в точкахи М2 и Сдостаточно >lа.ЮЙ СТОРOlюй 261а15.2 указанные Юiадраты заштрихованы). Тот'акт. что'уню~ияИliСТОЯННЫ:Й знак на указанных квадратахF(u. х. у) сохраняетана.l:итически Bыpa~ТЕОГИ5i НЕЯВНlF(i; F(i;lXило ;<ЕНИ5iЕ, Х, у)+Е.х.у)при>IXIyylпйiИНИ;6(15.4)НиМ\: \:(;.ловию: GОЗЪ,Мt,М О ('?ТШЛ'!, ,маЛ1i{,М, 'ч,'!т!.оБыl оба уl;;азан:ныlxn'Квадрата леiif'али в'Нутри шара(это заве[l;ОМО можно сде, [ать,iiбо uеНiЛЫ Кiiадратов )1.;1)1.;12 '1ВЛ'1Ю 1 'СЯ 1'НУ 1п еН1 11И 1 'ОЧ <а,,1шара n ,При таком выборе л об~я'~о~ка ~po~~pa~CT~a (и, ,у)КОО; динаты которой" дов [етвOf яют неравенствамоlu -~I6,у-у(15.5)Е,боде! iежаТi; iiНУТрИ шара П.
с гео ,iei'p" iеской TO'iКii зрешiЯнеравенства (15.5) опре[l;еляют открытый прямоутольный параллелепипед с пентром в точкеле,iЬНЫМИосямкоор, щнатх,Nli 1уии со сторонами, паралСiютветственноравными2Е. 2626. Этот параллелепипед ыоБО'3iiа'iать СИ"ii!О!ом П. Так как параллелепипед П лежит внутри шара П, тодРвсюду в nараллелеnиnеде П ) nроизвод'Ная ди nоло,?/Сителъ'На.I<pO\ie того, в СiШУ HepaBeiiCTB (15.4){(ame.ii,bHauа'Ни,?/С'Не.лiос шва'Ниии[KЦНi!ПОЛ!!и, х, уHi'ume, ibHauаоm.риверх'Немос'Нооа'Нии П.Докажем теперь, что уравнение (15.3) о, i.Нозначно разрешимо относите, i;HO и, еефОiiКЦiiЮ F(u, :г,paCC\iaTpiiВaTb ЛiiТТП;ДiЯшаченийу лежащих внутри параЛ,iелепипеда П.
Уясним, что требуется [l;оказать. Пусть м' (х, у)С! ранс!iia, координатыОДОii ii'оИначе iОВОРЯ, пусть(х, у) --i'i!Oiлюбая точка прояютHf;paiii НС! iia,,1< 6.(111.6)л обая точка ПЛ 1 iСКiiСТИ Оху, лежащая внутри квадрата с пентром в Тiiчке. У) и со сторонами равными,f6. Требуется Nжа;ать, ЧТii !ля КООР[l;инат,у точ-М' найдеТС>i,'t'ь-Eиiip [то,,1 ,ди'Нстос'Н'Нос, iИСЛО и из iiНтеРiiала'~+E такое, ЧТii F(u, ,у) =iеометрической ТiiЧэто означает, что люба!i щ Я"iая, iiapa, [еiая оси изреНИ!iи пересекающая параллелепипе,П, пересекает поверхностьBHOTI)!i пара, !Ле, iешшеда П в ОДiЮЙSi'ОЛЫiО В одной ТОЧiiе.)Зафиксировав значения х и у' у ювлетворян пие неравенствам1(111.6), рассмотрим фонкuию F(u, :г,;1ента и наВКЛЮЧiШ открытые квадраты, лежащие вег" "СНОВiШИЯХ.cei-ТЕОГ ,:м2о\lCНie и-\~О СУ!'/},~'/},+ С"н;]OTPC::~T:e М{ M~, где А1{тZ"iКИ iiСРС:СС:ЧСН !я пря\юй, ii1Ю~ХО[l;ЯЩ(:Й ч( :р( ::~ точкуи п; ,ралл( льной (,(ири(.ШfЯ ,iИ пар;]ллелепипедадУ152)Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
