Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 74
Текст из файла (страница 74)
рис.12.2).черезТО'lКИ графика фУНЮfИИ1 саБCff1fССОЙ хи П. За втор')еприближение возьмет абсцис~суХ2точкиА1')ТОТспересе'lенияxop~,ю Ох. ПР')" шжаяпроцесснеограниченно,li)CTP )lfMПi)слеД')Rатель-ностъХl,... , п,...приближенных значений ИСКОJ'\1')ГОкорня.В праКТИ'lеских т~елях удоб~нополучитьвыраж( 14 )ЩРЮче!е'; х п ·ДляlР')ХОfЯ1А АорекуррентнуюЭТ)10! 2.2хп+"1ЮЗ1у- f(x:;у!а;нею,е ЛЬ)через точки А п_Н;n)лх п ))х:- ,r n-Ь---- xop~(Ь)), и ВЫЧ1fС-,тим абсциссу х n +l то 1КИ пересе 1ения i)ТОЙ хорды С осью Ох. Прихп +ф !рмула(1'= ;Т п -f(li)(ЬОllредеЛifет аЛГi)fНТ\i(12.2)\leTO, Щ х !рД.
Tai1fM i)б~раз')м, мет,Д Х')РД представляет с,)б,)й метод итерат~ий, ю)т')рые строятся при помощи рекуррентной формулы(12.2). Нашейдальнеjrшей ';адачей ifRЛifется i)б')СНО1;aI;ие \1етода хорд.В п.ifCНlf6зна'lений,\СШfR1flРИKOTOP1,TXli)слеД')RатеЛ;,НОСТ1n СХО1\ИТСЯ К искомому корню с, И1а1\ИМ оценку по~грешНl)СТИ мет')да Хс )РД.4. Мето;р итераций (последовательных приближеk4ИЙ). Из Ш . 2 и 3 ЯСfчто \1етоды 1iасатеЛЫ1ЫХ и хорд С1;Я~заны об1 l,ей И1,еей построения после1\овательных приб.тюкениЙиско ,н)муЭта 1fдея и ле 'l<'ИТ')сно;е 'плагае\!i)lО внастояшем пункте метода.Этот \1етодpaCC\H)ТIH1п!1! MeHeНl!х = Р(х).'равне;1fЮ( 2.3)2i!iПU~.< !;'/-/'О!'дем:7 пн;;.:з.тват;.ч! р;зF(:1: n - l ) ак;;.~выра.Ж:;;!··;!пзад;шия функциислеДii~:~;~::о~~;i ~~од;;тся.TX'~~:~:;:;;;~T?{~j)O~ c~~~~~быть, ее !;лементы могут быть взяты за приб.!Иженные зна'lе~ния!;того корня.Спрat;еДЛИВii следую; ;ее·твер;;;дение.YmBep:JICaeHue 1. Пусть Фун,'к:'И,ия Р(х) непрерывна на ceг~.менте [а, Ь], и пусть все эле.менты итеl!а'ЦИОННО'Й nоследова~тельности хо х ,...
Х п ,'"лежат на это.i;! сег.i;!енте. Тогда.если эта последовательность сходится к некотОIЮМУ 'Числу С,то !!казанное 'Чигло С является KOpHe.i;! уравнения2.:\).Д о к а з а т еь с т в О.Гак как после1\овательность {х п }сход;;тсяС и все ее эле:;;е;;ринадле;;;ат се; мент [а, Ь] тои пре;ел С прина;лежит сегменту [а, Ь ] (см. сле1\ствие 2 из Teo~ремы 3.13). По условию функт~ия Р(х) непрерывна в TO'lKe, ипоэто:;;; НiслеДi!Rательност; {Р(Х П - ) } сход;;тсяР(с). Та;;;;мобразом, равенство х п = F(Хп-l) в пре;еле при 17, --+ сх) пере~ХiЩ;;Тра;;енст;;о С = Р(с). е.
С ;;вш;ется ;;с!рнем ура;;неНllЯ(12.3). Доказанное утвеРЖ1\ение бу;ет существенно использова~но нами в lП.5и6для оБОСНl!Rания меТiща касате.m,Нl,ТХ и Х'iрд.Докюкем еще о;но утвеРЖ1\ение,часто используемое 1\ЛЯприближенного вытисления корня уравнения;;тера;;;;0; ;Hii!;',YmBep:JICaeHueHeKOmOpO.i;!пусть в.менте [сусловию-Е, СIF'(x)1(12.3)с ПОllЮ; iЬю;;iслеДi!Rательнос;;;.+ Е]2.ПустьKOI!eHb Уl!авнения-12.3.,иСИМ.i;!етри'Чно.i;! относительно то'Чки С се гщюизвод'Jf,ая функ'Ции~ СУ<удовлетвОI!яет1. Тогда итера'И,ионная nоследователь~, у которо'Йв КШ'iестве хо взято л'юбоеност'ь :1:0,Xl, ...
,:1:;0""'Число из се "мента [c-е;с+ЕI, сходится к ука:анно.МУ корн'!!; с.ДК аа т е л ь сПре;;;де ;;се;о;;лементы итерат~ионной после;овательностиуказаННliМУ сегмент' [с - Е, С+ Е].в самом деле. ;То принадлежит;;тому сегменту по условию. ПОCjтому;остаточноЧТii;Т п -пр;;надлеж;;тприна;лежит. ДляЭТii\;УCjTOrOcel':;;eHTY,х п - С = р(х п - )-некотораяTO'lKa,чтои;Т пе:;;уприменим формулу Лагранжа к разно~сти F(ХП-l -Р(с) и учтем, что Р(с)г;е ~прещоложив,доказать,=с.
х пР(с) = р;=(х п -F(ХП-l . Полутим- с),ле.ж:ащая мелClУ xn-l И Сприна;лежащая сегменту[1' -Е,+ Е].Так какIF'(12.4)['Нl llИЙ1:1:(12.1::;;11<У), поскольку о(1'(1·11.в свою о lере1\Ь полу lим1 -Не!)ю;еНСТi;О4U7С'СТЮiаВЛИi;ает, ЧТС)Иiiслед"1Ш8J'l1ент х п раСПО.юж:ен к с ближе. Ч8J'l1 пре lЫ1\УЩИЙхп -'j. [емент,стало быть, так i,ai, Xn-l ПРiшадлеЖiiТ Cer\ieHTY [с- [, си так как 'jTOT сегмент симметричен относительно точс. тоХ п ПРiшадлеЖiiТ этс)му Cei\ieHT\. ОстаетС)! Д н,а';ат!lTO после1\овательность {Х п } схощтся К с.
Поскольку неравен+ []CTi;O 12.5)Сiiраведл:юlO для всех нс)меро;n,тс) с llil\Юi iЬЮ этогс)неравенства получим1 ::;; о:" 1:1:0 последнего неравенства О'lевищо,Ут;ерждеШiедоказано.;;;·ем праКТИЧ;lСКЮ1 з;;м; Ч;;НИЯС.го 1твеРЖ . ;.ешш. Пре.;пОЛОЖ; ;тнcl·lTO(12.7)Хп;сит;l ;ьш; Т--+с, ибо о:п;.
;ью;--+что доказанш;что путе;;; пре. вар;;тельной пр;;ющки мы;;";,ус ановиш, ';то ю;теР;lСУЮЩИЙ ш;·сУ1il;В;;;lНИИ (12.3; изолир ;;йн ш;некоторо;,; ;'ег;,;енте [а, [,], на которо;,; проишодная Ф.'нкц;ш F(;r;; ,ДовлеТВОР;;;'т ус;овиюIF'(!)I ~ а < 1.Так как ;;ег;,;ент [а. Ь]носите;ьновообще говоря, не J!ВЛJ!еmСJ! CUM.Mempu"tHblM от-иском;;г;;то,есвыбрать н,левое приближеш;е Ха.чт ;(iы М;.;жш; бы';0выше утверждение;iы в;;у l'и с;'Гме;;т;;;'стве ;но,те;,;ПРИМ;'нить доказанн ;..;'им;,;етр;;чных[а,2;-а] ишотнос;;тельно[2; -Ь, Ь] (рис.'J{;O.M прuнадле:JICum сег.менmуС;.:; lllР;;Сотом,ю;;··.а~ЬЗамет ;;";, что Г.;еЬ] ;;и ;;ахо.ШЛС;; ис-комый корень с.
хотя бы ОД;;Н и; дву;;;.:; ;знию;·е2с-ьас0------0----0--Ь;'ег;,;ентовче;Ь]. Поэто-12.3)! (.3... у >;отя ;iы одш; из ТОЧ;'к а или Ь Пl'ИШ; ;ежит сим;,;ет ,;;чн; .... V относ;;тельно корня с сег;,;ент, всюд, на котором iF'(x)1< Ст~ло быть,по ;"'1 ;;йнейо.;ну из TO·;;lK а или Ьсо; ласно до;·..азаш;; ;му ;';Ы1l'"утверждеНИli1выбрать;а ;[0. Конкретновыбрать т' и; ;вухТОЧ;'кили Ь, дл>; ко ; ;1ЮЙ приБЛИЖ;'НЮ1;;·1c;TMe;lI;l· [а,Ь].На практикеlаще всего встре'lается слу lай, КОГ1\а ПРОИЗВОlная Р'(х) имеет на сегменте/!] Оiiределенный знак. Если эт;)тзнак положителен, то из формулы (12.4 сле1\ует, lTO после1\Овательность {;Т п } монс)тсшна.
Этот случай п!нвсщиттак называемой ступе?; ';ато'Й диагра.м,м,е, изображенной на рис.12.4.ЕСШi >i<e ПРС);;';всщная Р;(х) ;iТI)Ит~ательна на сеГ\fе;пе,то изтой л;:е форму.fЫ (12.4) вишо, что любые 1\ва после1\овательных,шемента х п 1 И х п лежат по разные стороны от корня с. Этот2у=; (х)оРис.Рис.12.412.5ПjНВ'ЩИТ К так fатьшаеА1А,АА сnиралеО(Аразноi! диаграмлt,е.изображенной на рис. 12. А.З ае ч а н и е.fлает В' )прос 1,)б 1щеНfлерешш)ститощ итераций, т.
е. об оценке отклонения n-го приб.ти.ж:ения х nОТ точн)fo 'тначешfЯ КОРШf С. И'т2.7) непосредствеfно вытекает с fе1\ующая oт~eHKa:1:1:11 Гf,е СУ-ше,~ суn(ь-то 'шая вер ,;няя грань Фуню f,ИИна котор,)м fПОШ!РОf1afвощаяilI'(x)X11 -1(х) на сегменте [а, Ь],раСС\fаТРИf1ае\fыjr коре;отрицательна на сегменте а, Ьи Х"лежат по разные стороны, то"Есш! ПРОf!Зкак указано выот корня С,и ПОCjтомуспраf1едш!ва слеДу, 11 щая 1щеНfла:I;TЕсш!>f<ecl11~Ix n -Х n -l1·в рассма; lнваеМОА1 сл\чае f{'тяп'та пр fбш!>f<eHHoe'тнаlение корня полусумму 1\ВУХ послеювательных приб.тил::ениЙжх'nто получим сле lУЮffУЮ=oll,eHKYl' *п - 1./'тС::::::+An-lпогрешности:I·T n-.Tn-ll.5. Общ:<шшанИ4' метода к<:ъс<:ът\',гхьных.1о.
Рассмотрим сначала случай, КОГ1\а искомый корень уравнешfЯ I(x) = о ИЗ')'лИР'fRан на неlЛ')Т'ipО\f Cel'\feHTe [а, Ь], наром фУНЮ1,ИЯ f(x) ИJ\1еет не обтю'Щанnчу'юс,я 6 нуль nel!6YHi nроИ360дНijЮ и ограниченную 6mОр!jЮ nРОИ360дНijЮ. Докаже А1 что'iTOMСЛУ'lае наl'mется такаЯlOстаточно маllая окрестность корня С, что если нулевое приближение Ха ле.Ж:ИТ в 'iТОЙ окрест-[;Нl llИЙ,НОСТ1 {:1: п} о 1р*ЩЛ)ДИТ i "Кза\iети*'-корню4ШfeMaif р;КУРР;н; нойс,чт() YP;'1;HeНi1eР(!),(12У)имеет наl:erMeHT8 [о" Ь] т()льк() один корень с, (;()впадающттт':'т (;корнем уравненияПо;тому вместо уравнения (х) = оM1,1 будем решать урarшение (12.8). Для эт()го.
взяв некотор()е Хо,11построим итерационную послеювательностъХ п +l = р(х п ) = Х 11iамеТИJ\I. lTO рекуррентная формулает с pel<yppeHTf*1 *iР\iУШi1; 2.1).( 2.9)(12.9)в точности совпаl,а-Чтобы 1\оказать СХО1\ИМОСТЪ итерат~ионной последовательности {х п }[;CKO;liiMYс.
достат()чно доказаТ1" что в Heii ;-торой Е -окрестности корня с произвошая р' (х) .)'l,овлетворяетусло[;!!IF* 1 ~ СУ1, и [!'iЯТ1 хо Уiiа'iarШ()l; -- ii!l>еСТf[i)СТИ(см. утвеРЖ1\ение 2 из п. 4). В силу требований, налО)кенныхна[кт~[;ю, наЙД'[Cif ПОЛО>l<итею,ные ч[;сла 1n N такие.<lTOВСЮ1\У на сегменте 0" Ь11'(х1выполняются неравенства>11"(:1:)11~ N.12.Поско, [ькуР'( ;Тf'т() [;з)[еравенств1-[1'(;[;)]2 - f(;[;)!"(;[;'[1' (;)]22.10:[;ы[еiает слеДУ;i'щая oт~ef[Ka:IF*(x)1 ~Из не11рерыRf [)стиf(x)!,,(x)[f! '>]2 ,If(;)INФУНii 1"1вытекает,1)чт() вЕ-окрестности корня с ';та функт~ия Уl,овлетворяет неравенствуlJ(x)1 ~де СУ -12.12)Ф [iiСИР(iRанное число из интервала Оставляя неравенстваYiia'iaНi.,rr;; СУ,(12.11)реСТНiiСТИи(12.12),<СУJ\IЫ полу lИМ,<1.СОШilTO ВСЮ1\У в;СliрНЯCy)1~ о:1.[ем самым с Ш1\ИМОСТЪ после1\овательности(12.к корню1\0-казана.1) Эти неравенства вытекают И; того.
что ПрОИ!БО, ;,наяи не обl'ащается в н' ль на l'ассматриваемо;,; "е; ;,,;енте.l' (cr)непрерывна23а м е ч а н и,Т Д н{а:;],Лff СХОДffМОСП послеДОf;атеюност!' {Х п } К КОРffЮ С Л fШЬ Прf' 'СЛ'fRИИ, чт,) НУЮf;О; Пlнближ;ниел; жит В1О;таточно l\Ш,1ОЙ [-окр;стности корняВы()ор1)ез труда осуще;Тf;ЛЯ;на (>.fRР;\;;fш,)f; бfКТР')-H'ff<H )fO ;;01\ей;твующ;й Cjлектронно-вычис.тит;льноЙ м;].шине при ПОМОЩИнеСf')ЛfffXа м е3fр,)б,а н и ения корня2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
