Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Экстребудем 1Ш')ЫК1ТЬчтобы отли-чить их от (без;!словпых) экстрем;!мов, из; чеппых в§ 6л, 14,ПРlшедем пример заiД'Ш об ОТЫСIiании '}!СЛОЕНОГО экстрем;!ма.требуется пайти экстремум ФУilКЦli и = х 27Р при+'}!словиш что аргументы этой фун iЦИИсвя')И х= х2- 1 =У+У - 1;!jiаIшениеО. Таким обра'ювлетворяют '}!словию,экстре,(lТфупкции =ищутся '!!Р '!!Л;Т(),6Cfil nЛOi !;()сm'!! ху, а лишь 'Нл nрл нойдлii решешlЯ iюставлешюй за,iДЧИ ПОiстаВli/, в1;!НКЦИИ 'и = х 2УСЮВИii свя')И Х+ -+ у2значение У, опре,i,еляемое из1 = О.
Таким iiVTe,([,,1 свеiюставiе1ШУl1( задачу к задаче об отыска,р' бе)ус ЮВПОlО экстре,(lУ,(lаФУilКЦli= 2х 2 - 2х +Послеэкстрем;!м находится без труда: ПОСIШЛЫiУ и'= 4, ТО фУПКЦИii= 2х 2 - 2х + 1 имеет1/2 при х1/2, Таким оiiразом, фующия и =с ус ювием СВiЗli х= О li//leeT усювпый liIIli//lY,(и = 1/' в TO'lfie/2,О'(метим, 'ПО беЗ;!СЛОIШЫ(\ минимум=4(х - 1/2),миним; м и =ФУilКЦli= х2+юстиается в точке (О, О)в точе,(l, даже из ilаглядпых сооiiражепий (рисчто миним;!м фУЮiЦИИ и = х 2+ у2равеп и15(6)=О.очевидпо,графшшм IШТОРОЙ слу'китiiараболоид вращеПИii) па всей ПЛОСКОСти ХI! пе совпадает с ее+мипим;!мm ilaхУ - 1Переходимо; (щей пос [ано:ке задачи о;! отыскании условного экстрем;!ма, ПустьнаiПИ э (стремум фУЮiЦИИ т+niiеремеппых,х niти паличииm '} словийФУilКЦli(15.40)связи, ..., ...ПреЖiе,7Iт), ...]'n, У1, Yii1О.]'n, У1, Yii1О.Bcelo vточпим само ПOIытие услоВlЮГО(15.40) при паличи свя)ей (1",.41).
Бу(15.41экстре,(lУ,(lаговорить,595'KCTPE\IY' .5пр'/),(15.40;чт.О(15.41'I,,},Л' гт уело(ХIо'КреГi"'iШ!'!I,n!'!,ч,!',''/),'КоI.е ФУН'К'Ц'/},JI. (15.40) Н то !'КС J\,;10 янлш те. {, на 1.60 !iJШii.,!' 'Ш'/},.меНЪШii. !t)ее аНI1 че'i!'/},il но псе,!' т,о'!'К;!!х. 'к юрд'/},'iшт,ы 'К:О'!!,ппы,!' !!довл;т,вОРЯlОт, !!словu!!.,!' св. {,ЗU (15.41).Для наХОЖ.!.ения условного экС'! реuмума фупкци(Е.40) !!ри па . tИЧИИсвязей (15.41) пре! юложим, чтоции,СТОJ!щие в левых част"х равепств!ифференцируемы в некото15.41),рой окрестпости рассматриваемой точJ\,;10 причем в само(\ точке J\,;10 .
[астпые !!рОlзводпые ука',аШI,fХ Фупкцийкипо Уl,. ..Ут непрерьп ны, а яко/шанD(F1 . . . . ,Fm )D(y! ... ,Уrn)хотли ,ен от нуля.В5.:\такшдляслучаедостаточновСИ . tУJ\,raлыхтеоре.\Рис.поло ки15.6теЛНIЫХ чисел"1, "2- ... _"т]\.;16 ;~1,'" '~niiрострапства iiеремеппых (Хl, ... ,х п ) что ВСЮ-па!\! !.ется така" окрестпость точкиду В пре !.елах этой окрестпости QtiредеtепыФупкцийYI =с.рl(Хl ... ,х п )!!2 = с.р2(Х1".. ,Х n ),ювлетворяющих !'СЛОВИ" \ IYl -у1< , ...
,(15.43)IYm - уii1<m,!В J!IОЩИХС" при tfа . tИЧИИ Этих усювий едипствеIIIIы.\дифференцир!'емым ретттением системы ураiшенш'\ (15. 1 . По !.стаiШЯЯпа!\!еlшые фУtfКЦil (15.43) в (15.40)сведем BOiipOC о с!'щеСТВОКс! Р' VСЮВПОrО экстремvма в точке МО у фупкци(Е.40)при наШI'iI~И СIШЗе!'\ (15. 1 \ к "вопросу о сущеСТВОЕании i iезусловПОrО экстремума в точке М6 у сложпой фупющи ар} ТlептовХl,···и=ХN, ...= Ф(Хl ... ,х\,).(15.44)<УЩЕОСТf (,вании"n;стр(J\,rYJ\,raМЕОтодами, \!каза! шыми в§ 6 гл"!(la СВСДСПIЯ услошlOГ(! "iЮТРЕОмума кализ()вана в j "аимотрснном ВЫТТТЕО частном'к:AtЪtустан! !f1итьпоМЕОрЕОреше}!ulОШ'(!! iХ()ДИМЫ('С'ш '(реусл! !f1ИЯс\!ществовапи,! \!СЛОВПОIО экстреМi!ма в точке Ма .
Итаюiii!CTLФУIIКЦ11Я (15.40) диФФерепцируе;lа в точке М;!имеет в этойточкеэкстреМi!М при налIНИИ Сfшзе!"j (15. 1) или чтотосамое) ФУЮiЦИЯ 15.4) имееfTO'lfieбеЗi!СЛОВНЫ(\экстремум. Согласпо устаповлешIOМУ в § 6л.\!словием беЗi!СЛОВПОIО экстре!;lУ!;lа ilн!пкции ullеоБХОДИМЬЕ(х , ... ,х п ) вточке М6 являетс,! р шепство пулю в этой точке !l1ффереlЩ11алаэтой ф\!пкциидФdu = -д dxХ+ ... + -дФdx;; = О,(15.45, ... ,С11ЛУ ипвари;штпоiiepBOl о дифферепциала и равепства (15.44) фОjМi!тождествеппое ОТПОС11те""lЫЮCTll фОР!l,у (15.4(;)!"lOжпо iiереitИсать в видед/д/Р/Р/du= дХl dx +"'+дх n dХ n + дij1 dУf+"'+д(fт dyrn=(15.46)(В этой формуле все частпые проишо"le берутс,! в точке Л1;).)Подчеркнем, о"шако, , по в равенстве5.
6) dYl, . .. ,dyrn предстаВЛiiIОТ собой !l1ффере'Щ11алы фупющй (Е.43), так что равепство (15.46) ,le ,шл,!ется тож"!"еством ОТПОС11тельпо dYl, ... dYm.Предположим, 'ПО в \! iаfшения связи 15. 1) мы подставилифУ'lКЦ11(15.4;\), ЯВЛЯl;ifli11ес,! решепием систе!"(Е.41).этом ураШlешш (15.41) обратятCi! в тож"!ества,мы iЮЛУЧ1"",дифферепцируя эти тож!"ества"дF1дХl+"'+аХNdY1+aYlдF1=дijтО,(15.47)+ ...+a- dxn + aYlХndY1+ дРrnдУт=0.Так как яко' ;llап (15.42) по пре! юложеП11Ю, отличеп от 'lУЛ'!в точке М;) то 113 ,ипейпой систе'"(15.47) dYl ...
dYm 'lOгут! ,ыть выраженыTll эти выражепи,!линейные ФУЮiЦИИ dXI , ... ,d];n. Если на(\-iюдставит,; 11Х в(15.46),то, собирая в iЮ-) При этом, конечно, придется подчинить функцию (15.40) некоторымусловиям.5975л\!чfOНН!равсН( тв(' ЧЛfOны, С! ;ДfO) ;жащш'!J\'I,d:l n,d:!"мы :'УДfOМиметь(154;3)dXIгДi''jСРСЗоб; <зна 1СНЫnфун <ции ча( тных щ)()изр; >Дныхкак в paK1HCIRC (ЕА86иси.МЫ:!"А= О;nepe;;t!;... ,'!!'!!Ы:Г,А;;,; lак,ФИIУРИРУЮlтоИ'незаэтогочтоПрисоединяя\!казанным раЕеНСТЕамmУСiOВИЙ СВi1З11 (15,41),{iO 1УЧИМ '!jeo(/xoJ'UMble i/СЛО6'UЯ сушеСТliOвания !словного ЭКС'l рем!!ма фую<ции (15.
О) при наличиисвя)ей (1'":,41) в Вl! 1;8=1РавенстваО,:.49)...(15.49) iiредстав щот собой систе/1У+ n урав 1еm + n lШОр 1янат ТО'1 <и ЕОЗМО ;кного ЭКС'l ренийщя определениямума." 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа.ПриизложешIOМ\!СЛОВН010iiepeMeHHLIXх,...выше/1етоде ОТЫСК Ш1!Я точек вО')можногоЭКСТj!ем!!махnХ1 ...мынарушилиХNС!/'1/'1еТj!ИЮвотношенииУт' Часть иЗ этих пере/1ен 1l,!Храссма'! j!Иваликакнезависимые,остальные-как функциэтих iiepeMeHHLIX. В ряде С1учаев это приводитк усложнению lъп<лаДОl<. ЛаГjан ;кем предложен метосимметризирующий рош, пере/1ен 1l,!Х.
ИзложеШ!IО этого /1етодаiiOСВi1щен наСТОi1ЩИЙ iiYHKT. У 1iOЖИМ раве11ства (15.47) соответственно на ПРОИЗliOльные (и пока еще неопре18ленные) постоянные1iOжитеШ!'\'1...,\,т. Нолучен ll,!е после vмножеНИi1равенства сложим по'шенно с равенС',вом (15. 6). В"реЗ!!ЛЬ'lатеiiOЛУЧИМ С1едун!щее равенство:дЧFdxa:i:lГ1;8+ ... + дЧFdx;;,+ ддЧFYl+ ... + ддЧF;;У!dYIdYjj;(15.50)C!/'lВOфунщия(15.51ЭтуфУНКЦИЮ1,1в1Д;;1Ы1ейшембудем11а )ЫВl!TЬЛш'ршн,жа.;'штая, 'ПО ЩЯ ф\!НКЦИЙ (15. 1) выполнены условия, сформулированные в iiреДЫ1;ущем iiYHKTe, и что фу 1КЦ1!Я15.40) диффереНЦИj\!ема, вы"ерем множители '\'1, ... ',\,jj; так,чтоб,! выпол шлись равенствадЧF = О.ду!(15.5:"завеДОМii м; iЖНii cДi латьс ибiiЛИНЕОйной сш15paf ЕОНСТЕаЩ)ИВiЩЯТКTcMi c+ л m дРтду!О--,опресiселпе (Ь которой (якобиап (Е.42)) отличеп от ilYраЕенстр 15Бn равенство (15.50 принимаеf ви. В си ,у(15.53)ПОСКОiLКУ iiрИ сделап;Т1""licclX Вiссlше iiред юложепи (Х переilешыle,;Т n ЯВЛЯЮТбi неза6'UС'UМЫ,JvШ, то из равепствак(15.53)за-,чтодФ-;:;-- = О,ИХlПрисое15.41),ilЮi к уравпе шяммы получи i с JCTeMiдФ...
,д'Т'О.o:i: n... '-дехn= О.(15.52)(15.54)n + 2т (равпепийдФ... ,ду!Р1 = О,+ 1n(15.54)ДЛЯ опресiселенияnэкстремумаiшожителей Л1.. .УСЛОВИ(iCBii3lJдФ = ОдУт,Ртс15.55)=0fШОр iинат точек возможного (СЛОЕНОГО...,Л m . Практически при реализации этого метода поступают следующим Оi1раЗOJ',·I .. 'остаВЛЯlот фУПЮf.Иl'i Л"lрапжа (Е:1)шя этой Фупк щи '!!Лгодяm'П'О'Ч/К;'U 60З.МО:JICного беЗijСЛО6НОi:О э'Х:С'!лре.мусма.множителей Л1,iiYTi.ОТi.lскаПИiiетс" заКОППLЕуравпепий... ,исключешlЯщншлекают условия СЕЯЗИточек В03 iсШЖПОlО УСЛОВПОlО(15.).ТакойэкстреiilУiilа (iВ+ибо оп iiРИВОДИТ пас как раз к с JCTeMe n2т:).
ПРlJiсlер ПРlJilеilешlЯ мето (Д iюжитеiей Лагранжа (1удет3.paCCJ\oIQTpeH в п. 4.Достаточные условия. В этом пун !те МЫ рассмO'f римодип и3 путей допошштеiЫЮГО исслеюваПИii точек вО')мож юго(/СЛОВПОlО экстреiilУiilа. ПреДiЮЛОЖlJiil, что в точке МО вы юлпепы пеобхоУСЮВИ(i экстреilТlа (Е:5).Кроме того, ЮiЮiнительно ПОТj:еiiуем двyr!раТНОЙiифференцируемости(15.40)и(15.41)в окреСТiЮСТlJ точки МОчастных ЩЮИЗЕОДНЫХ)ИЙilепреРi.IВНОСТИ всех:i_rO порядка в самой точке J\,;10 . Из fШНструкци ФУilКЦlJ Лаlрапжа (15.51) очевидпо, что nри нал'U'i'U'U!6ЯЗ{'й, (15.41) экстреilУil(.I Фупкции (Е.40)ФУilКЦlJ Jыlап--5995жа (овпадаЮ'fтогда из рЕОЗf льтат()в1)ЧТli для по,§ 6 гл, 1 выт( (а("!ия д'''fаточн()г" У(~ЮfШЯ Эf(СТРСJ\,rУJ\,rа в ТО'1У фупкци"ди {,Щn'/J140М)iiрИ 11а .
1ИЧИИ (ВIlЗСЙ (Е,41{,I[,}.Л 15,55)IIЮТВСТСТВИИр( ЗУfLт"тами §мы М' ')КЕОМ констатир, ,рать наличиЕО в т' ,чКf' J\,;10 МИНИМf!ма,f),m,oilгл,1если iiрИ (1а fичии свя')ей(1"1.41)12\1[0> О, и ilaKc1l i lTla! еСfИСделаем еще несколько заме'1аний пра (тического характер". ПреЖlе всего oTMeT1l i l, чтод'Шfнjiере'!щ'Uалd2\]i ,MO:JIC1-tО в da1-t1-tO'L'l mO"ine Л1{) воз,мо:JIC'!!О;'Q эnС'!лре.м.ума выl<d2 \]i1"i'Uслят!! тап, пап {сл'u бы все nере,}.л{1-t1-tЫI Хl, ... ,Х n , 711, .
.. Утбыл'U '!jезав'ш'U н!;!,ми. В саМШl деfе, в общем случае второй диф2ференциал dфую(циине обла.lает CEOilCTBOM инвариантпости формы и юлжепб" с учетом )ависимости 711 . ... ,Утотd2 \]i]'n О iре.l.елят.ся равеПСТВОi(d.!1д~ + ... + d;yn д~n + dYl ~ + ...
+ dYm ~)дw+ -д.dYlо2У\]iдw++ ... + -д. d2УrnУ n·ТО'1 (е возмо ,кного э (стремума МО СПJаЕедливы раЕеНСТЕадwaw= О.i 'УrnTaf( 'ПО d2опре l.еляться тойдdXI д.н.'.+ ... + dxфОРМfЛОЙд! -дlГ n+ dyд-д',У!д )+ ... +dх m д ·Уrn(ЕKOrla все iiеремеппые х1 .... . Х N • 711 .... ,Ут пеза\Далее, замеТИi'l, что iЮСКОЛf,.Кf! (1амн!становить знакоопре.l.еленность d 2\]i лшLl'ь nри 'НЛЛ'U"iIШ связейчто и в случае,виси(15.41),\.56)то припровеВЫЧ1lСfепий Сfедует в формулушяiюдстаВИТf. вместо dY1 ...их зпачешiЯ,опре.l.еляемые из системы (15. 7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
