Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 71
Текст из файла (страница 71)
УУ. Чтобы убед[!т[,ся в с!<а-ведливости этого, достаточно провести рассуждения, аналогич[,[е те:!, [шторыс; были сделанРР:::;:сы. п.для доказат( л[,ства,авенства1 § 2).ВвсДс;м тс;пс;рь ПОН)iТие к;уб-uру, \:ости тс'ла.Те/!О EU\\.('(,(.naenUJlк; у б 'и р у е JoЛ 'Ы М,есл'i\aepx1li\u 06зем У ,:пого тела :оunuдает с ll'UЖll'UМ 06земом У.'Называетсл :(бз, \:0 ;\" тела Е.П; "и этом 'Число УС,а!;сдлива след.~·(:,шаятс;о],е::!а.ДлJt того 'Чтобы \пело Е было к;убируеJoЛЫМ,'Необх;од'uм,о и ,;\(стато'Ч'Но. 'Чтобы длл ЛlОбог\( nолож'uтеЛi,'НОго 'Ч'uсла с МОЖf!О бы/!О ук;/.ютъ так;ой оп! :Шl1lЫ,U аок;руг телаTd'opd'Ma11.4.Е м'Ног, (;'lю'Н'Ник; и так;ой вписа'Н'Ный в т(iЛ\(\f.Ji' f;,огJJa'Н'Н'UК;.разно, \пъ Yd - ~ 06земо!! к;опюр'ых 6ы,ла бы Joлеffъше с.
Дока:штельство этой теореыы вполне аналогично дока:штельству теорс;мы11.2(см. п.1 § 2).Кубируемш:т;" неЮfТОРЫХ клнс<:ов тел. Буде' наз[,[вать 'Ц!\ :ШlдроJoЛ тело, ограниченное uилиндрической поверхностью с обра:~уюшимк параллельньвш некоторой оси, и двуы)]!лос[шстями.;('Ндикуля]'и этой ОС[!. ЭТИ плоскостипересечении с цилиндрической поверхностью обра:~уют плоскиеф[!fbI. наз ,н;ае:·ън' \fс'Нова'Нилми цилиндра, а расстояние hмежду основанияыи цилиндра Haыветс)]lfис. "11.10).1)Т'ЛОМ МЫ б\той непеl\есекаю ii.еЙся повеl\ХНОСТЬЮ.!!'ысО'!. 'ойшлиндра3слсД\ющее\тве]iЖ jеШ·jе.лвллетсл к;вад1?иру' \\ал фuгура (), то 'ЦuлU1-/,i)Р'06011 к;у6uруеАюе тело, nри'!ем, 06зеАt V 'Цii i'Uf др'! Е РiюенhfiЛО-ЩШ)<Ьj CLкД \я люБОjj(i'j(iЖИТС"jj,НОГ(iнотаки с,'казатьiiblUJmaj'()как\Иiла с мож-'шисанныйивписанный в эту фигуру многоугольники, рюHOCTj, Sd - Si jлошадей j-;QТОРbIХ будс"меньшеоснования:'YKaiaHHbIeвышеэтив-многоугольники,Si)h-п]шзыыПРИiМ С<)lВЛ)iЮТСЯрассыатриваеыоеJjiaTj-;QТО]ibIХ СЛ'COC!i'\' тстве шо Sdh и 8 i h.ivic/11.
Объемы Vd ивысотойfhравныоэто'.'=с. ТакVd -СООТВСiтственш!телоРис. 11.10описанныыыногогранникамктс'ло Е "'iшруео. ПосколькуцИ. шндра iaBeH Ph.Mj,i 1 .4тои вписанныывсилутеореj'oоб !,С'Мfihd,ДОj-;азан н 0\0iJii Д(тия [) j,jTiiКaC" к;убuру, \'·OCmi- ст-иnе! 'члfпыx '! iел ступенчатыы телом на:~ывается объединение КОнО\о ТПiсла ЦИЛИНДРОi),iаСiiOЛОЖС'j\j·Юi. ттто i с'рхнее оснj-ва шс! каждого предыдущеjО изП\iШШД]iOВ находится в одной плоскости с нижниы основанием последующего цилиндра,см.ij·iC.1.1)."jC.
11.1211.1а ы е ч а н и е. Справедливо следуюшее очевидное утвержДi нис!. Есл'u длл ЛlОбог ii jf(iЛО НluтеЛЫ-i· '?() 'Ч.'uсла с м,ОЖ1-i ii ук;а·iШГn'Ьпшк;оеОnUСi.f1t1юе60к;ругтела,iпуnе-ff'ч,{f'гnоеК;Ое вn'исаннOf: в Е стуnе1-i'Ч.ат· 'е т,:ло, IЮ31-i' 'ст'ьК;О'!fЮР'ЫХ Аtен'Ьше С, '!ПОк;убuруеАЮ.V; -'гneiQ'итаii iiбй' \'овИспол ,з' е:' зт\' замс" i]ние для докаЗi1Т! лы:тват, ла 61?ШЩ' 'Нuл1И:;енш), НfКажс:м С'Н дующее 'твеРЖ.;ение=фУff'Х:v,i'" УнеnреРЫ6на на сег,;lлеf· ,ие [а: Ь]ог-да тело /", образо :аff1юе пр'.
щеm е,;lЛ 6m:руг ОС'И ОТ f:РiЮОЛi не'ЙтJ)(]'fJеv,Шf.,ф1j'Н?"Ц'И!! /( :r:),там'и 6 то'Ч,'Х:ах а 'И Ь 'И отрез'Х:();\' оси{:т аЬ.'И его обзеJIЛ У J"ЛОJICеп! б'Ы.тъ lш'Йден по форму;еУ(11.31)ао к а з а тл ь с тточками а = Хо.1<о.П.fСТЬ Т<Xl<-Х n = Ь,;азбf.;еш;е сегента а, Ьиmil'vli -точные гранина сс:гмс:нте [Xi- , Xi].а каждом тarш:·; сс:гмс:нте построимдва пряыоугольника с высотами mi и Mi (на рис. 11.12 июбражс·}'эти ;РЯМО"'ШЫfИки толна 'щном СС:ГМС'нте [Xi-l, xil).рТы получиы две ступенчатые фигуры, одна и: которых содержите: в к]шволинс:йной трашщии. а другая содс:р:+итПривращении криволинейной трапе ши и этих ступенчатых фигурмы юлу'fИМ тело Е и два сту;aTf,'··· т! ла, одно из fШТОРЫХсодс:ржится В,а другое соде] 'житС)бъс:мыi и Y d этихступенчатых тел равны соответственноnиLmT6.xiJrLM/6.xi.i=l!с·видно.нижш'"с·этиi=lвыражс'НИЯпр! дстав.:Ш!:'Т.l 2 (x).Ы для Ф'ШЩffИинтегрируеыа,ныхс"ню:Тсо:юйтодляfrOра:шостьука:ан;азбие[а, Ь]будетПОЛОJ!fитеЛЫЮf:'Следовательно,ПосколькуИнеfШТО] югосегыенташс: данн:вс:рхш,"Так как эта фун щ !ятелопределЕменьfИслакубируемо.ука ;анныхсуыыь-аах;авенJ.l 2 (x)dx.[о объс:мт! лааЕ' 0 +:ет:ff,fTb(11.313.
ПримерыЮформулеВЫ'ЛН:Лf'ННС, объемов.Рис.11.131О. Объем тела, полученного врашением вокруг оси ОХ астроиды3-32-ла3Of)cьelli тела, lЮ'ТУ'Т('ННОГО НРGlЩ('НИ('М вокруг ОL:И ОХ сину2'.соиды на сегменте [О,л]. Имеем7гV= 7r.17гsi11 2 Х d.T =7rо.1_1_-::--_оПлощадь ПОВf'j%ХНШ~ТИ врнщения. Рассы,4.fT] шыпове] )хность П, обраюванную вра! lением вокруг оси От графика функции У- f(x)заданной наCCTM('llle [а, Ь] (рис.
1 . 4).ОпредеЛllПОЮiТие 'Х',иадрируемост'и поверхности вращенш: П. Пусть Т-ра:~биение сегыента [а, Ь] точкаыи а = хо < хl < ... <= Ь. иlYCTl. А о , А , ... А n - СООТl,С'l'СТВ'!"ШИС, то'!ки графикацИИ ЛХ). Построиы лоыаную А о А 1 ... А n . При врашении этойанойосиMl.!пол\тти:·!хность П(А i )составлен-ную и:~ боковых поверхностей усеченных конусов. Обо:шачиы чешощаДl. поверхности П(А i ). Если Yi а li - длина :~BeHa li-lА! ломанойрсзв точкахО]Xi,f(x),тоnP(Xi -~л Lij.-l+ ijz li -7ri=lОП] ,еделени:..
Чuсло Р!Ш,!'j,i.nаеПUJl nредеЛ()А'P(Xiесл'u дллдаШlOгоАоnОЛО:JfC'UтелЪ1lO-ii·O:JfCHO'Ч,'Uсла( 1.32)i=l!1глируеы сл( дующие'jюбогоL(Yi-1/'Х',азат;,та-'Х',ое nОЛО:JfC'Uте/!ъ'Ное 'Ч,'!fС/Ю 8, 'Ч,тодлл любого Р!i!б'Uеll'UJl Т !ег.foлеllта [а, Ь],iiа'Х',С'uмалы-taл дл'u'На Д.'ч,аст'u'ч,llыlx!'j!!60сегме'НтО68. 6ыnл'нлетсллIP(Xi) - PI < Е.'Х',оторого'Не7Ю6, 'Н.20. ПО6еli,[:'Ност;, 6JЮ'inе'Н'UлlШТЫ6!!ет,'Х',6uдр'Uруе.АЮЙ, еuшг"CY'UJ/:Cm6Yi:m nl i еi i "лP(Xi)' ПР'U ЭПЮ.Аt 'Ч,'uсло Р lШТЫ6и,'тсл nлощадыо !i!i6eli,[:H,icm'u П.Докажеыдение.следующее утверж-'и•.11.14i!Ze?! !U~.MплощадьIр = L.тr Лх)ах.(11.33)ад о к а з а т е л ь с т в о.li звена A i - 1A i ломаной А о А 1 ...
Ал равна J(Xi - Xi_l)2 + (Yi - Yi_l)2. По формулеЛагранжа имеем Yi - Yi-1 = f- J( Xi-1) = f!(~i)(Xi Полагая Xi = д,.Гi. пол\чим li = .,)1 + f'2(~i)д,Хi' ПОЭТОМУ,согласноДлина(11.32),лi=lП! рв!iЯ СУ'Ш\.f!i В пр iВОЙ части !!!!!ТНi}шения!!!б!!й ИНТiтраЛi iУЮрая'еУ фV iКЦИ(11.34)ПРi'дстаВiяет2тrI(x)v1Г2(х), ко1'ов силу условий утвержтения, интегрируема и имеет пре1l,елЬ= 2тrJ Лх)'м ЧТ!idx.,IражениеФ тур-аеЫХ С !!!БК!iХ ВР!iВiiЫЙ НУiЮ.Ч!i!'1'И со!!'! се!!ТТТ!iiУС'ЛияЕ -1'с'1' ПРiлюб !е Пi! i!!iКИТi .
'ЛЬНОiчисло. Так как ф' нюшя J(:r:) равномерно непрерывна на сеГJ\Iен1'е [а,1'0 iютаННQгiУ ЕО М !iKHO УЮi,aiЪ 1'ае:!!е 5О, [1'О iiрИД,(д, = шах д,Хi) выполню iтся неравенстваf(~i)Еу,(~i)1Е. Е! iи JvI !,iai i!:е.Ш:.i.чеiiие фУiiЮiИbl.>>IYi-1 -<.,)1 + f'2(x)на сегменте [а, Ь]то для выражения в фигурныхскобках в правой части соотношенияполучаем оценку(11n{I<jГ!ГС!) !\Х }"_,'/iw'/i=lл2JvIL д,ХiiВ силу iiРОИЗ:ЮЛ:i!:СТИ Е>Оiiре1l,ел ус!а'i;i'=2JvI(bа1е!НО ВЫР:е !!,';ия р:.е.вен Н'iЛЮ. Итак мы 1I,0казали существование претела Р пло! !.а-ПР'д',.'л[1'(1ДОК i заШ 1'ржДiС"а 'РИР'С'·"ЮВСi'но ДОiiа',ать при '10, ,ее сла,iых усювиях,1f"H ,((.иябыла ОПi ,(,дсл,'н""р"(остаточно потре' 'овать, что,iыи интс, РИi "С,еа на сс,по~,о пре'щоложения вытеiiает инте,рируе:\юсть Фунющидо,ю,ше,ше1к г".'см.,]а,'Ы1ейшие раССУii,деШj', пиче',10).пе о,',шчаю,'ся О'"рассуЖ.'fениЙ, проведенных при ДОiiа',ательстве утверждения этого пункта.3 а м е ч а н и е 2.
ЕсiИ поверхность П по, ,учается посредствомВ! ,"щс, шя вокруг ОiiИ Ох кривой L,'! ,('дсл (('мой п,,"""ри ((', кими УР"В[П1 j((ми ;с-;(t) У 'Ф(t) а ( t ( ,В, "О 'Щ(,1 ,'ШI((',' замс,еС: Ч'МСiiIIi ,1 1под :знаком опре.'fе, ,енного инте,ра"а в форму, ,е 11.33), по, 'учим с,едую==Щ(,1' ii!,1раii'С!!ИС дл(( площади Р этойЮВСР' ю,зр = 2т.f11.35)Рассмотрим примеры вычисления площа1о. На,';дем п,ющадьп."+Ь2 = 1 вращ ,ст,"округ ОiiИ Ох.(враще,ше вокруг '10"=1Iir j(,л"луч"й>,шой оси ЭЛ,iИпса). Так как в э,'ом с,у 'аеV ~ Ь2 ,!!.
';n 2 - х 2 , ТО, пол"г 'я е =nаj(,ЙД, М2а--аЕсiИ аповерхносте,', вращения.поверхности э, iЛипсои еа вращения. Пусть ЭЛ, iИпс-а< Ь,то. по, ,агаяи прово."Я соответствую "ие вычисле~ния, по"учимр = 2т.Ь (Ь + ~2 !"Ь еln _1_ ) .- е. Найдем площаР ювер' юс' и, Оiiра:ювап юй враще,ше', вокругос" О;с циклоид ,1, определяе', ой пар"', е"рическими ур ,в!!еп '((м j ;с = n(t= а(l- sin 1),р=2т.cos t),/ф(t)у§ 4.r.pf2(t)о(+,t (2т..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
