Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 68
Текст из файла (страница 68)
, . < t n = jJ.пар;"метра,t n2 ]'слс!1, L 2ломаных, впс!санных в кривыеи Т усаза! !пых(t,)(t,),лс!ныI(t,)отвечающ !х разiiиениям т1 ,Исе! м' пт, 'С. ТО "чевищ11 ;)Пискол! ку чис ,а [1 (t,).СПР:сII.Ш:сlеl.Ю;;ТИ КlJИВОЙсанных в кривыеL1и1:. и,)и [и.) пол' 'жи:еЛЫ1Ы. :0 ИЗ Р""'Ш т:;,'Ии Л2и, длин впи~LCJIe,l'yeT что множества {У1L2ло;!аных отвеча!nщих всевозмо;:;ным разiiиениямс,тме !:ов [а .
.:.] иигра:!и'!С'ПЫКРИ:;:.1е L и L:. спрямлж'мы. ОТметим 'по из р ""'пст:;,' 11.7) ииз опредс· ,е:!иядли !:,1ДУГИ кривоi': с"едуетЧТи ДЛП1Ы 11 [.. И 1 дуг кри ;:,1' L 1 L:. и L удовлс' :воряю: пер' ''''пст ;у 1)11Предполижим, чт"12< 1.+ 12 :'(ТОГд"1 - (11что длина:(11.9)щ;ги кривойf (ti) ломаной . вп:!санной В кривую L'С'равещ:твуи о:iозпа'!Нм полу'!еп:юе,,того параГi ,афа . длинаряет пер ""'пст:;у [-l(t,)вытекает, что ДЛ"!указат:, т,'!сое разбиепие т* сегмепт,'-*бие:!ию, удовлс' !Воряс'то'",,'!Нс",,+ [.) = Еполож:!Тельно. Из ощ 'е. ,еления длиныПОлижите ,ЫIOго '!Нс",, Е МиЖ:11.8)[ - 41 (t,),6]отвеча!, 'щей ',тому раз~< Е . ..10бавим,азбиепие через т.разбl'Н'ПИЮ Т'огда,силvломаной . отвеча!nщей ,азб:!ен:!ю.
уювлетвот,!с как разбш'Пш' Т се:м,'Пт:,. [ао:iъе.!Н !епием !е юторых ,азбиепий Т1 и 2 сегме !тов [а:] ины 11И !2(t,) ломаных, отвечаю" :!х ЭТИМ ,азб:!ен:!'"< Е.обр"" ",,'по,6] то дли-<Пиэтому спр"'''дливо пер ""'пст:;,ак как+<(t,)+ !2(ti)+ {2:'( 11то те*леммы:,олее справедливо неравенство12) Е. НО это 'С'равещ:тво противор,"ш! Р''''''пст:;у 11.9). ПоЭтиу предполо;:,ен:!е. что12,неверно . а сле. ювательно, в С:!ЛV (11.8),11 12. Спрасе.'ЛИ!ЮСТЬ с!юi':с! са 20 (ста: юсле !а.За.cBoi':CTBa 20 и замеча:!ия 1 этого пу:с,едует.
'по nере.меннаядугаявляется строго возрастаlОu~е'Й nОЛОJICител'ьнO'l't фУН'I{;u,ией nаpaMIC 'npa t.д' ,!сазатс' ,ьст:;,' 'С'пр,'РЬ ШIOсти фупкции I(t) восш, ,ьзу,'мся1 - (11<сле.,у!"ЩИМИ утвер)к,ен:!'"1) Пу;"'ъ Е волъная rnO",,'I{;a сегментаnрuиз-,6].Суи~ествует та'l{;ая ломанаягуlvfсвоей вершиной/2.-соответствУlОu~ая rnO",,'I{;a 'l{;ривойвписанная в ЧlUвуlОL.'l{;оторая имеет то",,:'л! на 'l{;оторой оm.ли'l,ае;; СЯ от :'л! ны ;:ривой',;.ен'ьше 'l,e.',;. на Е2) У'l{;азанная .if'манаябыт· выбранаее звена будет .',;.ен'ьше ЕЗ) Пус"'ъ ·'о.маная :!ыбрас авТогда "астъ 'I{;! ивойстягиваемаяLд ,!,на/2.MaHoii, i'MelCm1)и2).рассматривае',;.оЙ ло-.мес· ;,ше Е.Убедимся, 'по из сформу"ирова !пых утверждепий и миПОтип:" 'СтИфvнкц:!ивытекает ее непреi ,ывность в любой ф:!кс !! юванной точке1) Из ,авенства (11.7) вытекает что дл·! любых разiiиений Т1 Т2 сегме !тови.,6] справед Шс"' 'сраве:!ство 1 (t,) +I:.(ti) :'( 1.
О!сюд:'. И И"пр' дел' пия !о шоi': ''''рvпеi':р 'пи п" 'учим 'С'раве:!ство(11.8).''то; О СIЧ" "нта (в точках асправа и слева),Нам пуж;чтофVНКЦf;'"(3ДОЮ''''ТЬ, чт" Д,,]Я,юбо;'о Ед выполн",ется неравенство\tlШ "',"рывна соответственноI(t)можпо ую,,,,ть т,коеIl(t+\t)l(t)1"ап,м",рим ,о разБИi.'IIИf' Т Ci.TMe,;,a [аю'тор"му ",Ее,!'",юм",ная, облада;, ,ша'", пет ,ечисленными вvтвеРЖ,iеш; "х 1! исвойствами, O;io:начим черf' дс;нс;' альную из д" с;н двух ч",ст ;чных сегмi.'НТ'1 , t:].р".збиеiiИЯ Т, примыкающи,[t:, t::0 !:се t= tkсегмепт"llYCTbприращение 6.1 аргумента уювлетворяет УСЛОВf;l6.tlд.!и определенности бvдем считать, что \tО.
Так как\t t д :о::; tk+l, ТО Всилу с:р"г"г,,:раст,шия фу !:fЦИИ l(t) справед Н1 ::,! 'f'равещ:тва+>l(t)в силу YТi;' ржде ;ия< +< l(t +справед НП;" пер "р'ПСТi;р)-I(t)<Е.О;СЮД', И из предыдущи'< 6./ <;ераве ;Ств Ш,Iтекает. ,,,о прид СПр",-ведливо нет ,авенствоl(tСлучай<О6.t+ 6.t)-l(t)< Е.,ассматриваете" анаЛОГf;ЧНО.Пер"йд"м ,еш,'рьдою' ""ел"ству утвержД' пий 1), 2) и 3).Д о к а з а т е лс то ув е р ж Д е1).
1Усть Е - любое фиксир",,,,ш,, ,е пол"жите ,blюе ,!Ис"". Так как[((3) Bceii криво i L, ,юределЯi'МОiпар",метрическими урав,,, пиямиявляf' ,ся ,О' шоверю" йiГ[ ,анью длин вписанных в:,ту К[ 'f;ВУЮ ломаных, отвечаЮЩf;Х всевоз:ю 'i.НЫ'разбиi.'IIИЯМCi.TMe, ;,а(3] т" длябие, ;ие т** се, Mi.'IIT' , [ад]я;;писашюйкри;;уюда, ;по, О ЕО'ЛИ ;ается ОТ>Ом"ж,ую,,,,,ъ таю ,.' р"с'" ',Еетствующеii юм"поiiме,;;,ще чем па'12.До;iа;;им кр".збиi.'IIИЮ т** ,о !:су t. В силу ,еммы эт, 'г" пар, ,'Граф" и "ПРi.'Делi.'IIИЯ длины дуги длина ло' аной, отвечающей полvченному ,азбf;еш; т* сегмента(З1, ",ЛИ'!"",СЯ1((3) ме ;;,щепа 6/2 и эт"юм{ш{ш имеет с;;,,,'йвет,щиной точкуК['f;ВОЙ, котот,ая соответствует точке сег:,;ента [а,ктелство уверждеия 2).
Т,,, как 'f'Прi.'рЫ;;ные на сегменте [а, (3] фvнкш;и ср(t)Ф(t) равномерно неiiрерывны на:,томCi.TMe,;,e, т" поiioro раз;iие,;иязад,ш,,,,му>6О можпо ую,,,,,ъ т,кое дТ сегме,;,а [а>О, ,,,о д,,]яс длю;ами части'шых сегме,;товме ;;,щими д. ш,IШ' ,,;яю,ся 'fpaBeiiCTBa Iy(t,) - y(t,_ )1 < 2~2у!2'ПосколькviЛf;на1,,ю[t,-l, {;,]'(t,)-звена ломаной. отвеча;, ,щей данно-+ [1ft,) - 1/'(1,-;)]2 т" о';е,шдпо,р"ссмотрим ,еш'рь люб",' фиксироваююе разби, пиf' т' C'TMeii,а [а, ,J] с длю;ами ,;астич,cerMeiiTO;;, мепь "ими д, и ю!iа ;им К ;емуму р"збиеiiИЮ, р",ша V[y(t,) - y(t'-l)]21, < Е /2.ТОЧКf; раз!iиения(с:,;.
доказательство утвеРЖ,iеш;','полу !им р,,:биеiiие Ти уювлетворяюща'"ю 'тор"му ",Ее,!'",всем УСЛОВf;','части lV[,юм,шоii. мепьшеllv[, кривоii LаIk-,езультате мыLутветД о к а з а т е л ь с т в о у т в епая MolVf 1 .. . lv[, lMkMk + 1 ... lVfn УДОВЛf ;ВОРЯfи 2). Убе,!ИМСЯ ',,о длю;а ка)кдоii части К[ 'l'ШОЙIЮМ рассм"риваем"й1).вписа i!Iая в кривую6.ня 3).1Усть ломаус ювиям у 'Еерждi.'IIИЙ 1)" с,я,'и;;аемоii л;, ,""IM з;;еВ сам, 'м деле пустьД,ЯIпа"р'па Mk-[, -Д",ИIIalv[i. л"ма,,,,Й.
То, 'д"в377силу vслов !й VTBep)K!,f~H!! с!1).Е/2свыполн !ется нет ав,'нство1ПОСКОЛЬКV ка !!дое слагае· ое(lk<)( Iтсюдапоследней сум' ы неотт !щательнои и:~ нет авенстватоfk< Е.пер" (f'ПСП,,,П, ,нятиешиныlУГИ пр,нтр::нств( нн,(й КРИВ«Й,;а l:ШНОЙ п::Р::l!:Н~ll)liЧLСЮiМli УР::ШllLНliЯ!:lИ(1 .J),гии Сюской кривой. Рассыатриваютсяюнятиеы длины Д'шиныl(tiчтоиiШОДИТС)1 В по.iНОЙлоыаных, вписанных в кривуюL,причем очеви.ШО,nПространственная кривая L, определяемая уравнениюш 11.5),назынается сnр:<,млле.'(f'!!U, если множество {l(t;)} длин ЛО:lаНl,IХ,вписанных в эту кривую, ограничено.
Точная верхняя грань lэтого мно/!<ества называется длиной lУГИ кривой L.ОТ,lетим. по !юст!)анственные СПРЯ,ШifеМl,Iе к!ншые облаlают переЧИС,)1енными в этоы пункте свойствамии10, 20,оДшсазате.iЬСТНО этих СНОЙСТ!' ПРОНОДИТClf сонершенно ана. югично доказательству для плоских кривых.5.Достаточные условия спрямляемости кривой. Фор-мул!,! дл!! !!ычислрния длины дуги!юi'tiТеорема 11.1. Ес.lШ фУi!.'I\,ц1t!J Х =1t У = ф(t) !( ',,!ют 'Насегме'Нте [а, р] 'НеnреРЫ6'Н!,;е nроиЗ60д'Ные, то r.;р1t6ал L, оnреде"'!',малуро(('Неi!!JЯ"''' (1 .3), (т!рл I'!Я' .,ча 1tдЛ1l'Наlее6t,lтъ 6Ы'Ч1lсле'На по формулеJJ.3l -tp'2(t)д о к а з а т е л ь с т в о.+ t J2(t! dt.11.10)Докюкеы сначала, что криваяс! l!lfмляе,lа. ДШf этого преобразуе' Ш,IражениеZ(ti) ЛО,lаной,исаннойи отве'fаlощейноыу ра;iiиению т се; ыентаимеlОТ наcer:·leHTe(1 .6).Так как функт~иир] ПРОffЗНОДНЫ(" то,LдлиныJЮИЗНОЛl,-tp(t)си.и,,·(t!Лаtp(ti - tp(ti-1) - tp'(Ti)b..ti rl.e ti-1 < Ti < ti b..ti - ti- ti 1, и)1ф!(тnЬ..ti, rl.e ti 1 << ti.
ПОlставляя найденные вырюкения для tp(ti) - tp(ti-1 и) - t(ti-1)граюка,пран'ю (асть ныражеНИ!f( 1.6), юлучимnl(ti) По УCJIОВИЮ функцииL Vtp'2(Ti!tp(t)и ф(t) имеют на се: менте [а,11.11)непрерывные производные. еле. ювательно, эти производные ограни-ч(H;,I,0:, р]И ПОЭТОМ.'"Щ( ствует таю;'М,чт;;с; lk;ВС;ДЛlfEЫ11)тогда и:~ формулы(1)[ЛЯ всехИi ;ег:ентаИ Iф'(I)11мвытекает. чт;;Таким образоы, ыно:ж:естводлин вписаННЫ:I в кривую[l(ti)ЛОi;аН;,iХ, ОТЕе'iаiОЩИХ ЕсеЕОЗ:.ЮЖНLразбиеШiiiМ Т сеГ:·.;ента, ограничено, т.е. r.;рива,я L сnр,ям,л,яем,а. О()означиы чед.шну этой кривой. Дока:i<ем, что д.шна кривой L ыо:ж:ет0:.резбыть ВЫЧИCJlена по форыуле (11.10). 3аыетим, что правая частьформулы (1 . 1 похожа на интегралЬНУi" суммуn11.12)нтеГI)ИI).'· ем ойФ." ""т... т и".'.м.,.V/ "f'..I 2f\, t)I+ .,I,,lf/ 2f\, t)'эта(1)".'.1,.сум-маTi} отвечает разбиению Т сегмента [(1, р] да шомубору точек Ti на чаСТИЧiсе, ыентах [ti-l' ti] ЭТО, о раз()иения.До'Ко.Ж;:.м, 'Чrnо дл,я'iюб,'го ·ПО'!· 'жuн (· 'i'bH(Ji'i· ' Е > ОYf.aщт'Ь тm.·();: (j > О.
'Что< (j= шахiiЪtTiO !'Н,яетс,я'Нераве'Нсmворгде 1=J Jy/2(1) + ф!2(1) 1ft -редел iрИ ~---+инте, ральныхQсумм (11.12). Нныыи«мелr.;Uf» разбие'Ни,я;mИЫ(Li!'НЪtх(5('стато'Ч'Но"','КР!JвуюОН'.,См..мало ('тJш'Чоютс,я ('т и'Нтегрочасти форыулыI(11.10).1,стояще, о в правойОтыетим, во-первых, чтоj ',0'2 (Тi)Ф'Ч тn - J ',0'2 (Ti) + ф,2 (Ti )I :::;;: :;IФ'(т'nфl1n;1),1 . 4)) Д.JЯ Пi' 'У'lе!!ия l('р;шещ:тв (11.14) мы ВОСПf1.• iЬЗОВ ;лись пер 11<'ПСТi'f1МIva2+b*2-Ja2+b21~lb*-bl,r;e(1",*) И(1",)инеравенством IФ' (1",*)iI ~(;З',Т(;Х неравенствf1'lеВИ.Jf,ак как раЗ!!f1СТЬ любы·(ИИбf1iЫ;<' раз!! ,Стиее ТО'ШЫХ Г) а!!еЙ. докажем пет ,сОе из vказаюrых пера ,епсТi'. Имеем1V п2+ Ь*2v п2 + Ь '1Ib!2Ь2 1-vra~2~+~b~!~2~+--\!/a~2==~b2 ~31')и 1n;гдете[1(1)ШЬН: л ани ф'ш<т~ии, i] в С ту (1 ' 1 ,(11 2)на !аСТИ'Ш()М С( гм( +справед!Ив !,! нера-1 14)вештва-I~:: tIn'2(,,-,), . и2r"!т 'fJIj ср'2 (Ti) +t'2 T*)-v ср'2 (Ti) +ь..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
