Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

"к.;:е, "ЦЮ;Й ма:.' ма:. :';к И фи.; ;к.363ра:~биение''того о гмента, для которогоn1-3дес" 'iep":~ А1, и,',)'шые граш) функциисегыенте [.hi 1, х,] Достаточно доказать, что сумыа,,;,сти'ш)мn5-в(10.33)меньше Е.О,н'"им эту С' ;"му Снем а,= (M,l/;)мощы'; Ш ране ,стна Гё",ь,;ер;"11(1{).27),IШJra) ая. Получим=(m 1 /;(10.14)(М; -т;).(10.3;,)10следнее неравенство посредством ;еления на М, 1) приводится К сле­д;ющ"му:мв справедливости :юсле,,';него неравенства легко убедиться. учитывая, что::;;ш" ::;; 1, ар> 1. И, :юльзуя HepaBeНi тво (Ш.35) и учитывая, чтоL~Xi =а,1,=1мы получим из HepaBeНi тва5 -( )':.31в::;; ~? lf i [о :'с", ';а, ,:С11ШI"ЗУ): нер;, "'''с;'ледующее HepaBeНi тво:;".~"",]~ml/p:ъшая, 'по l/р(10.32)+ l/р'1,на;)дем5-8<Теоремаюказана.5, НераВiiНСТiiОДЛЯf(x)gлюбые ,,'ше интегрируемые на, егменте [оа и / - любые дваоба 11реносх)) :ящ :еснязанш,н' СОО: ,юш' "ю'м l/рl/р'+справедливо ;'ледующее неравенство:l/p [bIP d.h ]d.h ::;; [/~1)С'iита ъ.

'по М;(Ш.35) С11ранеДJlЮ').>!ие;; "СJlИ МЬIg(10.16)тоО.нер;, "'''сигриру\'мы\' на,,е{)т Ч"i!Jтел\ииii'\'HK,1ible.J k'(\)d\ ~ 1. jdx ~ 1,(10.37)A(,r)E(,r) dx ~ 1.iюбойв само,' деле.ин, е-удовлетворя i\щие Нi'р,шенств дм(10.38)'1'0'1 \е х сегмента [о, Ь] спра \еДiИ1Ю,ераi\енст,ю(10,26)"(х!П(х)тс [;(а" В силу О (енкии,30ь§6~lP(x-р(,)+ --ор'и формул(10.3';)ьA(,r)E(,r) dx ~ -1/' АР(х) dx.' ; (х) dx+ р'-1. /ЕР''аНеиане ,стно (10.3ГПолагаяA(,r)1~ -+ -р'1= 1.а,'Ю1«1за, Ю.Е (,r)= _----"'--1/-'--('-'-'.)1-----,--,---[l1/(Xприде;,следует, чтоьнеиане_-----"1),-,--1-----;-;;--g,,--,''----,'ьl'[ Ig(x Ipl dxIp d, ] l/p'к сле, (ующе,;"=] l/p,с, ну:I/t ,)llgТак как в силу замечания2.п.1 §6ььJ(x)dxJ~d,rаоДiЯ,е"аненс, но3 'а м е ч а н и е.,те;а ю\\(10.36) дш, ин, егралон .';станон,ено.частном случае р = р' = 2 Нi'paBeHCTBO Гёльдера,\еuеХОДiiТсле, (УЮ'iiее,ера\\е ,ст,ю:JьJ(х) dx ~lI(x)12называ\'м ,е неравенством Кошu-БУНЯ'h!овсn!!г!! для uнтегралов.(10.39)'я люб,,;х"'отри-g(Xц"лед, 1\,щ,л"р/1(,)[! ""(х "хрd;g(xdxназываемое 'Неjюве'НствО',i, Jlv1и'Нr,овс''i?iiдшнерав' нстводля и'Нте;iралов.р'япо 'ученияэтого неравенства н' жно исходить ИЗ формулыььjU! ;)g(xdxаьj f! ;) и! ;)g(Xi]P-1 dxj g(xааи применить неиавенство Гё ,ьдера к интегралам стоящим в правой частиэтой 1\jюрм"ЛЫ.

Детали расс,'ждений предоставляем читатеЛ;ii.Поi.\I'i;ЦНИ нз iel'aHeHC; на ! lО.40! мо";; ю по;у' шть с;едующееBi'HCTBO для n фунющй f1(X), f2(X), ...иуе', i,;X ia се' ','е; i'e [а, Ь]:fn(,r).iepa-неотрИ!,ательных и интеiРИ­1/{/1f,(X) + [,+ ... + fnd,r~ []1.0110ЛНЕНИЕДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕIIИЯ ИЗ П,4 § 6Для удобства сфОРМУЛИl'уем еще l'аз утверждение из п.§ 6.Если 'На сег.ме'НтеЬ фу'Нnция g(x) АtО'НОто'Н'На, а f(x) и'Нтегрируемато 'На это,," се;' ',i,е'Нте суи~еств /етmar,oejt; .числоьчтоьg(o)dxg(b jl(i)d;~1реднарител;,;ю дока)ке'; с;едующее нс;ю\ огател ,ное предю;;;е;ше.Лемма Абеля 2). ПУС7J Рлюбые числа.

Если C1JM',iibl S,.ме:ж;ду А и В, то су.мма '1'1 и1А;,1.'1;?'1'2111112;? ... ;? '1'п ;? О и и1 и2, ... ,и п+ ... + и, nj'U любо ',i, i за;;люче'Н'Ы,+ '1'2 + ... + '1'п и пза'h~mi' 'е'На ме:ж;ду "шсламии П;'l.Д О К а з а т е л ь с т в о.Имеем и1;'lSl= Slt'l -V2)= Sl, и, =!S2 Sl + .. .- VЗ) + ... ++ S2(t"2;. По-.\ТОМ'!Sn S,,-l =(Vn -1 - Vn ) + Sn '1'п .1) Для удобства мы "охраняем н,'мераци ii ПРИВi'денной фОРМ\'ЛЫ.2) Нильс.

Генрих AIi' ль (1802-1829) - НОl'веж;кий математик.lЮ ,1И llНTK ТТак к;д~ О и v~ О,(:на'1а;а ;а А . а еЮ; ;;м наAI(t"l -t'2) + (t"2 -t'З) +;'00;Ш;(:.;; днр"S,,;ше;ю,,;е;;и;;++ (t'n-;'['1и; +'и;,и2+ (t"n-; -t'n) +t.\::;; Ви ;t·'2 ) ( V2к;])кд;;ен;]'t.,з)+'t'nUn::;;-'[.'п)+ '[.'п];;адра;'НЫХ; ;;обк дХ р ш;;ы V;. ПОЛУ'1;;'Лемма доказана.3а м е ч а н и е.При доказательстве леммы А(;еля мы использовалиnпрео(;разование; ;'ммы't'kUk которое обычно называ";т nре; ;;раз;;ванuе.мLk=lАбеля. Б;;ле;' полные све.';рния о пр;'о(;uаз;;вании А(;рля и важные прим; не­ния этого преобuазования можно найти в п.§5гл.13.Д о к а з а т е л ь с т в от в е р ж Д е н и я и з п. 46.Допус;о фу;;кци;; g'(x не но;рас;ает ;а [аЬ]Heo'l" ;щател,на на;том сегменте.

Имеем. в силу интегрируем ости f(;r)g(x) ;),ь/П;,сть;eo'l"d;1\,1,и т,точные грани-щ;.ател ,;;а.гдеспра;;ед;ИН;,;f(x)нашахL::.;".L::.1,х;]. Тогда, поскольку(х);е; ,аненс; на(10.41)-1~_!Так какне в; ;зра; тает2:= M,gЬ]нато разн ;сть'-1)L::.;,=1n;е ;;1 ен ,;шает;ис;аg(a) L("-ТП·iL::.х;. Поско ;ьку Фуню;и;;nU туе;,;а, су;,;маинте-nL ( ,.LсттемитсяU)iL::.;";улюi=lСЮ.'(а и ;;з неиане; ;с; н (10.'1 ) Н,;; е;;ае;тв ;ряющих нерав; нствамm ::;;р,::;;;'0дiЯ люб'Ь/,х 'Ч,uсел р", у. ю;шеМ", каждая из сумм2:=p;g'(x- 1 }L::.xi,'=1ьимеесно;;'· предею\';;нсгегuалL::. --+J fi !)g(xdx.Со; лас ю Фор,;уале i 10.12) числа.ПI1\,1;,можно выбрать так, чтоf(x)X~i. Так ка! Фую;ц;;яF(x.га1)См.

; войство 30§dt-1непuерьш;;а на сегме ;те [а, Ь]367ЮП()iН;;,м;"ыниеН;"; МР;;;ДУ т;; ;н;;F(;r) на '~PгыeHTejj12: g(x--+i17).то '1Н; Л;,н;;;;с; ;;·й.Ь;ьюdtР"Т;,заК;Ю'1ефун;;цнит;; ;Н;;"и;, заключены l\Iежд;; )jj;!;:,.;r,"/SП;;ЛОЖИl\I 'и; = g=,2:ЫЫп"3(;r n 1).;;ак~И М. то. в силу леl\Il\IЫ Абеля.и СУМ';'l\Il\J;Jзаключена l\Iежд; ПII' [а) И А1l' [а). Но тог"';а И предел прио этой су;, МЫ за;;лю';е;mg(a);;'еждуMg(a)т. е. с;;uане"'!Л ;;;ынеравенстваь[а)т:О::;фунюiЯЯd;r:O::;/ f(x)l'f(t) d/,F(;r)(а)А1.ПРИНИl\Iает люiюе знач;'НИ;' А, за-аключенн)е l\Iеж"';; ее ТОЧНЫl\IИ гuаНЯl\IИm И А1, т. е.

найдется такая точкачтоь.г f(x)l'f(t) dt =А= .:;....а----,---,--g(o)аПО";ТОl\I;ь/f(; )g(x dx = g(a)d;.(10.12)аЕсли нево;раста;;;;;;ая функ ;ИЯИl\Iеет И отрицательные значенияфун;;цня h(;)g (х - g" (Ь ;енозрас аю;;шячения. По"п )Ы;;', В 'ИЛ;;' (10.42)[g(xg(b!] dxто;"",'еет ;ео ;"рица; ельн;,;е знаfi ;;) dx.[g(a)-g(b)]а)тсюда путеl\I нес южных преобuазований ЫЫ и ПОЛУЧИl\I фОUl\IУ 'уг лв А1ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕПГИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГГАЛА§ 1.Длина дуги кривой1.

Понятие ПJIОСКОЙ КРИllОЙ. Наиболее естественно рас­СNIЮ ривать КJИВУЮ как Сfед д!шжущейся точки. В этом ПУffкте\fbI прида,'Ш\' \TO\fY fредстаВfенИ!.' о кривой матемаТИ'fеский,fbIC и вве,юн fтие так наЗf,rвае\юй: nростои ';i;PU60U.сп\стfУLф\нкциинепрерьmныrp(t)а[о:, р] (аргсмснт этих фую,ци!ifДЛЫfейшем будемY-\jI(t)И ф(t)сегментеазыватьпараметром). ЕСfИ раСС\fатри­f'ЮЪ параметрtкак время, то\ка,анные ф\ ню ,,ии опреде.m\­ют закон fяижеНШf TO'I \и lvl ск '(\рдинатамиохх=Рис.(11.1)11.по П, fоскости (! шс.

11). l\Iножество {М} точекщих всево,можнымша'fеНШfпараметраt, от! ечаю­IП сегмента[0:, р]естествешю рассматривать как след точки М, ДВИЖГ!iейся по:шкон\(11.1). Отметим 'ITO множество {lvl}fре.f,стаВЛЯf'i!!iеесобой следто' fки. может не соответствовать нашима; fЯДffЫNI предстаВfеНИЯNI о кривой. l\IОЖfЮ, fапример, ука-1) Здесь и в ,',альнейшем мы будем называть nЛОС'h~осmЪ!(' совок\'пность\\се\ю:у,ю)кН\"х У!Юl"'ДО'lе,ш!"х !Шl' (х, Ушсемы будем называть точкой пло.кости). Числах,rуа!\ую паруи у называ!(\т!:я координа­тами ТО'l!\И (,Дл"l'аегкоссгибудем ,а!!"'е обо:3\ ,а'!аeгO'l!\Y (, у)одной буквой М. Запи!:ь M(,r. у) означа('т, что точка А1 имеет координаты,rиу.fЛИlз!Кие]\'Нуf(;Ш, рЫВffые36')fЮНI>УНКЦШftp(!.)и1j!(t) , З;Jдаf(ые на <е!], чт~) <л( Д ТОЧЮf М, движущеЙi'Я по закону х - tp(!.)('удет ';а tРлнять-выд(;лить таки(;наГЛЯДШ,1Мi,еЮ,1Н t'вадр;JТ ПО!ТОi'tу е<теств(;нш,]\'1 tРЖ(;СТВ;J {}, КОТО! ,ые <ОРfвеТСТЕУЮТ нашимаким обра:юм, Mt,1 при­[р( ,'tJ:тавл(;ниям о кривой,'ОДftМ к ПОttятию nростои ';i;ривоuivlJ-toжесrnво {j\;j} все:г точ,е';i; М, ';i;oopau1-tamcы ;Г и у ';i;OmO()nj" ,lеЛЛ1Отсл урш!1-ti1-tuл,л,t'i! (11.1), бу!ем 'Нлзывптъ nро­стуn! nЛОС';i;(i'L'i ';i;PUiiOU L, если разли'i1-ti,i", з1-tа f.e1-tU,iiМ параметра t02,л,tе1-tm,(J [а, р] оm,в' ЧП1Оm, jю,ЗЛ'i!Ч1-ti,!! т, iЧ},'i! эm,о20 ,л,t'Н/).жества.,1б;деi i«УРШi'Н/'Нii!Лтю;(11.1уtютреБЛitтtслед; ti!iit.уЮ терминологию:оnред' ,!Л1Оm nj"н'ту1О nШН'},у1О }'lmву1О<i nроста,н nЛОС';i;аii ';i;ривалLL»иnараЛiетризова1-tа при nо,м,()'Щи урав-1-tеifUU 11.1»>.Каж,t,ую точку мtюжеСfва {М}, фигурирующеtо в опре,t,е,tе­нии простонt'ривой,юской t'ривонпри'tеми р параметраt,ТО'tки,Mt,1б;деi i на;t,шатtотве'IaЮiiiяеграни'tШ,1то'л,он этойзна'tеНИitабудем Ha:~ЫBaTЬ 2рШ!!'i!Ч1-tы,л,ш то'л'ами ПрОСТi!!!КjШfЮЙ.ПРИitером tростой кривой может сл;житt графикHettpepbIB-юй на CetMeHTe [а,фуttкции у = f(x).

В са1\ЮМ 't,ete, ЭТОТ график можно рассматривать как след то'л'и М, шижущейся ю:шкон; х = t У = {(t) а ~ t ~ р, ПРИ'ti'М. i!'1евидно ра:~tИ'IНЫМзttачеtШям параметра3аеточечttыха н и емtюжеств,t1.отвечают различные точкираil;ика.Простые кривые не ИС'1ерttЬшан;т всехзасtУЖfшаЮiiШitаимеtювания«крш;аЯi.О,'шако ДЛit наших це,дocTaTo'IНo понятия tростой t'ривон.а м еа н и е 2. Одна и та же простаit криваit L iЮJtiетбt,rтtарамеТРИ;i!вана ра:~ли'IНЫМИ сtюсобаiШ. _\1t,1 будем рас­сматрш;ать f'сеfюзможные парамеТРftзации простой кривой L,U!ЛУ'Iat'iiiшеСit и:~ данной параметри:~аi iиипараметрадругогоt[утем[ре, t,ставлениянепрерывны' CfPOtO моtютонны'I>УНКЦftйпараметра .5.е '1 а н и е 3.!ажным U!Нitтием яв,tяеТСit понятиеBKt,e3 аnростуn! заМ';i;1-tутоu ';i;PUiiOU.

Такая кривая образуется Сtе,t,уЮ­щим обраю . П;стt L 1 и L 2 ше [ростые t'ривt,1е, при'tем:1) граничttые точки кривой L 1 совпадают с граничttыми точка­ми t'ривон L 2 ' 2) любt,1е не грани'шt,1е ТО'tки кривых L 1 и L 2разли'шt,1. Кривая L, ПОЛУ'tенная объе,'tянениеii t'ривt,!, L и L,и на; ,шается простой :~амкн;той кривой.2. араметрическое задание кривой. В математическоманали:~е иtРИЛi!Jtiенияхюбно рассматривать t'ривt,1е :~a[,аваемые парамеТРftчески. Нагля, tЫМf,t истоками TaKOtO сп 0соба;а, t,анюt t'ривон СЛУJtiИТ nре !!'тавлеifUе о ';i;jiUвоu ';i;(JX о2' ()Мim,Р'i!чеi },о,л,t Micm,l rюс,!, '!овпm,l ,!b1-tbl.l по U)if{'е'Нii!'Йпгию; ,<ЕЮ!n!n"{.';i;U,[ыхтриче(коеNl(СТОШ (л< д< ;са'! (ль~КОО!!Дiшатам!;ПО, юж<движущей;'я:~; ,кон!(1 ,2)IXJ,llреЩ;lатшяеl С(JLЮЙ крипую, Нd:3ышtемую сmроgшu,доu (рис.За ,';етим,'1T!; ДВИ/i<11.2 .строфок [,е т!;' [ка М ПОi адает вО,ЮитожеДВа!iiДi.1 припо,южеiшеt=iiaCCMaTpiiEaeMмы-1иtх=-=1.акПОСiе.'ЮЕатеъ [ыеЮ/iiения движущейся ТО'I!!ИОкакпо~то eCTeCTBeH~но с'штаТi ра"ЛИ'Шi.1\'Ш ТО'I!!И СТРОфОИДi.1,отвечающиеметрахраЗШЧiiЫМЗi ачеiШЯМпара~t.Строфоида не i!В.miется iРОСТОЙ кри~вой.

Характеристики

Список файлов книги