Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 76
Текст из файла (страница 76)
что приближенными методами часто пользуются и для интегралов. выражающихся через элементарные функции.lШТЕГГlbI<llНЛТРilЛ.;В: .Ntern, ·Y)O.Nt пр.я.Nt, ·уго/.методомОс новна:!(.Р:! э; их ,нто ювтеiРilJЕН,iЙ ф' Нi,T~H,.!U!;;!':·'''',. ;ilключаетг.NtemOUOM rnрп.Впо,l.blН-пр нт'iй iipИJЮ[I;Ыf(x)многоч.ш:ном, СОВПilП;ЧКl'. для уяс-нения этой и l.еи рассмотрим при малыхинтеграл11Jf(x) (lx.-fLпре[l;стаВ.ШЮl ШЙ собой ПЛОl l.а,Ъ узкой КРИВО.;инеЙноЙ трапе-ши,;ежащей iЮД i'рафшшм ФУНКiiИИ у(рис. 12.7).фУНКШf!' лх)iЮi'оч;еномна сеi'мею еf(x)Н';евогопор [дка,аhименно константой ЛО). При этом интегра.J лх) (l.rприбли-женно замеН;ПС:l nлощадъю nр.я.Nюу.;олъ1-tuк;а, заштрнхованногона рис.
12.8. НИ:l<е мы покажем, что при определенных требованиях наf(x)ошнбка, со;ершае.iа:l iipИ такой замене, нмее!у-hуОРис.hхРис.12.7iЮРЯДОК h 3 .у12.8амен 1М, далее. фУНКШf!i f(x)го порядка, а именно линейной Функт~ией усf(x)в ТОЧi:ах-hh.Рис.12.9НOiо'ше юм- kx+iiepBo-совпадаhJ f(x) dx-fLприближенно :~аменится nлО'{!!,ады{! пр:: 1fОЛU1-tfu1-tоu трап! i!,UU,заШТРИХОliаННiiЙ на рис.12.9.деленных требованиях наНИ:l<е мы шжа:l<ем, что при опреf (х)ошибка, совершаемая при такойН;I·Ю)l'"многочленом втор )го П 1 )РЯ[l;К 1, Т+f (:г)совп \ДающейпаР;lб.)Лl)Йточ <ахlJ, О И11"'томhуf(x!(lхfLфuгуры"лежащей под параболой изаш'! рихованна р!!с. 2.10.НИJ!Jе мы покаJ!Jем. что при опре,!.еленныхтребова шях на фУНЮШJi'оншб!<а, с,терf(x)шаемая при такой замене, имеет порядок 11,5.ЬЕсл!! требу8'! с;! вы!!!с шт!, И !те!'раJ f (х) (lxа1;],ПО любому сегментусе!'мен'!то естественно этотна дос iаточно большое числома.!ЫХ сегментов и к каждому изто!; !!lш\!енить ИЗ.!ОженыеЭтих сегменрасс'ждения.При этом мы и ПРИ[l;ем к мето,!ДМ ПРЯМОУГО.!ьников, траш'Т~ий и парабо.
в их общс'м !;иде.l.ета!ьное И:~ЛOJ!Jение каждого из Этих трехОметодо!; дается н!!же. Здесь же мы сделаем одноважное для дальнейшего замечание.аеа н и е.Пуст'ь ФУНКЧUЯ,чент, [а, Ь], а хl, Х2, ... ,х n -Тогда uа лnом !'ег,Ч1нте найдет!'арuфметu'Ческое .f(11)fnна сс'Гмс'нте [а, Ь]. Тогда длянеравенства m :( f(ч) :( NI (kmиNIравноf'точные грани!ииJifб'fГО номера /.
спра!;ед !ивы1,2, ... , n). Просуммировавэт!! неравенства !!О всем номерю,!n,на се'тО'Ч1И ~ такая, 'Что !реднее+ .f(X2 +.,. + .f(X,,)В самом де,!е обозначим череззультат наf(x) Henpepf'fBHaнекоторые то'Чкu се i.чента ;а.=1,2, ... ,и !!Одел!!реполучим:( .f(11)+ ЛХ2) + ... + .f(.i n ):(М.nТак как непрерывная fl;ункция принимает любое промежуточное значение, заключенное между rn и М, то на с; гмс'нте [а,1;]най !.ется точка ~ такая, чтоf(~)=.f(11)+ ЛХ2) +, ..
+ .f(.i n ).(1 17)n2.Метод ПРЯМОУiОЛЬНИКОВ. Пусть требуется вычислитьи !те!'раьJаdx.(12.18)lbI<Pa:~ )бы"cel'MeH'lаХ2Х{i,Ь]P(U!?t/hlJпрн Пj)\lОЩИ Tj,)'l(KЬ, О()ОШ;lЧ 1М ч( pe:~ X,!k-1 сре,шЮЮH;lх<n417lШТЕГГ=12 11)(12,18\прямоугольниковпло! (а !.еЙ прямоугольников с высотамисоответственно равныx2k-<, X2k]Тj)ЧКУ птмz:нтаlЮl;нтся';аменериснн'! (ТI ';Ш;lми f(X2k- ) и основаниями, равными X2k - x.!k-<\ю'толышки заШ'l рихона [Ы на рис.справед !ива формула12. 1Ь - а (этиn.Т'а с;нм '!бразом.ь/!г,!.еdx = ь - а [fnR-.) + .f(хз) + ... + f(x!n-остаточный член. Форму !а(12.)]+ R, (119)на:~ываетсяnр,я.АюугОЛ-Ь1-tU11:06.Докажем, что! если фУНЮlИЯдется такая ТОЧlс;аИМf'1'Т на сстмс'нте [а, Ь]f(x)непрерывную вторую прorг ;ВО[l;НУЮ,то на этом сегменте най71, '!ТО остато lHblij 'шен R н фОР\lуле (12.
9\равенс 'той це. fЬЮlеним сна-f(x) (lx,с шта,!, '!ТОьХа ,А'1-fL,A'2k-2 Х 2k-J,А'2k,,'2nфУ1-t11:i!,U,я лх) U.Nteem на сегмеюn,[-h,1-tеn]нрыl--Рис. 12.111-tУЮ 6торую nPOU360i}1-tУЮ.Дш этого п !Двергнем ДВУКlатном'стям каждыйhо1,о-h14интегрир !Ванин, по ча-следующих д!,ух и [те! ра.
юн:В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьIа1=//(х) (х+11) dx = [(x+h )2/, (х)]а-h2 / f'(x) (х+11) dx-h=-h=[2(х + h) . f(X)][fLf'(0)11'"f(x) (lx =а={(O)h' - 2/(0)11+ / f(x) dx.-hДля второго из интегралов совершенно аналогично ио. fУЧИМfL12 = -f'(O)h 2 - 2· /(0)112 / f(x) (lx.аПо. [усумма иолучеННЫХfЛЯслед.' iiщей форм' [е:11ивыражений ириво fЛТ кh/ f(x) (lx = 2,[(O)hО т~енимму [Увеличинуcpe[l;Hero+ h)2rийcer .. ieHTe11 + 12-,+ 11 ;12.ирименяя к интегралам~=~I22- h)2. Мы иолучим, что найдутся точкаfiiaна cer'MeH'ie11] та;не, чтоfL6на(х) (х + 1/,) 2 (lx + ~ /аfLа-2/2)(~1) / (х + h)2dx + 2/2'= h6' f(2)в сил' замечаниятакая.
что/а-h"/фор-значения и учитывая неотрицательность ФункИ (х-hточка1и[-h,О] и тоа=(12.21)) + ~З f(2)юшце и.1 насегменте[-h, 11]найщ'тсяlbI<По41'}lШТЕГГД,'fOMY1)С1ЖС'ННС"h1(х) (lX= 2/(0)11 + R,(1-fLгдеТак как (;е, lичина21.hпредставляет собой п, ющадь ПJ!Я~мо,то, lьника заштрихованного на рис.иhJ1то форму lЫ12.8(12.22)ДОf)азыван)Т. ,)то ошибf)а, совеРfIIаемая прн за\fене(1dx указанной площадью, имеет п !рядок h 3 .-fLhТаким обрюом. ilюрмулаJ(х) (lх ~2/(0)1/, rn;mо'{нее,-hь'{гм .if.i'}-l'ьше 11, Поэтому для вычисления интегралаJdxаестесвенно представ пъ этотно бо. lЬшого числаnl' /(х) + l' /(х)Х2Ханн'; еграл в внде с ммыдос аточ~интеграловХ4Х2Х'2n... +l'/(х)(lxX2i,,,-2и к каЖДО\fУ из указанныхннтеГI алов пр lмеШl'f [, ФОР\fУЛ'(12.22).
\читывая при этом, что длина сегмента [X2k-2, X2k]ьра;на - - мы fЮ lУЧИ\f форм' (У Щ) l\Ю' f'ОЛЫШКОВ19)nв которой(5десь афункт~ии14*l'rJ:( Ь. Мы ВОСШШЬЗОlДШIСЬ форм' юй (12.17) ДШ(х).)2)Мс'тодЛИТI,TI*aiH I щи.КIКвыше,НС-ннлтральJ (х) (lх(12.18)аРаюбьем сегмент [а, Ь] на n равных частей при помощи точека = хахх.·х n = Ь рнс.12). Ме; од траIIенийзаключается в замене интеграла (12.18) суммойЬ;n а {[лха) + f(x,)] + [f(x, + ЛХ2)] + ...
+ [.f) + f(x n )]}~ b~, {ли) +ющаден(ik- )итрапет~нj(Xk)траIIении заНIТРси с высотами равнымина рис.~COOTI;eTCTBeHHOОС ЮI;аННI\Ш,iXOBaHbl(1)) + 2Xk - xk-12.=(Xk)}равны\ш__а (этиnТаки\! обраЗО\i. с таI;едшваilюрмулаьJf(x) (lx =2n а {/(а,) + f(l;) +аn-Рис.[де12.} + Н,(12.24)R - ()стю О'IНЫЙ чле [.(12.24) нюывается ФОIЧУмулалоu mраnеu,иU.Докаже\I, что еслннепрерывнуюдетсяTaI.;a;If(x)вторую ПРОИЗВО[l;НУЮ.т() [ка71,что;jCTaTOнаCer\IeHTe [0,,1;]на этомсегменте найнмее;тоIНЫЙ членRв форм· [е)имеет ви(12.25)От~еним сначала интеграл+hJ f (х)(l;считая, что фу1-t'Х:'ЦИ.;j-h(х)60дну'!;на сег.че1-tmе-11, +h] 1-tеnр;jJ'bl61-t/j'!{) 6iПОРУЮ nРОИ3-lbI<ПодвеРl'; ,1 интеl'Р lл421lШТЕГГhJ f(2)(.! 2 - 11,2)-fLГРИРО;;lНl1ЮЧ;lСl,'[lOш;л\ч 1М+fL- J (х) (lх+fLJ(х)(х22-11,)(х) (х 2 - ) ] I:~(lхf'2-h-h[2f(x)x] I+fL+2-fLf(x) (lx =-fL+fL- -2[I( -h)(х)(+h)lh+2dx.(12.2(;)-fLв СИ,lУ(12.26)ПрИХО[l;ИМ к формулеhj 'f(X)dX=f(-h!+I(h);h+R.(12-hгдеТJ(/1Так как величинаf( -h!(1h).+ I(h) 2h представ, шет собой площадь2трапеции, заштрихованной на рис.
12.9; т() форм' 1Ы (12.2и (12.28) [l;окюывают; что ошибка; совершаемая при заменеfL/(х)dx'l;азан-fLьш 1;ЫЧl1С1енияlпегралаf(x) dx, l;al;и в \lет(ще llРЯМ()~аугольниковпредставим этот интегра,больш()го числаnв виде суммы [l;остаточноинтегра.ШfR.f(x) dx +.f(x) dx + ... +f(x) (lx .ХNПРИ\lеНЮ1 к l;аждом'ЭТl1Х и lтеl'раЮ1; форм'мы и придем к формуле трапе lИЙдш остаточного члена (12.25).(12.28)1(12.24)ыс выражениемпарабол дляВЫШ(ЛС'Нfj,iннтеграЛ;lьJ (:г (lх(1 18)аразобье\!cHoi;aа,наnравныхпри помощи точек аХ2X2k 1Х2n=частей=ХО<И обо-через X','kсере,iЛCer\ieHTa [X2icc-2, X2icc]' Me~интеграла (12.18) суммойзначимРис.
12.13тонупарабол заКiючается в :~aMeHeЬ;11 а {[лхо) + 4!) + ЛХ2)]... + [/(X2n-J=Ьбnа{[/+ f(x;)] + ...4f(Xl)4f(X2n-)+ f(X2n)]} =n-n-42:f(a)+f(I;)+22: (X','k)k=l(X','k+)k=Oющадеi\ фигур. заштрихованных на рнс.13 предстаЮI,iщих собой криво,;инейные трапетцш, леJi<а; ;не под параболамиii!ЮХОД>iЩНМН через три то';графика фу iК;НЯf(x)С абст~нс-сами i','k-2 X,;k- и x','k ).Таким образом, справе,i,лива <lюРму ;аьJЛх) ,1х"па [I(a) +',-1(Ь)',-1+ 22:f(X;k) +42:1)] + R,k=Ok=а(X2k+(12.29)где R - остато';парабол И,;ИнаЗЫi;аеi С,! фор.Ntуло{!;аДокаJi<ем, что еслиимеет на сегменте [а,1;]непрерывную четвертую прorг ;ВО[l;НУЮ.
то на этом сегменте най~детсяTaiia,iто';ка71.что остато';ный членRв форм';еравен(Ь_а)5(12.30)R - - 2880n'1+Из примера1)2п.4 §2гл.11+ I(Х2k)]'чето,;вытекает, что выражениетого, чтоЬ-бnа=.с 2kЬ---.с 2k-2ббn+' Щ ',i.статш ;етсобой площадь, лежащую под параболой, проходящей через три точки графика Функпди ЛХс абсциссами .T2k-2 •.T2k-1 И1Ы ~ 1ШТЕГГ+hJ/1,Ю oт~eH 1М СН;lЧ;l,r1:T, сч П;1Я,фу!!/х:--fL,+11,]'н! пр е Р'ЬМ! '/-l У'!! ! ч;rnmрrnу'!!!дЛЯ ЭТОГО ПО[l;ВZ:рГНZ:М чz:тырz:хкр lТН )му интz:гриров;шию по'{ас{;'!!:~ СЛlЛ,'!iiЩ!!Х[l;BYX!!Н', (граш)!!'Оh/(4)(x)(x+h)1(X-~)dх, 12= Г (х)(х 11)1(x+~)(lx.1-h!я{{еРЕ()ГО из!'{их инте{'раЮЕ{Ю{У'!И\{о/(4)(x)(x+11)3(x-~) dx = [Р3)(х)1+h)3(x-~)] ~fL-h_{Р2)(х)+3(x+h)2x-~ +(х11)3]}[h +6/'(х) [(х + h)(x -~) + (х + h)2]} О fLоо/(х)-fLdx =-hо8h[/( -h)+(О)]+/(х)(lx.-fL(1!я12совершенно аналогично получимh1 -_ ,1(3)3- /'(O)h 2-8h[/(11)+2/(0)]+24/(х) dx.
(1оПосредс Е()" сложен!!;! с! Ю{ но{нений(12,31(12.32\{Ю{У-чим с {едующее равенство:l' /(х) !lхh-fLоценки11 +12-применим к интегралам11сред {его зна'{ения, \ч пъша;! не{юложителыюс'{+(х -~) исоответственно,{,и12 Ф ормулуФУН!;Т~!!(х +~) на сег\{ентах [-h,o]++h]чтона сс::м: нте [О,тсн+11,]наcelментеточ~та:не, чтс,(6:Еfl:r+h+f(4)(6)/СТоСнова исиользуя замечание в конце и.се; менте[-h, +h]на 1дется~iИз(12.33)и1 мыTO'iKa r; таi<ая, 'iTOио. }УЧIВI, что на~~5 f(1) (r;)._(12.34)окончательно иолучим(12.34)h/!d;r = [т( -h) + Ч({)) + f(h)] 2h+R612.35)'-hгдеR=_(2J/.)5 ti4 )( .)88О .r;Т'ак как ве,шчина12.36)[f(-h) + 4т(О) + .f(h)] 2hире6илощадь фнгуры,шс. 12.10, то ;iюрмушС:'},ставляет ссюойиол, иарабо.юi:1 и заштрихованноi:1 наи 12.36) доказывают, что о! ш[iка,12.35)11,сове]J f(x) dx указанной и, ющадью, имеетiаемая ири заыене-hиор~}док h 5 .ьДш вычисления интегра.Г f(:r) drтак :ж:е как и в методюащ шмоугольников И траиеций, иредставиы этот интеграл в видеCYMMi,} nра,ювХ2/ f(x d;rХ4+/ХаПримен:ш к i<аЖДО\i\Х2nf(x d;r+ ...
+ /fd;r.2Хнз ЭТНХ интеграЛОi: фОР\i\.ш,}иыы и иридем к форыуле Сиыпсона (12.29) с выра:ж:ениеыостаточного члс:на (12.30).Сравнивая остаточный ч,}ен (12.30) с остаточными членами(12.20) и (12.25) ыы у[iе,i<даемся в тоы, что форыула Сиыисо~(12.36)lЫ\ lШТЕГГнаб, ,ъш.\ю то lНCH'le:'ФipM'лы ирямср гольник штр, Ш ll.ИЙкачеств(иллю( трат~ии ириыенения форыулыСИМИСОЮl:1(0обраlИМСЯ кll(ленюринтегр,)ла=.Гничик)я(ъ для ИР'iСТОТЫ 'lНач(:нияыи :1 О IB С(:ГМ( нта О2,.f()lJолагая:Е- е _х и вычис шя Щ юи:~водную(:Е)- 12х 2 + 3celMeHTaизбсз тр\ l.а ··б(:щмсях ~ ;УО ~ llЮ BC;lCOоже:(12.30)оце!том, Чl обыть, iа:~i\ив сегмент [О,IJl Cy)1 <1'lTO IRI <144п'всего на иятьiaBHbIXсуммой,О[,сс;хслу lае'тверждать,нив рассматриваемый интегра.ш:;4(4:Е 4 ;унзи схог· ,'талочастей и замев иравой частиiМУЛЫ Сиыисона. мы вычислим этот интеграл с точностью до11144·5'5.Заключительные замечания.
Ка «дый из ИЗЛОСi;енныхв этой глаl,е:'eto:lol,ВЫ'lИСlеl ня корнейypaBllelи Ollредеlеllных интегралов coJep:JICum 'iemr.;o сфор,м,улироваНН'blЙ алгорит,м,лля ироведения вычислений. [ругой особенностью ИЗЛОСi;енныхметодов является стереотипность те:;ций, lсоторые ИРИХОДlПСЯ ИРОlЮ:ЩТЬвычисштельны:;оиераlа каждом отл,еJыlмM шаlе.Эти две осоiiенности оiiесиечивают широкое ирименение из.юЖС:НШ,iХмс:тол,овИРОi'( л,еНИiiiaВЫЧИСiеiibIXcOBpe:ieiбыстродеЙСТВУЮiiiИ:; вычис.тппельны:; ыю шнаВi,iше ДШ ириб. нжеiф'iСЦНfMi,iЮlО i,i,iчнслеНИii[а, Ь] на достаточно бо.iЫ юе числоментовpa.ia (12.18)отисхо:щли нз разбнеi ня ос] ;ов] ЮlО сег:е] ;iaДibI hnр а в н ы Х частичны:; сег-нз iЮСiедующеiij замеШ,i ф'iСИНна ка:ж:доы частичном сегыенте ЫНОГОЧ.iеном соответственШ, шулевого,иервого и.ш второгс, иорядка.1югрешностъ,возникающая ири таком иодходе, никак не учитывает ИНДИВfщуалЬШ,iХ С!юйств ф'lСЦНf(:y).Поэтоестественно, во:~никает идея о варьировании точек разбиения основного сеГ:lеlпа [а, Ь] и l'l,iборе ДШ lсажл,ой ФlilССИРОl,аlфункl.ИИх) такого оитимального iазiiиения основного сегыентаЬ] на n,говоря, не pallНl,ix .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
