Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 103
Текст из файла (страница 103)
юм R' пространство(15.13)перемеi+[ЫХ Х,Х2,···Хп 'Рассмотрим 111 фунюшй F 1, Р2 ,..., СТО'iЩИХ В левых чаCT,iX систеМiJ (15.14), и составим из чаСТЮJХ iiРОИЗВОДЮJХ этих:3581СИСТЕ\IЫфункций СЛi' "'ti>щий \юределит> ЛЬ'Б\' се>называтьЯn06u 1дРдНдР2дР2;)и1;)и2дРrnдР711дРrnди1i >и2ди 711о;те,селител;дР(15 5)вксаоnределuте.'iем5.15), .
..(или кратко лn06uа'l-iОМ) <!>\'нкциI1 F 1 ,ременюп;)~,пе-'11т И кратко обозначать си> вола>'111, '112,...Имеет мест;) сле,,\'j, ,щее за> ечател ,ное j·тверж,сение.ТеоремаФУ'lln'ЦUЙ15.2(обобщенuе теоремы15.1).Пусть 1111('111,'112, ... ,U т ·Х1('111,'112, ... ,U т ·Х1дuффере'l-i'ЦUj yeMыв1 16)О ,рест'l-iостuто'Чкul'vIo('11 ,nрu'Чем 'частныe про'112, ... , m , Х1, ... , Х n ) nрострш!стваuзi10д'l-iыe этuх фУ'l-iк'Цuй ПО nepeme'l-i'l-iыллл '111 '112, ...
, '11т 'l-iеnреpы},, >,! в mо'Чn, Мо . Тогда. еслu в то'Чnе l'vIo всс ;/iУJfn'ЦUUft15 • 1{;···)6О ji iu~аюrnслв'l-iУЛ'Ь.аD(P,Р2 . .. Рт ))(D Н1, Н2"., 'Н 711"'.>··.·06"'."О'" .'.'. ,...,'"оm-'iu'Че'l-i от 'l-iУ'iЛ, то длл достато'Ч'l-iО ,лла'iЪfХ nоложuтел'ь'l-iыx 'Чuсел 101,102, ... ,10т найдетс.)) таnал оnрест}юстъ то'ЧnuоМо, ( Х1,···О)...хnnростра'l-iстваR' ,...'Что в nред'l-iостu СУlчествуют едlшствеJf'l-iыe 111 фtj!!n'ЦUЙудовлетвор,;!.ют !Jсловu!н'1'1111~11<иелах этоu101, 1'112о(15.13),Oi'jJeCrnnoтopыeft 2 <102, ...... , IU m - uml < Е т '11 Ш!'iлютсл ре'ше'l-iuе,лл сuсте,ллъ! ура !'l-iе'l-iUЙ1. 14) nрu'чем это рсше!!1t> Henpepыв ю '11вуказа'l-i'l-iОЙ оnрест'l-iостu то'Чnu l\I6.1) Карл Густав Яков Якоби - неме",кий математик3а мii,каза,а н и евытп,'При тnт"рремут"ррема5,1,Ш\i' в эт"м ,луча,' Ю'i"биаiобращаеТС'i в ч;,стную "р,шзв,(15,1,Д О3ал ьперехi" ит в15'т в1/д111е ом ыд"м методом мат,'М;iТИЧ",кой индуюiИКпр(не-52= 1тnт"рре;;аПОЭ'i рму до(т;г '''шо, предпй южитеор' 'М(' 15,')Сiii)аве,лив,)f i Лii систеМiJ m - 1 Функци,шальн JX уравненийдоказать Сiiраведливость 'той теоре;;ы и для систеМi m Функциональны < ураiшениЙ.
Поскольку. по пре,шоло +ieiЮiОiiИаi~ -ОТiИчен от н)'ш в точкедНдР1дНди1ди т -1ди тпдJ m -1прrn · · · · · 1дрrn · · · · · 1ди1ди тп -1nРrnдРтпди1д 'rn-то хоmнl'vI{i,(15. 7)диnРrnди тпi['ы одШ-l ИЗ миноров(т -l)-го iЮРiiдка 2) это; О якобиана отличен от н)'ш в точкеМа .ограНИ'iивая общности.сем считать. чтоТОЧ!fе МаОТiИчен от НУШi обведенный рамкой минор, стоящий в леiЮМ BepXiieM (ТЛУ. Тог,са.силу пре,шоложенияуравненийiiepBbIe m - 1систе;;ы(15.14)ситеЛi ,но Иj И2 ••• ,И т - . Тfчнее,ложитеш ,ныхност!чиселЛI,f/ ( оТ' )чки lVJ{!( И т , Х1т-1101 102 ... ,Е т -1оИт ,ЛiiXj,оХ2,. .. ,оразреШИМiюстат,)чно маЛi ,IХнайдеТСiiцространстватакаяR fIокрест-цере;;енных), что в цределах этой окрестности оцределены15.18)котор!,ieудовлетворяютУСЛОВИiiо- Иm ствеНЮJ'Ет -ИявляютсянеiiреРiJВЮJ!пр"али iИИэтии дифференцируеМiJ!("словирешение!един-системы перiы!; m ураiшений (! 5.14).Подстави! найденные Функции (15.18) в левую часть iюслед-1) При этом след!'ет !'честь замечание 2 к теореме 15.1.2) Напомним.
что МННОРОМ (7П l)-го порядка данного определителя 7Пго ПiiРЯ/l;ка па",ЫПi1СТСЯ ОПРfI\СЛИ'Т"-l)-го ПiiРЯ/l;ка, 'ю '!'ЧСП ,ЫЙ и",данного определителя 7П-ГО порядка вычеркиванием одной строки и одногостолбца.:35ЮСИСТЕ'ЪIура шенийЭ'f (тм лев;ш часть последнего из(15прев! У1щает' я14),Н т,-функцию, заfШСЯЩ\'},1 только('/},п, ,,'/},П', Х! ,'/},П1.).:!п)('/},;п,1.:!п)5.19)функцию мы обозна'fИЛИФ). Тауим образом, поG {еднее из уравнений систеМfJ (1,ffРИВОДИТ нас к уравнению15.])0)в силу равенства}faTbФ(и т Х1 ...15.19)как слопкнуюТуllИс}юиХ;1\'ожно расс' атриaprYMeH'foB.Тог,;д Пjиме}}Яятеорему о диффереющруемости сложной функции, MfJ \'оже'\'тверж, ;дть что функция W(и т , Х , ...
,Х n) дuффеj е'l'щuруе.лла!!еnоmорой оnресm!fOсmи mo"lnU М;'(и т Х1 ... ,сm!\а R". Раве}}ство (15.19)ш>след}}ее из \тав}}е}6з}; fЛяет У'! }fерпкдать,бы доказатьи это\fOвить,nросmрш!15.1 ) по-Ф(~т, Х1 ... '~n) = О. Поэтому, что(15.20) ПРИ,fеНИ,fа теорема 15.1что к уравнениюравнениеразре}Ш'fOотноситею ,ю>'!ТО частная произво,итfOстаТ(JЧНО \'стадФ"ая -д. непрерьшнаотлиа отНтнуля В точкеl'vI6'.Чтобы сдеfать>то, Вf,fЧИСЛИМ ука ;анную част-произво,14)П(J,сстаffИМфунющи(15.18),сиф<!>е!еНЦИj\'е'... + д"тп-;д"l д 1тпдР771 - 1 дФ;~ ди 771далее ПjО,++ дРтп -;...\TaBffefсистемыffOлученнче fIpИ этом тождествадР1дР1 П Ф 1----пеРffЬrе '111-1являющиеСjf решением этих уравнений,дди 771 ·········1Пф771·········1'Н тпит .15.21 )д"771'771_11{fO+ д~771-1='ПU тfU [р\'ем по и т ра {енС'! fЮдФ"i \и тп(15.
9;.5.21 т - 1Пол; 'fИМ(15.21 'т);{МffOпКИМ теперь paBeffcTBa15.211 )-(15.21 т ) {а сои! ffeTCTB;'}iiщие аюебраические ДОfюлнеНII1f,~2,'" ,~т ;ле' ентов fЮGfеднеfО СТОifбffа якобиана (15.1-) и ПОGfе>того GЮЖИМ>ТИ ра-Так как сумма произ!;еде Е!Й элементо!; да!юго столбца определите.'Ш на соответствующие алеi)раические допо.
шения элементо!; этого (друго!о) сто,!бllа равна опреде'штеШ i ' (ну'!ю), то!ШЖ;l,ая !ша.f.ратная ско, ,fШ равна нулю, а f(руглая с шбка равнаякобиа!(15.17).I акимоiiраюм, мы по'!учим(15.22)ЗдеСl, сим юломчеСfше6.обозначен l!кобиан(15.17)а 6. т -алгебраиюполнение последнего Э.'!емента после;lнего сто.'!' ,ца, которое со!;!!адает с (lШЮРО\f, об!;еде! ым ра\fКОЙ ш по пред!юложению. отЛ'U'Ч//-I,Ы,М от 'Нуля в точ (е lvIo . ПОf.елив равенство(15.22) fa,око! fател ,но найде\15.23)Форму,!а(15.2:5), с! ра!;ед шваl! вTO'fKeМ6', доказываетfe!рерывность частноП ПРОИШО;lНОЙ ~\II в точке М6' (и()о 6. и 6. тdiimсостоят из faCT! ых произ!юд! ЫХ функций... , и т непрерывных в точке Мо ).Кроме того.
и.форму,!ы((15.16) 10Гс .23) вытекает. что'U , Н2, . ..д\llв ТОЧf(еОТJШ fa от ну.Ш! (ибо якобиа!ОТЛИ'fе! от ну.Ш!TO'fKeI ем самым мы ;lОfШlа,!и, что к уравнению ( 5.20) можнопримеНИТl, теорему15.1.СогласноноП теореме!ля ;lостаточно малого положительо... ,оно!о чис!а Ст 1айдется такая окреСТ!ЮСТl, точки М6хnпространства R', что всю <у В пре, f.елах этой окрестности определена ФунКl шяKOTOpal! тдовлетворяет тсю!шюоl'U m- 'Uml < СтИ я!; шетсяналичии ного условия е;lинственным непрерывным и ;lиффе~реНllируе\реше!уравнения (15.20). И\fеl!фующии (15. 8) являются ре111ениями первых 171 -ний (14) nри любых 'Um,;Ч,...
,1I nвиду. 1ТО1 уравнеиз окрестности точки М6',585{'И(ТЕ\IЫи ВСТ;ШЛЮiф\ [1КЦ1!1;lЙЩ,ННУi{' ф\ i1КЦ1iЮ,заВИСЯiСРт (Х15,24)(15,18,толы<о (;т т PfOMfOHHLТJ< Xl,Х nмы получим,Х n,Х,Х n'Um-l(Эти фующии мы обо шачили символами, ... ' ! m-l.) 'Георема о iиффереНllируемости сложной фуюшии ;laeT право утверiiiдаТl" что КЮiiдая 1,iЗ ФУНКlшй lPl,... lPm-l диффереНllируе>'iав Оi<рестности точки ]\.;16 о , . . .
• ~n). Таi<ИМ образом, мы окончательно ;lОiШ iали, что m фун шийщ = lPl (Xl,Х n,и2 = СР2 (Xl,Х n,У;lОВ'iетворяют в окрестности точки< с , ... , IU m - ~ml < Ст15.25]\.;1/; условиям IUl - Ul<представляют собой при 1аличииэтих условий е iинственное непрерывное и ;lифференцируемое внекоторой окреСТiЮСТИ точки M6(~1 ... ~n реше ше систе>. ы(15. 4).Остаетс>! доказаТl" по ф<i1КЦЮi (15.25) ПI,едста Шii i;T собойединственное решеiше C1icteMLI 15.14), <Довлетворяющее <с>юiiM Iu - '~jl < С! ... , IU m - ~ml < Ст (!достаточно \iаЛЫJ<поло.жительных с , .... Ст)'Пре,лоложим, что, кроме ФУЮi iИЙ (18.25), существуютеще m ФУНКlшй, ..., ...(15.2 Г/),Х nтакже являющихся реlllением системыщхусловиямlUl~ll<Cl,...(,14)и у ювлетворяю--'~lm <Ст'Тогда, в силу преДiю'южеiШЯ ИНДУКlши, перible-11ций ( Г;.25) пре.iставляют собой ПРИiа;lанном и т = '11т е.iИНственное и Nlфферент~ируемое решение системы первых (т -1)ур ШНfOний ( 5,11при з;щаf fiJM '{'т fOДИНСТВfOнно!' рfOШ!'fсист!"fПШLТJ< ('т - 11 ypaBНi ниП 1514) Д;JfOТJЯП;;;МИ(15 8) ;;,fiИМ iJбр;; юм, справfO ливы СiЮТНОШfOНИЯХ,( 1.;18'\, "J,Х n,KOTOPLIJ< ФJ, ...
'Фm- - те же функции, по и (15.В такт, случае ЮG fеДfiееiеfше (15.и СООТfюшеfШЯ(EJ. 9) позволяют нам утвеРЖ;lать. что и т является е,f.Инственным реfffением уравнения (! ГJ .20) т. е. и т = и т .При наличии равенства и т = и т ИСf,азувытекает, по U = 'UJ,(15.18\Тео; ,е\ а2.15.2соотно ffениПит-! = 'Um-J.18')и... ,пош ЮСТЫ J ' доказана.Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредся"Вом СИС'ЯJ"cмы функциональных уравнений, В этомпункте мы преДПОЛОЛОIМ, что выполнены условия теоремы15.2,и займемсявычислением ЧJJСТНЫХ ПРОИЗВО"шых функций (15.2''1).
ПО"iСТJJВИМ функциисисте\iУ ураШiеiiИЙ (15. 4), реше iием (<О! орой ЭТИются, И ПРОf\Иффет i'Нiшруем получившиеi"Я ТОЖf\;;ства по .Т/ПолучимдР! a i1д,1"1 д11 тдР!О- + . . . +----+-=д111 aXlО11 т aXlaXl'i(! 5.16)a1''m д11!дРт д11 тд11 т, aXlдРтaXl+ . . . +----+--=д.т/РавенстваО.представляют собой линейную систему уравнений от,}111il11 m~Н ,сительно т, неизвестных дп ' ... , дх! . Определитель этои системы яко(15.2i))биа"(! 5.17) отличен от нул", R iif,рестности точ"и А10 . Стало(15.26\ имеет еf\инственное реШi ниi , опреf\i ляеМОi' формуламиD(, ...систе\iаКрам;;ра:,Рт )ii11kD(111, ...
,11k-1,Xl,11k+1, ...aXlD(F1 ,F2, ...,Рт )D(111 112 •...11т \11т\ырал.:ения для частных производных второго и послеДУ'fiШИХ порядков 1), шфференцирования этих формул.можно получить посреf\СТВОМСущеСТВОВ;;НИi' этих частных ПРОИШО,,;ных О ii'спечивается f\ОПОЛНИтс льными огранич;;ниями на(1''1.16).587[ABIiCIiMOCIbВзаигйногерног оМо(ходнозначноепространства.отоИра) ,гениеГасс ,10ТРИМдвухнекотороГгГm,-мно)кествг"гресТ1 [' iстиТОЧ1ГИ,Х) т функций[,и1(Х1,и2,)2(Х1,15(Х1, ...итРеМ см;;триваемыеХ т,),фунюшйЛ)ХтосуществляютотоГ;рюьтниг'ука iаннойокре;' )ностиМО на "е1;ОТ' ;рое iiщ;жестш; {lV} m,-меррого простра,,~ств;; пет г'менных и1 и2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
