Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 77
Текст из файла (страница 77)
iPYl:iPYlY 'lаСТИ'lНl,iХ сегмс:нтов, которое обесш:чивало бl,i минима.ЪНУ;Р :{(ЛИЧИНУ иоrlielВlНости данной щшб.ш:ж:енноЙ форыулы.i.оиолнении к гл,14 . ыIостаНОllИМСЯiaреа. нзаиииlсазанной идеи, иринадлеСi;аiiiей А.Н. Тюонову и С.С. Гайсаряну.1) Рассматриваемый интеграл не выражается через элементарные ФункЩ и: . ,енЯ1ТС" В <га, ис ичикоii физике, теориип ;и. Э ОТ ИНi <гралтепiOПРО'iOДНОСисии.ГЛАВА3ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВЕще в Э.iеыентарноы курсе ПРИХt ,;щлС!сь сталкиваться с суммаыи, содер>r<аrrщми бесr.;оне'Ч/J-юе чисю слагаеыьг< (наприыер.с сбеС}{О}iеч}ю}о'шсла элементов гео;}етри'}ескоi;jпро~грессии).
Такого рода суммы, называеыые ряда.м/u, и и:~учаютсяуТы .;ста}ювнBiaBe..чтоripH HeKOTOp},iXусювнях!Яды обладают свойствами, аналогичньЛ\ш свойстваы конечны:<сумм.Понятие числового ряда§ 1.1.и его частичные суммы. СХО/F.ящиеся и расход;.wщиес;.w ряды Рассмотрим бесконс:чну:: чисюв;ю после\iо};а~тельность иl Н2 ... ,Uk ... и форыально;азуем из элеыентовэтой rюс iедоватеъности выраже} не вндахЩ+ и2 + ... + Uk + ... -L( 3.1)Uk·k=lВ},iражение (1::.1) прин:по iаЗ},i};Ю: ч:ш лизы",сто рядо.м" Отдельные элементы Uk, из кото] ;ыхраже} не 1::.1), приН\по называтьправило, мы будем поль:~оваться Д!Я обозначениялоы суммыL.Сум.м,у nервЫ:Е n членов данного ряда б!jдем называть n~истоу12Sn·так,Sn =UI+и2+·· '+;:12-!ik. Р;;;) 13.1)етсяС:Е о д я 1ц U .м, с.я. еслu с:rодuтся последовательностьчаСii!U'!!!!ЫХ (у'"" эт'гоэт;'·· !!рсдсл S ПО; ,,·доватеЛЫ-lостu частuчных C!j.M"M,называется см .м, О i1{Sn}данного ряда. Таким образоы, Д!Я с :одящегося!Яда.
иыеюrrero427ПОlС\ММ'S, Ml,1мож( М Ф )рма, ъно11«('ТЬ ра ((НСТ1Ю00LЩ1kслу ЮС, сслиSNЕС с!щсс ПОУС П,ас-n~ooхжнем, что понятие суммы определено ли! ъ для сходяl<ol!e'lпосредством пре!f('.lЬ1Ю'О !!ерехол,а 1).щегося рял,а и, в ОТЛИ'lИе от !юн(!ти(!юйCYMM1,!,В1Ю ЩТС1!ЗамеТIВI, что рассмотрение чис.ТIOвьг< !Ядов есть новаяма ИЗУ'lени(!l1СЛО (l,!X !юс !едовате, ъносте ~j, ибо: 1) каждомуданному!Яду однозначно соответствует пос!едовате~ъностъ егочастичных с\ыы:ка:ж:л,ой данной после!f( ,вательности {Sn}одно:шачно соответствуетност,!яд, для которого эта пос!едовате~ъпослеД01(атеШ,lЮСТЫ Рl(л(!етсястаточно по.ю:ж:ить членыk> 1'ltlегочаСТ1l"!Яда равными!ыхсуммSЛ-1 при'Uk =Sl)'=Одной из г!авньг< задач теории чисювьг< рядов являетсяустановлениепризнаков,схо!щмостиР И ы е1.покоторыыраСХОД110СТl1ИЗ\Чl1ы1010.!!.а1ч и с л о в ы х)е1штъвопросоР(!!!Д.р я Д о в.вопрос О СХОД 11 '.' ОСТ11 рял,а11 + 1 - 1 + ...
=L(k11(1СКОЛЬК.'= О . ..мо>,<но1 1k -(1::.2)11Sl = 1,... не иыеет предела, ряд ( 3.2после. !.овательность его частичны:< суммS2n-1О,,S2nраСХОД1ПСЯ.2.скойРассыотриы ряд. состаВ.!енныЙ из Э.!еыентов геометриче!!P01P(ссии:00- Lq-'1(13.3)k=lа...Очевидночто приSnЭТО1О рял,а при+ qn-1Iq1) 13 101 реМ1н,юii М1.1теМ1.1Т 1кемы, ВВО'lДТСЯ понятие суммыПОЗВОЛЯ1Т С\ 1,'1МИР01 \1Т1·.Дополне,ше311q-qf:.1-q1имеет В1 1Дq-q13.4)последовательностьчастичны:<''Ууказа,1Н1·.11.,1 выше пон\, ием 1YM~',а в различных обобщенных смыслах.
ЭТОСМЫСЛ\.1Х 1.,шогиераС1·1011\,щиес\, РЯI1""TEOl"им( (т llредел, ра ш "lйсумм Вп (ХОД псяюы, приIq3Т,l"КИМ обр,_1_qр,н;сматриВ{ емый ряд! \;!щится И имеет сумму,равнуюПриНОСТТ>)иIBшвснстваОЧСВИДН!i" что пснш:доватсль-(134)CT"LclO БЫТh, И Р<1СС\ТGLТРПR<1е"тый рял) Р"Ll:ХОЛИТСЯ.Iqрасходимость)Яда13.3)+ственно. В самоы деле, при qДОl;ател ,lЮСТl1 Вп о lеВlЩllа, а прив изученный вы! [е3.Пусть :Е)ЯДусыатривается непосред-n,= -1расходимость послер~щпереХОДl1 Т(13.2).<Iшксщюванное чисю.
Дока:ж:еы, что ряд-1( 3.5)iавную е Х •ыы получили разло +iениесходится и имеет суыыуВ п. 2 §Маклореllа ф";)гл.lЩl18xn -ХI(13.6)... + (п -2!1!Из фор\л(13.7:Обозначая через- еХ IR n х),( 3.6)).( 3.7)IXln Ixl .( 3.8)~-I еn-ю частичную СУ:\Л\IУ~lщеи(1::.8lepaBellCTBOIBnПОСl<О.ШУ'11)!"ы lЮЛ" Чl1[Т + ~ + ~~ + ... + (: ~-;)!]жем переписат!поеХeXI ~ l:r~l! Ixl-12,при л "бом фиксlpOBaHHO'Ixnlп--+оото правая часть неравенствап.)Яда( 3.5 ,ыы мо-(13.9):Т= о 2n!представ.
)Яет собой Э.lеыент( 3.9беСl<Оllе'l юалой послеДОl;атеШ,lЮСТl1. Но это и озна'lает, чтопоследовательностьВ 7 ,} сходuтся r.; 'Чuслу е Х • Стало быть, иря;r1':.5)схол,ИТСl иеет С'С "."ШОЛ07,! 07 мы 0[;03""....См. прим<р3Ип.3 §3гл.еХ •Ю3.1.42 i )ПОlСоверш< ННО а 1(tЛОГНЧ1фуню(Иiij;Тъ:уя фОР.iЛ'Хt(+:аз()Ть,М( клоре11ТС' р l;l.Ы-k=lищ (и любомюванном значенииcooT1feTcTBe1 ю paB1lыIeсходятся и имеют суммых и сон ;Т.
(ПредостаШПlе:' ifИтателtрсаыому у[iедиться в этоы.)2.Критерий Коши С+ОДИГ;'юсти P(~дa.сходимости ряда,по определению,e10Л.ИМОСТИ после;l.ОlfатеШ,lЮСТНj'al< l<al<1Ю[lРОС оэквивалентен вопросу о с:;о'lаСТИ'Ш1,lХсотоM1,1получим необходимое и достаточное условие с:;одш\юсти данного ряла, сформу.ШРС1вав критерий СХО;l.ИМС1СТИ КО1 ш ДШте.lЬНОСТИ его частичных сумм. Ради удо[iства приведемМУЛНрОВl'i' критерня Кошипосле:Ю1fатеШ,lЮСТ1l. Дл.:: т!'?о'Чтобы nоследоватеЛЬ'J-tостьбыла с:rодJИцеЙс.я, 'J-tеобходu,м.одо! rnurnО'ЧЛl!' '!rnобt,!1! ';)/С'lиnеЛi,j !.ого 'Ч/шлu Е j fЛ-ШеЛ!1l' "'!'Р NЩUТ условU1!' nвKa'leCTBe? N,'Ч/лоj!.OHCPOU n, удои 1!'rnи!'р.::ЮU для всех 'J-tатураль'J-t'blТ р (р 2,3 ....
)Сlедствня нз ЭТО1О'твержде1ня. ыI [10сле-дующую основНУ1!' теорему.Теорема13.1(nритерий Коши для ряда). Для того001tk !;тодuЛ!i1собходuмодл:: любого по 10;)/С'ШП,! ((,j!.Ого '((tсла Е jfЛШСЛС::N'Ч7Тю для всех 'НО,М.еров n, удовлетвОРЯ1!'щu:r условU1!' rl.дл::1luтураЛЬ1lЫХ 'Ч/ш !'л р? Nuп+рL1tk< Е.(13.k=nДля доказательства этой теоремы достаточно заыетить, что веЛИ'fИна. сто;] !!дя [ЮД зню<о' 'одул;!неРЮfеНСТ1fе(13.10), paB1la;азности частичных сумм- SN. Подчеркнеы, что крите] шйСХО;l.имости Коши ПРС':!сташп!ет в ОСНО1ШО' теоретн 1ес <нйпе;ес.
Его использование дш практически:.: потре[шостей установленияс:,:одш\юстиили расходимостите:.:или иных конкретныхТЕО("РЯЛС)l;,з((р,ш (ЛО, пшряж( но С ТрiЩС)( тямиПСН [О:"Н,lЛНчис" 1<р П(РИ~l Коши le снимает 1Юllроса об ""ста1lt,вле1ЛРУ1ИХЩJaКТИЧ( ски CJti>фектпвных ПРП:~Н{lЮШ сходимс)(ти п р,н;ходимостнРЯЛС)l;3 1 легкоIЬ теореыып:~влечь дваiЛементарньг<, но ва:ж:ныхСlещ ТВНЯС.ледС}П6"nе2:=. Е,ли ряд00rn,{,iШ!Тп!ik !;тодит,я, iЛО ! !'еле 3!,оателъ/,=1=/'=12+1n-мПрпнято называть велпчпнуО е т а т 'к О ,м,ряда002:=Uk' Чтобы доказать следствие1kдля любого Е> О найдется ноыер NПОСIелнее неРШiеНСТ1Юства( 3,10)ieMbI 3,13.достаточно доказать, чтотакой, что IT n ~ прп n ~lеlюсреДСТ1iенно 1i1лекает из неРШiенсправедливого ДШ л!,бого рС.лtiдсm6'nе- 1,2,3, ' "и пз тео-'Необход'n.мое УСЛО6'nе схт)'n.мост'n р.я-200да).
Для С:Еоди,м,оеmи ряда2:=Uk 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобы nоеледО6аk=l,!!.з,этого ряда...малml.Достаточно доказать, что дш данного с iодящегося шда и.шоб010 Еюмер N o та1<0 1, '1ТО при n ~ N o. Пусть даНОlЮ! ,ое ЕО. CorlacHo теореые 13. найлется ноыер N такой, чтс, при nN п дш любого нат'раль>>ного р вьшо.шяется неравенствоlepaBe1lc [воэто(13.IUn+11<Еn~N!.Если теперь ПОЛО/!!IПЪ номеln~No вО). В частности. при р1имеет вндСПlУ неравенства13.11)iaBHbIbl,(13.топрпЕ, что и тре-бi валось локазать.По ЩiУГОЫУ Сlедствпеди,м,ости ряда2:=iмушровать так: для С:ЕО-2 мо/!!нощ 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобыразом,приИССlедованииlimщО.
Такпы об-k-+ook=lнаС:<ОДШ\IОСТЬланногс,ряласлелуетпрежде всего пос\ютре11". стреМИТСl ли к НУlЮ k'!Лен ЭТО1Оряда при k ---+ ею. Ес ш это не так, то ряд заведоыо расходится.Так, например, ряд002""'"k~ 512 300kk=l431ПОlр,н;хо ЩТ( ~1, ибо1iш uk -liш.,k-+", Qk-k~ooА115,',+ . ',UUkl!JГИЧНО Р<1СХО 1HM!)(T1, 'же 1! "'lеШЮ1вытекает [В того, что 1iшk-+oo#0выше ря 1.<1L (l)k1(- )!; не существует.ПО;l'lеркнем, ОД11ако, что стремление к НУ1Ю k-ro 'шена р~1даЩ!ИХ является ЛUf{IЪ 'неабгадu.м,ым" 'На 'Не aacmama'iHым,'у' ,аои, М с;тадима,rnн ряда.качестве Щ !ИмеlJa.Jассыотрпы ряд00L-=l+-+-+".k23(13.12)1k·-УТОТ РЯ;l с,бычш, называют гар', ,'nu/ч,СС1иtМ р.;!,)ин.
Очевил.но,'lTOгаР:1ОНИ'lеСКО1 о рял.а выполненосходимости,·б 1lШи)QО. Д• ока ,<ем,1однако, что этот рядход пся. Воспол ,зуемся критерне:' l\ошн.ло/rJrпельного ЧИС1ачто приnN1еобхо:щмое .\С1Овне[.окажем,по'lTO'Не су Jl;ecrn6yern rnar.;a!'a 'На.м,ера1/2Jac-N,.1ДЯ любi го натура. lЬHOГO рп+рL.!.k=,,+lв са:.1ОМ. 1.еш ,если взять12=РLk=nчто вk1<( 3.13)n, то дл.;! (жа,·;, угад1l" fюл ;шога n212Lkсуммеn:) -n2n12A=n+1с1a1aeM ;lXчто1аимс:н ;ШiЧ'из этпх Gтrагаемых равно /2n.)Итarс неравенство (13.13) оказывается невыполненныы.
каким б1;! большнM1;1 ни!яд 13. 2) расходится.3, Два свойства, СВЯЗ,Н1Омер1bleN.В силу1ipпеРИ~l l\ОШНсо СХОДllМОСТЫО р;.щда, 10.оmбрасыаюtеe r.;aHe'iHa;a 'iисла 'iле'На6 ряда (или даба6леюtе r.;ряду r.;аnС'i1l0га 'i!{.слапС ОЛ'Шi' т 1lU cxaauHa,rm; uл{{ рас:Еадн.м,осmъ .'rnа!'а ряда.Чтобы у!)едиться в этом, достаточно заыетить, что втате указа1JезуlЬ1010 отбрасываНИ~l (ИЛИ1оба1шеНИ~1) ЧЛС:НО1J, все частпчные суммы этого!Яда; начиная снекоторого ноыера, изменятся на одну п ту :ж:е постоянную ве.
шчпну.TEOl"ЕСЛi!!2О'П/,J/i!ii'l?!.i!3,'"от'/},kUYJUf!!{iC ПШ' !!"i!а,я,-сik,00L'ПШ,j!""""тnогдi['когдi[ сгоди!!"-k=00с,я р,ядLuk1FG! аЬаз! ,а'!n~e част!!'" ible сумм!,! расс"дав саатветственна черези Sn, та ачевидна, что.kпасш ли( iapaBei!CTBa выте!<ает, что..S~ с!iае!iЫХ p!!~- CSn .
Изii!.eCT iyeT таiда и12--+00то!ька тагда. кагдаCYii!.eCTByeTи"иliш12--+"'S,!..Ряды с положительными членами§1. Необходимое и достаточноеда с положительными членаг!·!и.сматрим )Яды. все 'члены Koтopыгустановившейся традиции, ыы будеыусловие сходимости ряВ эта" i!араграфе Mi,! pac~неотрu'цателъны. С!едуяназывать такие ряды р,яда~мн с nоло:JIcuтелъным:uu 'Членамu (хатя правильнее была [iы упатреБЛ!Пi, тер"«р!щы с неаiрицатеJЬi !ыми члеi !ами» ). Что. жекасается рядав, все члены катары!! страга ба"!ы !е нуля. та такие;"удеы Ha:~ЫBaTЬ р,ядамu со строго nоло:JIcшnелъным:uu!яды С па" юж:ите" !ьньвш ч"!енами саыи па!!!тс!!i!р!!"юже!!!ях.ce[ie частата!а, их прелварите"!Ьнаевстреча~НЗ"iе!неа[iлегчит изучение рядав с членами лю[iага знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
