Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ДлJt пюго 'Чiпоб'Ы nлоск;аff фигура Q б'Ыла к;вадl 'ируем.ой, 'Необ! од'ИМ.о 'И достато'Ч'Но. 'Чтобылюбогс. Jf('ЛО[ МО:JfCiЮ б'ы.ло Уi'ЛЗ ппъ тш.о'Й Оn'UСi.f1t'f!'ы'Йм'Ног. "'jТОЛf.'Н'ИК; 'И так;сс;; вn'иса'Н'Ныii в Ф'игуруQ многоугО/iЫШК;. разностъ Sd - S1 nлощ .де'Й к;отор'Ы.Х бы.ла бы, Sd - SiД О к а :~ а т е л ь с т в о.1аQквадрируе.iа..1)е.Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть-Р-f акточные веРХНЯ?l и нижня?l грани множеств {Si} и {Sd}' то для>любого ТПiсла [но указаТf. f'ЮШЙ вписанфfiQ многоугольник, площадь Si которого отличаеТС?l от Рменьше чем на[/2,т. е. РSi< [/2.этого же [>о=можноОJШi i]нный М;,СiJОУПi'н,Ш i'казаТJ,,площаДJ,'/2,(iтю,;ттас' п:я'еш,ше ;с'м нае, Sd"кладываСi полученные неравенства, найдем, ЧТ(i SdД ОТ а т оУПi!ЬНИЮiВ,П) Р - РоSdкоторыхс.13SdSI< С,СJ,;Л' произволь ;; (iСТИС- SIишM;,CiJOТ]К как Si :::;: Р :::;: Р :::;: Sd,(iт<юда вы J'eJiaeT.
тттоi акимlазом, фJ;lа кваД]шруеl;а, Теорс'ма доказана,iiуде' говориг;то гIЮ'tiU'Ца nЛОС'Х: ii ';Q им'nлощuдъ, РiЮНУЮ нулю, если ДЛСi любого положительногошслаО можно указаТJ, такой описанвокругры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоУГОЛ,НЮi. lаЗНОСТJ, Sd - Si п.ШiщаДСIЙ JШТОРЫХ 'еньше с. Оттевидно, теорему 11.2 ыожно также сфорыулировать следуюшимJ\lbl>О'jразом.упого 'Что;;'Ы n/!ОСi;ЛJl фигУРiiи достат, i'ЧНО, 'ЧтобыQ 6'Ы,ла'Х:uuдрируеАюu,uеоб?lюн'U'ца 'и 'l·елаIЮ6Н1iЮнулю.3яха мтт а;;мсусто;;ССIX прю;;дс'";лос;намиможно расс: 'аТ]lю;аТJ,lасс' :iiД]НИ;роиз ;ольнос'множество точек плоскости.Установим достаточный nрuзна'h;Теорема11.3.Если граница'h;BaJpupyeMa.Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть [* -длина кривой L. Будем счипараметризована с помощью натурального параметраО ~ 1 ~ [* причем, поскольку криваяч;,юш;;"зю, ;ени',;И;,аР"'lеаLи от;;е';;;юш, юнию сегментаЮ' ,"'нно;·;,l,азб;;,l*nL;[*[0,[*].
Точки МО 2\111, ... 2\lIn раз-б;;в;,ют ;';РИ;" юLL 1 , L 2 , ... , L nю' ча!.ны которых равны (1* /n)щЮ,I з;;ены'внои1замкнута, ее граничные точки, отвеП';'П;lда;"'. П,ст;, е - п ,ш; iВOД;,HO"положительное число. Разобьем сегмент [О [*]точками О = [о < [1... < [п = [* на nр;,в,;;,;х '/,cTei., д,;ины ;·;еньше ej91*. Р;,сс;;!'ломаную 2\lIoM 1 .•. Мп (МО = 2\lIn ), вписаннуюIЧ;ИВУ;'"плоской фигуры.еuб,11сnр"мл"еJvLУЮ 'h;рuвую, тотать, что кривая·M"IJ.I.''II·IJ:ln'/IC.M.(J'(;·I.rr.'II.LM;-lMi(е/9[*УЮ' ,"щной ;,;,;шеГ,М 1 ...
МП Ю' бод;,ш,', д'Очеви.ШОП" Н'СТ;;ю;·;а; ю,:ж·. юе звено 2\lIi - 1 М внутрь ква. 'рата со стороной31* /n так, как это указано на рис. 11.4. Легкоб,.Д;;Т;,'";,что .;у;аL"i.тяги;;ае;·;;,я з;;ено;;располагается внутри этого квадратаибо р;,сстояние от люб,,;;аспол",''''';НОИ в;;е И'2\lIi -Рис.11.41 М.,на граниЦ",'Того квадрата, до каж .
ЮЙ и'; точек 2\lIi - 1 и 2\11, не меньше [* jn,' и поэтому,е!.бы ;·;ю( ",;- щбоОЧЮ'дуг;; L; бы," ;,ю' ир' ю, Гl;аниЦ', у;·;азаю;,го квадрата, то вписанная в эту ду; 'у ломанаяне меньшую2\;[,-1 ММ./n т. е. большую чем длина 1* /n .;угиимела бы длину,, чего не может;"ыть. Объе. шнение всех таких ква.' ";атов, построенных на всех звеньях ло-13Б.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI"рсд" :'1:Л',1~["M 1собой '1НОГОУ1 Р,Щi1'ZрИ :iЮ L п: '1че11 "',,'вид,,,, 'П" 1p""iiii.a э,.о[юй 0(1ъединение граню впи,.анного в фигурусанн"'" В01'Ср;Q11НОГО;П11е, ста1: 'ю'тмногоугольника и опи-также, ,ПоЬp1iiHOCплощадей этих многоугольников равна площади ,'iказанной фИГ'iРЫ, а пло~Щ11Д1:Р1:'не1'Р"ВОСХОДИСУМ11ПЛОЩ11деи[*квадратutl.
Так как S = Н-,,- = 9t1' с:)n"~,',:' то Sd[*из того, что 11а2.QnКВ11ДрИрi91'<- SiO.ИС щЮ:IХ1:1:,шеl после,'1нее HepaBtёHCIBO сле,'1уеl<: "n01Поэтому, согласно теореме 11.дою' ,::ща.Площадь криволинейной трапеции. КР'U60Л'U1tейнойназ ,нzается фff,а, Ofрани'ная графиком задан-ной на сегыенте [а, Ь] непрерывной и неотрипательной функции .I(х;), орди fатами,юведе шыми в ТОТПШХ а и Ь, и ОТРСЗЮiМоси 01 ыежду точкюш а и(рис. 11.5). f,окажем следующееутверждение.КI?uвОЛU1-i, й1-iал mlюnецuл щ?е, iсmавллеm собо ii 'Квад1?'ируеJoЛУf/i фuгуру, n/ющадъ р 'Которой JoЛОJICеП1 бы'!.
'Ъ 6'Ы"l'uслеНfi пофОРin!леьJ.I(х;р(11.28)dx.аоменте а, ЬHOf оf ак как не fрерывная на cefфункция интегрируеыа, то дш, любого положитель-а за т ешслал ьс т в О.но 'fiазать ('а шеiазбffеЮfе Т[а, Ь]CCTMC'Hf'a<что рашость 5 - sЕ, где5 и s - СОС!"::" ('ственно [Ц'РХ-уня?,ибиенш,нижня?,Т.суммыНс!Иpa:~равныSсоответственно 5 d и 5i, где5 d и 5i - плошади ступенатых фигур (многоугольников:аоiYfn-lХаРис.ХnперваяДЧНiИТьХпецию,которыхавтора?,сотра-содержитсяВ криволинейной трапешш (нарис.11.5и:~криволинейн'11.5и:~ображены также иaTf,feуказанныс' сту:<ры). Так как 5 d - 5 iЕ, то, в силу теоремы 11.2, кривоЛИНСfйна?, т] ,ашщия квад] Ш] " с'ма.
Поскольку ПрСfД(" при ~ ----+ь«них и НИ;!1 них сумм,авенJ.Idxиsр5,ато площадь Р криволинейной трапепии ыожет быть найдена поформуле (11.271,).3873еааттЛОЖИi ел ,наф'н],уегме ['ГеHf<шяfнеп] ,е])ывнаiНi]че шетоинепо-Ь(:r; )И1f'ГеfраЛi]РiШНi' ВШТОЙ С i'ТРИЦilтельным :~HaKOM П.llощади КРИВО.llинеЙноЙi,Шi ции, О! Р;Шil т теНШiЙ графИЮiМ фуш<f(вточках а ии отгезк())[ ОL:И ОХ между точкамиьесли(х) меняет :шаю тоJравен суыые B:~)!TЫX с опре-(:r;)аделенныы :шаком плошадей криволинейных трапеций, расположс'!'вышесо :~HaKOM3.НИ:Сi<еа вторыхOCf,i- соП],f,iTTe:'-.iлошаДfi,с'рвых бер' тся:~HaKOMПлощадь криволинейного сектора. Пусть крива)!задана вполярнойа :::;: В :::;: (3 (рис.нс'отрицаТi Лf,на нануюуглы а исистеiiекоординатiавнеШiе'11.6), причем функция r(B)CiTMi нте [а, .
f1ЛОСf<"фfirL-непрерывна иДi,УМЯ луттами, составляющи'ыы будеы Ha:~ЫBaTЬ К;РU60ЛU! ейныl'лL(3,след'" 'i,Шi'!'сек;mоро.;\Л.у' [у!'1)ждение.КРU60Лif1-lей1-lЪ!.йтпор nредсmаUЛJlепт iобойф'uгуру,К;ОП орой ,м,о:ж;еm бъ,се'К:Lле1-lа8(В) </В.(11.29)Рис.Д о к а з амента [а,е лс т в о.точками а = Воасти' шог,! CiTMCiHTa IBi -(3]<РассмотримВ1< ... <11.6iазбfiеШiеВN =(3cef-и дш! каждог,!,Bi I Ш!СТ]f!ИМ круговые CCiKT'!PbI,радиусы которых равны минимальноыу ri и ыаксиыальному RiшаченияыО) на сегменте, В у].
В ре:~ультате получиы двевее]н ю{!разныio фигуры, пе] ша)! из кот'!рых с'!де] )житс! в к] шволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор(эти веерооГ!раЗНЫСi фИГiiЫ fiзоб],аЖi ны на рис.Siи'f<азанных1 nно 2" ~~=1rr1 ~фИГ'2и 2" ~ R i[тоi=1яв, шетс! нижней С\]\Л\I'!Йsдш ф'нкuии1. Площадиуавны соо! [ц'тствен-iвая из Эf'ИХ С'12для указанно-го ра:~биения Т сегмента [а, (3], а втора)! сумма являетс)! верхнс'й суммой S для этой жс' функции и э ['ого жс' iазбиения. Таккак функция !r 2 (B) и [те! ]шр' с'ма на сегентс; [а, ,8] то разность13*<о +ет быТ!S-люБОf о фf1!<;ИР('f(анш)гi'меньше с/2>какОмалой<«;iaаffРИМС;Р< дляразно; П< МОЖС<' бьпъ сдс'ланаВпишем теперь вС' внутреннюю веерообр; <:шую фи-гуру многоугольникQ' iС площадьюS ;,S .';для которогС'ЕИ (:пишем вокруг внешней веерообр;;:шой фигуры 1ШOl\,}ТО.llЬник Qd lш()ща~ью На, для KOTOrnгO Sd - Ва<~).Очеьидно,первый и:~ этих ыногоугольников вписан в криволинейный секTeip,а второй ;шисан вок]с' Г Herei.
Так как сп];аведливы нс;ра-венства(11.301оттеfШДНО,i'O,< С.- SiсилуfрОИЗ (()jj,НОСТИ с, отсндатекает квадрируемость криволинейного сектора. Не неравенств1.30) f(i,iTC;Kac" Сffраf(СДЛИВОСТЬ4. Примеры вычисления1.:.~9).площадей. 10. Найтищадь Р ФИГУ]fЫ Р, ограниттенш)й г];афикаыи функпий уИ Х=уй, а ~1(рис.11.7).Поскольку фигурана относителыю iШССС;Кj1fifСЫ пеРfЮГОплох;йF сюшетричiшординатного угла, тоее площадь может быть получена посредствоы вычитанш; иеплощаДi,[(ад]УДfюеннойfлошаДifции, определяеыой графиком функпии уТаким О)iразеiМ<формуле 11.:.~8)J1ШfЮЛИНС;ЙНОЙ трапе-=ха на сегыенте [О,1].1- 1- 2xCldx_х"'+l[-]111 -1 _ -2- - -а - 1.О+1СУ120. Чере:~ три точки с координатами ( 11, УО) (О, У1) (h,Y2)арабола у - Ах;2Вх;D (или п] 'Я\fая,flJOХОДifТ только однаесли эти точки лежат на одной прс;мойуравнений относительноAh CfеЙствительно. систеыа2)1?I1+ D = Уо,D-YlD - УС1) ':;сС\<;аоят и<\ '<'ру' Щ:i,IХ0-ров.
Каждый сектор квадрируем, и поэтому ква< ;iIЧiуемы и веерооб;iазные:];ИГУ::Ы.<шя <НИХИГУ;i мо)кно н ;йти МНОГОУ"ольники, п<:ющадиВ,:1'?;d KOTOPi,IXДЩ:Н'Тi;;;РЮi;Т ую; ::щным неРiШ;"«Bi<::1.2) Эти уравнения пре< i<ставляют собой условия расположения точек(h,(O~ Уl и (h, У2) на параболе у = Ах 2и+ В:с + D.зюУ2Уа(-h,О)Рис.(h,O)ОРис.11.7х11.8имеет единственное решение.
Иыенно:_-У"Уа= 7/1·211.Вырашм плошадь Р криволинейной трапеции, опредеЛlемойуказанной fараболоЙ. ординатамитотп.;ах (-h,(h, ире ;ком оси Ох ыежду этими точкаыи (рис. 11, чере:~ ординаты7/;1 У; и 712. Так как по ф')рмуле 11.~8)hр!(Ах 2ВхD) dx _[А.г:3+ В:с32Dx]~Dh,-11iаж; НИЯ ДЛЯ А ир -30.r -аНайтиcos 3(1з(71;1шощаДi.(рис.D,4711найДf мУ •.iилистника1! .9). Изiie:+a яс-но, что вся площадь трилистника равна уве.Шfттенн.)ЙШС:Сii.разшощади:аштрихованной части трилистника,ю)тораСI ответтас:т измс:нс:нию7r /6. Поэтому по форыуле(1от О до(11.29:7Г/6р6~2!cos 2 3(1 d(1ка24uРис.11.93~Об [FeMЬETf лИ площадиПоиятие\стьрое [<\'HeTTHOC~вписанныеввокруг[F[e :;\'з:·юJ!<тело[[C~KOTO-ноге гра [ники~гогранники,['елаа.но!описан-<анника \во l[·!Т-К Бытшс.'Тению с)бъеМОБ тетраэдров (треуго.'Тьных llирамид).Поэтоыу мы будеы считать и:~вестным понятие объеыа ыногогранш![<а.Пусть {"~} - числовое ыножество объеыов вписанных в тело Е МНOIограннюш!;.
а {V;} tИсловос' 'нос!<ество объс;мо!;описанных вокруг Е многогранников. Множество,,~ограничено сверху (об;,с;мо<! любого о! [!саН<ШОГOIранника), а множество {Yd } ограничено сни,у (наприыер, числоы нуль). Обозна'tИм У ['О' ную ;;с'рхш<"грань множс;спаi}, а У ['О' нуюнижнюю грань ыножества{Yd . Числа У и У наывютс)]l соответст!;( нно 'Ниж'Ним о{)ъе:ом и в(:рх'Н'и;\,' оГ)ъе:.ЮМ тела Е.ОтмС'['И:!то ниж[р'об(,с,м['ела Ебол[,ше ;\('р<него объс;маэтOIО['ела..е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
