Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 72
Текст из файла (страница 72)
По форму, ,е(t) ,lt =~(11.35)имеем2"2у 2т.n2(1 -ОБ64 ..2t) 3/' dt -_ -т.иНекоторые физические приложенияffrIIрf.:де,JIf . :ННОГffrJIII'I.еграла1. Массацентр 'iScIЖf:СТИ IН:ОДIЮРffrДНОГffr C'IepjHIIScI.РаССJ\ЮТРИМ нео1l,НОРОШЫЙ стержень, расположенный на сегмен-линейн iЯ ffЛ(УГШ [(''Г! (''Гер}кн ,! 1)ceri'eHTi'Т(iЧi<а,iИХ})(>СИимна каждам частичнамсегментеnтачК" ~i и саставим суммуp(~i)1:::.ji Так как каждаеi=lслагаемае этай суммы представляет саСюй приijлиженнае значе-ние массы части стержня на сегменте'(''Гес! }ieiiИa ffРИНi'i'Гi[Xi-l' Xi],за ffриблиit>ета } казаннуюiiiчение}iii('(Ъ1всего.
стержня. Сагласуясь с этими пре rваритеfЬНЫМИ рассуждi ниями, мы,массу JvI 6сегn cmep:HCJ-tя 'Х:а'Х:nСЦ,м,м2:= р((;nри сmре,млеНШl 'х: нулю1:::. =1:::..z i ) m.е.ь'Х:а'Х: 'UЮn~i ралJ р( Х)Таким абразам,аь=JХ11.36)dx.аДля (шре,Jl,еfенияiii'HTpiiтя)[(i ('ти не(лнаР(ЩН(}Г(i ст( ржня,1п(шь (,У'юj! 'fЛЯ i«ЮР,Jl,И!B(iC,1'(''ГИ ('и(''Ге)'материа, fЬHЫX тачеК" имеющих массы mi и распо юЮ}(}Р,Jl,ИНi,i,та Х с ll! HTpii тяжести системы {mi} мажет cыть наЙ,Jl,ена па фармуле{mi(Xi)})[«'нных в таЧКiХ Х; (>си О;т. ИJ\.fенН!)Х;тl;Сl + т,;с, + ... + тn;с n=тl... < Х n =т2...'т n2: mixi /2: mi.=nni=li=l(11.37)pii (биение Т (егм( нта [а, Ь] т(}чк!iми а ХаXl < ...mi части стержня, распалажен-Ь И)еее}' т>(11.36)тn;Х"JХ d,T.
Применяя фармую(10.13) Cpe,Jl,Hera значения,З;i-l=паю чим также, что. mip(~i)1:::.,Ti. Считая, что. масса mi сасреi ен;! T(i'се f '; ент;! [Х; _ ,,1 'юже,; расе;;! триватьнеаfНара,Jl,НЫЙ стержень как систему материальных тачек с мас('аi<.;И тn;, р i('П(}Л(i<;",еых В Т(iЧi,;ах ",;i=l1)ниеIi:сли ":"т -,куьХ"2: тn ;['Га [а) Ь]. Па('кор(х) d.z -Jdx=M,аМ;;СС;; ч;;стиеа ССГ, ПIТ;' [;с ;с+ 6;сто отпош;'-\т/ \х на';ывается средней лuнейной nлоrnносrnъю стержня на этомсеГ\Iеп;е.
Липейпой i,1О; ;ЮС; i,Ю р«) па (!,Ii;ае;ся предел р«)l~r:;o ~7·I.апаШI'Го IЮ ф<чнуш(;рди;аты·м(1 .37) H;;f.;ц;397IИI.Ip'Iиженн;;;;жение'IЛЯ ко-;'Гр;;(1 .3S)f 5ыражение,стоящее(1 .38), fIpe1l,CT;;'вчислите.Iехр(х) на сегменте [а, Ь].;·УiК1I,ени;·;HOP01l,HOrO"';ыправойсоБОff инт; гра.частисоотношения;ую су;·;у 11,llиисоответствии с проведенными рас-ре1l,еIИ;.;ко(т';;';ату Х С це;стержня по формулеьJ xp(x)d!хс.::.а:ь -_--р(х)(1 .39)d!а2.Рабо·лаm·р;.о;;·щ;;;·'ГсяСИЛI.эI. ПЭ сть материальная точкатОчки а о;';' Ох в т(;ч .;у Ь ;т;;й о;';'ем си.ыI F, параллельной оси Ох. Ву ,ем считать, что эта силаявляет;·' фу;Х, (;fIpe1l,e.IeHHoji н;;;'Ге [а, Ь].
Пу('Г;- разбиение сегмента [а, Ь] точками а = ха < Х1 < ... < х п == Ь. ВыбереJ\.f на кажюм частичном сегменте [Xi 1, :r:i] точку ~i итбу'н;илыи'Гать пр;;б. Iиженн:F(x;а;а·р;;бо'Г;.Im·р;;(;ЙЬiясь С этими предваритеънымирассуждениями,А переменной (илы ;4'(х) на сегмент;мы опре1l,е.ШМ[а, Ь] к,к интегр;.;ЛьJ FIX(lх. Таким о;;разомаьА=J11.40)F(x)dx.аДОПОЛНЕНИЕПРИМЕР НЕКВАДРИРУЕМОЙ ФИГУРЫтрсугол .;;ик;;,всршип.котораяиз ГР;;;РИiН'гающи; К ;';'имэдалс;;ы ';'очки Д ;эх его сторо;;'орпr;;.Ра; мотрим по;(iy;eT частью ;раницы неквадрируе;\IOi'; фигурыпроизвод ;';'сядву;КрИВОЙL.Это построение;У;'с;; по;лсдова;·сл;.ш.r; 'далс;;и;~ ОПРСД;'лс ш;.r;; полу;·;·Kp;.r-;ЫХ ·;реУГО.;ыrиков И'; пеко;'ОРОГО даш юга ра;;по 'едре шого пря:\юуго.;ыюговсршип.Трi'УГО,1ьникашачим Т[О,,1ЮТОРЬf1'r(рис!,1Я у ю 1r 1"тва!а,1ЬНi'1'!1!ШХ ра1ту:;,кдений мы обоКоординаты вертттин этого треугольника равны (О, О),1]Опиш('м !'сп('р!, прm!('r1,,)треугольника Т[О,1](1,1),ЮС[('ДОI3"т('л ,!1ЫХ уд 1i[('ПИЙ изопределенных полуоткрытых треу; О,1ЬНЮЮВуххРис..Рис.11.1511.16уд"л,r' !'ся полу !'!'кр!,г! !,ГЙ !"р( ,тол!,пик, одгр I3СРШИГ!ir ко 'орого и',коорди!!а!!,г (1,1), а ше другие расположеш,г !а оси ПJ.
Пло ",ал,емого '!'реjТОЛЫГИК" раШ!ir 1/4. Получе!!I!irЯ I3 резу л ,'!'"те фигур"Sl удаизобр,,жена на рис.[1/2.1],плошади2.11.16. Она состоит И1 !БУХ треУГ01ЬНЮЮВкотор!,гхтреyr01ЬНЮЮВ Т[О,шк,','м"1/2] и[1/2,1] удаляется по одно:ну треГ01Ь-/8.!лощ 1Д('Й ки!'ор!,гх р"в!!а2[0.1/2] иР"В!!Ы друг другу.!ура и:зображена на рис.Т[О,Т[Т[11.17./2,[[ол, '1('ш!а,I3Л!,'!'"Т(' фиОна состоит И:3 четырех треyrО,1ЬНЮЮВ:T[3ji,плошади котор!,г, ра!ш!,г друг11,другууРис.3..1;Рис..181(аж,'ЮГО ука:занного треугольника удаляется по одно:ну треУГО,1Ь-шк,','м" SЗ !ЛОЩ"Д('Й ки!'орых1/16.
[lол, '1('ш!а,рсзую,та!'сфю ура и:зображена на рис. 1.18. Она состоит И:3 восьми треyrО,1ЬНИ юв:Т[О,/8]Т[1/8,1/1] Т[1/1, 3/8] T['i/8, 1/2] Т[1/2,5/8]Т[5/8,3/4],Т[Зj1,7/8], Т[7/8,1],плошащ 1ЮТОРЫХ равны друг другу.Из к"ждого указашнику. су:нмаS4трсугою,!шка удаляст!п,юшадей которых равна1/32.по одпо',""",тол!,-ПО,1ученная в ре ,ультате фи-I.ОПО'IЮгура и:ЮIiраЖi'на на рис.равно('! пло (а'ЩОна состоит и:~ тттестна щати ТРi'угольников11.1(4Ка;.КДЬП'! и'( этих трег О.(ЬНИiюв }\]ы оIiuшачим симво.юм0,1,р!"лыrсйш (Й::с: ·i'ЙЩ м!рm!.ссс (далс ШЯ трсугол .!ШКОiiL.К ОПРСД('ЛС!ШЮ кривой,ео399IИI,.: ·ица!·ел!.ш.rецел!.rеворяющие условию р<числа,2 n ).n -(р ИТ:Н (тол!.пики!сШ·р!.люб!.ri'удовле!'упо. (ученные вописанном вы((е процессе, оii.(а.·!дЮТ с(е-дуюшим СВО('!ством: пусть Т [~,".р,Тких,?'1 +2n '2П'+1-два.!шка1РlчтоТогда второй издержи'!'СИдую (ее1],акже сле-очевидное своиство~ 1]: приков[;"{Т:nkk Pk+10-(ков'е: ·вом.}k=.
11. 9треуго.(ьни---+ 00 их диаметры 1 стремятся к нулю. Пусть('тЛ2'U6а'lOщаJU',я, СШ'тсма ;ПРСJj20Л ".'11'1(;061.(это о:значает, что трего. (ЬНИi(. отвечаюши i инде!iСУшк. от i('Ч,JЮШИЙ ИПД('ксуСТРС" И'(·СЯ Кk+'риК,(жд,(я (',(каи00kk,СО.'(ержит трего.(ьд (амстр'.] трсугол .(ШЮ("(яг ша ощ,(яся ('''ст(·.ма ;ПРСJj20Л "·'11'1(;0611мсст (Ю6J,О оду,у общун' ;nO"i'l(;y ).в( i"юзможш.н·(яг(шаюiiшеся систем'.r ука:заш '.rx '''.rше (·реугоЛ!.( шков. КР110УЮ L мы оnредеЛ11.'·'l(;a'l(; MJ,O:JICeCm60 {JY} 6се60ЗМО:JICUЫХ то че '1(;. 'l(;а:JIC,ЮЛ 11З 'l(;OmO! ых пnеnста'(ллет со( ОйmO'n;j, не('оторой стяг11 iПЮl1~ейсл С11сте.'·'(('(занных6ЫШСтр· ',го !'Ы.•... ',,;.•-•..
.• 6Т _Р ?, + 12nО(ме(ИJ', что мпожес('ВУтрсуг, Шшина.( ШЮ,"ка;.КДОГО('реугол .(шковТ [ 2Рn ?У2+nтакогоЛ:[(кривойL)пр пrадлежа( iiершИi'.]всех].треУГО.(ЬНИi(а прина (.(е:;.кит1'р 1]}{ Т. [У'Р2,,+k' ~что 'острос( iПОС rp', и мВ смыс (е опре (е. (ения, данного в п.стягивающеисясистеме1системе {Т [1'Р1'Р]} .yn+k '2,,+k'Oj((CCT'," {.JY} ЯШIИ" (·СЯ пр ост· ,й кр ("ой1 § 1 этm" '.(авы. мы должны юка:зать.стороны.2) В г.(. 3 (с".2 §··'еrг(·ов имеет :Ю'iПО одпутреугольников на'. 'пrТОiiко· ,рдИiоси(·очку.ш.
Ч'('О С('игиваюшаиси сис (·е·, а сег: lроецируи СТИl'ив,(юш( юся с (с (·е·,(иеся системы'ЫХ о((·ст ,i'шсег-обшис ('очкиУ!iа'(анных СТЯiивающихся систем сегментов на осяхи 0;./. '!итате.(ь'-Н'гко уб('Д ('(·СЯ. '('('0 точкак ,ОРДИiiа(' '··'и х и уiiляст(СДИi('ВСi!IЮЙобш('Й ('очкой р,(сс"а('РИВ,(С" ой(ягивающсй(си' ('СУ'Ы ('Р( (тол .пиков.!то все точ!ти мно;,ю ства Л:[ ОПРi'де,шются параj\Iетричес!тими уравнениями;с= -;(t)У~ t ~=[Та! мотр 'м ССГ ПIТл обысnгде -;(t) и ф(t)оси[0,11!('п!'рица!'СЛЫI!,Н' цслыс ЧiН л!jР+1]2,--треугольник тНа рисЛi 1 1ГЛ-'- -'- ;2:32:3от !еч jют """ТТОЛЫIИКij Т!13CC',ссг, ПIтамсе! ,нентов зПСПРСРЫ13i!ЫС фупкт~ии 1)I2!jЖДО'erMCi!!yРпо' !'!j13ИМ,11, ГЩ' р и13 COOT!i T'!'СТ!ШСИiзображены се П\Iенты , jЮТОРЫМ11,20,Люб!j'" точкаегмс!tр!,ист т М"IПостави}\] в соответствие ЭТО,Т! ТОЧ1Те!т,ю!ад-1;'?!k'+1]}-- ---2n •, {!('кот, !рои ст !ГИ13!jЮЩТ'ЙСЯt общую точку Л:[ стяги'1] }?!.,-+{ 1 [ -Pk- , -,Та1ТИМ обра'юм,2n "2n '1] ста ш !'С" 13 СОii'!'13е!'С!'13ие Д13!j ЧИСЛ!j;rвающейся системы треугольниковдому ЗII!r ,еп Ш]2"'?!:t из се,', 'еп!а1Таж-у-координаты точки Л:[, Сле~О11/4 7/81/8 1/4 3/8 1/<I!!1tIдовате"ьно,~хияк шют,t,СЯ фУПКЦ!1Т!ми паР!jУiiедимся, что эти фующииРис,C!j',ом деле, ПТСТка сегментапаР!j" "!'раt,,S[0,1]-,20;слюбое д!] шоеи Л:[ -ТОЧ1Та 1Триво,Т!Из С! "ГИ13!jЮЩТ'ИСЯuи у ==(t)!рТ'-Pbl13i!bl !а сегме !'!'е [0,1], Вположи !'ел ,! юе ч JСЛО, t - д!] iII!rЯ '!'очопре !е,шемая этим !значениемИСТТ,М"I," {ТР.,+1 }2Р.~n•!'рТ '.ТОЛЫI и K013 ,определяю "их точку М, 13!,Iберем треугоЛi,!ШК, 'иаметр ко!'орого','еш,щерассмотр jмсе,','ептщую М (а с,едовательно,ШЯ\ШtПОЭ'i'Oму1]+-Р.- , Р!,~иИЗ Э'! ого ссг, ПIта, ра!"",,КОТ"Р',Iисодер'">се точки кривтТ ,юл' !\,\с!!,I!'очкуUL,УК\jЗ\j шо',t,определяю-опре,'iе,шемые 'шаче!\!,Iще !'рТ '.тол!,пикс, икоор'! шаты о !',шчаю'!'ся о!' коордю !а!' !'очкj Л:[ !е ,io"ee че', !а!,I 13 УК\jЗ\j шой '!'очке,2.
Перейдем построению неjшадрируемо,'! фюуры Q, Рассмотрим jшадрат Q, с!'оропа которого ра!ша 2, На ка,,\дой C!'op0i!e этого ю,а,'iра!а 10строи~ ра! шоБСДРСiiII! ,Н'!ыс ТРСУГОЛi,!шки Т1 Т2 Тз, Т4рс,ультате мы по"учим квасо стороной 2V2 (рис, 11,21), Затем И!3 1Таждог о !'"кого трсугол ,! шка!РОИЗ13СДТ'М уд"лс! шсЮiljОТКРЫТЫХ трсугоЛi'! шков так, ка1Т это описано вь""е, в п, 1, В ре"ультате мы по"учим фюуру Q,НО Э'! о ОЗi!аЧ\jе!', ','!'О фупкции-;(t)и(t)пепрер!,ш!о!раниченную !замкнутои 1Тривои, состоящей И!3 четырех кривых, jЮНГРУэнтных 4) кривой L (см, п, 1), Докажем, что полученная фигура Q неjша~ОЧС13ид-но И', построения кривтТ ,) Отметим, что каждому та юму треугольнику отвечает то, ,ыю о !ин ceг~мент [,~, Р + 1] ,З)люб 'я !'очк" ССГ', ПIта-тельное чис10,'о!да, очеви'шо, ТОЧ1Та11n -любос ЦТ'ЛОС положи-принадлежит некоторому сегменту[; ,Р; 1] пр jЧС', ка"'Д!,IЙ !'"кой ссг, ПIТ, п!'13С ,ающий ПО" еруn+ 1, содержится в сегменте, которыи отвечает номеру4) l\'Iножества А и В на!зываЮТСЯТi'он,гРjjэн,7ШiЫ,м,u, есш они могут бытьC013', ещс!!ы Д13ИЖПI "'М,I.ОПО'IЮ4UIIИIдрируема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
