Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Рассмотрим две сш "да.1ьные пос 11'доватl'. 1ЬНОСТИ МНОГОУГО.1Ь-{2}НИКОВи},}\IНОГОУГОЛЬНИКОВ,псрвая из 1СОТОРЫХавтораяВОКРУl""ПОiОУl'ОЛ "!ИЮ'"ностьПО.1учаетсяКО" Т1 , Т2 , Т,е9..изi'рС')ТОЛЫ!Итреугольников,в; lоследо-п.ЮЛ'·iаеi·СЯП·"РСДi '·ВО··}Qуд 1лепи',' из к садраi'шmУОi·Крi.Ii '.!'У·Й.шемыхИ'1треУГО.1ЬНИТз, Т4 на каждом четном ттта,"ЧЩСССi1. 1.ОПИСi1 шого В1.}ЧСВИДiчто люii01'i вписанный в фигуруугол ."ик СОд"РЖИТiгоугоЛi.' !ИкеQмногоQkaKOi'-П 1будi.···ПО,а. ,юбой о' исап iый "округфЮУрi.! (J M~;O' iШIi.ПИК соде;·'iюiупри-полуоткрытыхУ ii1л"еМi.!'исаш югогс; 10СЛС·ДОВi1ТС·Ю.Т4 па каiiСДОМ печеi iюм ша-В1н·л.iЮiковтоит ИЗ впис 1ННЫХ Вописанныхпосредство:\]соединения к ква',ратуТрСУГОЛi.i!ИЮ НС,и:~м ЮГОУГО.1 .пикшадей м'iОЛЫ!ИКОВкакой-10э,'ОМУQ",.!..1.",р 1ве,11.21'ре.·,е.1 последоUU:JICHeUДС'л ПОi лсд· н ""'СЛЫIOсти {В } iЛОЩi1ДС'Й М' юго, голы! 1КОВnло 1~aди Р фигуры Q.
Лег со уiiедиться, что Qn = 4 +_! k=!f#Рl).Поэ,оуЕ1liшQn=16j:,aP=n--+OGДокажем, что"асmъ 1i:рШЮUL,QL',Так какТакимимеет плоша ,ь. равнуюО"lJaНU',еннп"m,,'1,1i:aMU, и, "пря,МЛ.lu'ма. ДОКi1ЖС'М с"аЧi1ла, ч',"имеет о '·.шчпую О',· пуляШИ1',li~=iчто i'i1ЗПОСТЬ р-р =о' ·ра:30М, ,раница рассматриваеМ01', фигуры3.2:1',)--+00(JР.
тоРС1ВС, 6'P:I;UCfi_1k-l' а Sn =Qnn2.lJaЗЛU"НЪf,-"С1ка" '1а;L'кривойLi.ющадь, т. е .. 1юбоЙ м' ЮГОУГО.1i.Ш1К, покрьшаюимеет п.ющадь, больтттую не1СОТОРОГО по.ю:nп!те. 1ЬНОГО ЧИС1а. ЗамеL'L" п,'ВС 111ЮЩУ'" точкам "'кот· нюго ССГ· п!та'1"'01.одср 1С и','СЯЮЛ, '1ПР п·" PCДi'·ВО'·УДi1iН пи'·'1"рС ,тольпикс Ти'·'01ССТиз этого трсуголпо. ,уоткрытых треУ'0.1ЬНЮСОВ (см. п.СЧИ"а"·''1"'0сумс,ако" ме iьшеLiiSi.ющади1 настояще, о допо.плошадсй вссх 'даЛЯСi'ЫХ ЮiIjОТКРЫТi.!х "'РС 'ТОЛi.пи-STтреугол "шка Тимее,· плошаДi. равпу'"- S>вР р+ 1-. - - .2""2'"§1Следо"а'·е.1ЬПО. час,ъэтой ГЛi1Вi.! iрИ док 1Зi1тел .ствеква ,рируемости фигуры, ограниченно! спрям.шеМ01', "РИВ01", мы до ,а 1а.ш.'1"'0плошаДi.
СПРЯi'ЛЯСiЮЙ КРИВОЙ;·i1В,пулю (! "·"мл"емую КРИВУ""·'ОiiСЮКРi.I"",'погоугою."ИЮiМ скою. угод,Мi1ЛОЙ плошади). ПО ""0'·Чi1СТЬL"кривой3амеL,а С1едовательно, и частьL',содержащаяае. Каж.йя и:з юстрое!!!!!.!' фу iКЦИЙПРОUЗ60дuоuнu 6 oJiiOU mO'l,1i:e сегмеиmа11.L", неспрям. шема.,(t) ф(t) не U.,i.eem1) Эти форму.1Ы .1еГ1СО ПО.1УЧИТЬ, если учесть, что суммы плошатре-УГОЮ"шюнс, удаляс'· ЫХ!Р "'чстш.!" Шi1Гi1Х проце' а, образуют геомстричсскую про,рессию 1.1/4, ... , а суммы п. ющадей треугольников, уда.шемыхсаС.!Х шага' проце'а, -ГСО'· ""ри "', KY'i' iРОГРСССИ'"/2,; /8, ...ГЛАВА2ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯКОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ И ОПРЕ)1ЕЛЕННЫХИНТЕГРАЛОВв этой г.
}аве рассматриван)тся приближенные методы нахожия кор;;!ЛГ!';'ю;х;1'; ,IX1'р;;;;енийвычис}ения опре теленных интегра,юв.л',иn.л,Гl,ГН"ЛП1МZ"ТZУДЕлЕ ВЕлЛ ,R.л,!слеллл,!,:>л корнейуравненийВ этом параграфе мы займемся приб.шженным вычис}ением(;ТШiГО из Кi.iрнеЙ ур;шнения f(;r) = О, r,JJ,ef(x) - ш'Юлораянепрерывная или диффереюшр\емая ф\нюшя. Б;лем считать,что;тересующин;;;'некотором сегментеляет;",; ;;нутр;кор;;ьС Э1'ОГ!;Ь], т. е.ур;шнени;,;И'юлиро;;;;;;асчитать, что этот корень явт(;ч;;;йсе} ;;ент;; [а,Ь],СО,JJ,ер;+;ащ;т(; 'тругихкорней рассматриваемого уравнения. На практике обычно пу1'е;; грубоН f}РИi;И,JJ,;;И опр; 'ii'ЛЯЮТ р;;з;;'ры у;а';;;;[С"' Ь]' .1.
Метод«вилки». Н;;чнем сJ\Ii'TO,JJ,;;,;;i!о се} ;;е;кот;;рый част!; исш;,iЬз; етсятля приб.шженного вычисления корней на современныхб. ,Ii'ТРО,JJ,ействующ ;х мат;';'ких ;;;!ji!ИН;;Х.f=Пусть интерес ii ;щий нас корень с уравнения (хизолиpi.iBaH ;а не;;; ;т;;ро;' ;'; 'гм; ;1'е [а; Ь]. Of; ;;;сит; льно ;11УЮ;ЦИИ хмы;а;р; 'тп!iЛ;;;+;И;;,;, 'Т;(; ;;Н;; Hef}pep;,I;iИ;,;, н;; се! ;;ент;Щ;,;Х Э1'ОГ(; се}; ;е;шемтля краткости мыз; ;а;(;Y,JJ,eMия ра';н;называть,IX;а ;;!В. В«6IlЛ1ИIl»f[а;Ь] и';'1''та,всякий сегмент, на концах которого ((х) имеет значения разных знаков.ПереЙ,JJ,е;';i!}ИС;; ию ;';;'1'O,JJ,;; (;тыс;;ани;,;(х) = О, называемого .мгmодо.м ~6IlЛ'Х:Il».1)У}1а;;;ия• ;этом може;' б;,г;т, испол;,зоп;; ;а ;;;,г;'ек;;юща" ИЗ физи ;еско;о со-держания ';адачи допо,шите,;ьная ИНфОР:\Iация О распо,южении ;;орня.ГИЙГ;ГJЧИСЛГ4U3fади (>nр;сег("енг [(J"Ьбун мо,оii(>n;шаi"ггреДСi;iiiИГЪСЯдва сл\чая; 1) значение ф\нюши в середине сегмента [(J" Ь равнагю (("ЛУЧ;i( ИС;ii"Kapi;b ;айден), 2)f(ie з;;ачение не равна НУЮi ( В эта м сю чае адна из палавин сегментаЬ] "";ВЛ""f("ГСЯ iiИJТ«iИ"п;;.шi("'"мы ;;б;;зн;;чи'('] Оче)f)>ви[l,но" что Ла< О,о.ceГMeHT~M Га .
о J п~ступимтачна так же, как с сегментам [а; Ь], т. е. разделим сегмент [al"Пi;fЮЛ;;М.РiУi(;л;+;аi"; аН;;Лi;fИ';Ю,Iiтем иметь [l,Be вазмажнасти:(;б;;РВi"ГСЯi;СЮ[I,;";"Ютаг;;,мы бу-аписанный выше праllесс1)фу; ;кци;1'0.Внекатарага из сегментав акажется равным НУЮi ( (в эта м случаеискамый карень наЙ[l,ен)· 2\шСю аписанный праllесс мажна пра'i(;.шкать неаграниченна,мы mшУ'("ТЯfивающvю("'"сегментав-вилак [al, b1], [а2, Ь 2 ]бага намера11,fаn )<[а n , Ь n ],(Ь n )систi", 'Упрirчем [l,ЛЯfIа-... ,Указанная стягиванm~аясясистема сегментав имеет ашутачку С, к катарай схадит-("я каж,'Т.аЯ из ш;с.ш'д;;ваТi'льнаi"теЙ а n } и {Ьn}ге[l,ствиеиз теаремы15).
Дакажем, что. с и является искамым карнем,т. е. f(c) = о. f(iС;«ШЫ<У ФУЮ<ЦИi"; f(x) f('ПРi'ры;;;;а В тачке ста кажТ.аЯ из пас г e[l,aB ате, гьнастей {f а n )} и {Т(Ь n )} схаштсякс). На тапа из усювий(ал)О,(Ь n )О, В си,гу теареfмы<3.13и З;;J\Ii,чания к этайсправедливы неравенствар(;в;;ыеискамага карня,тге.fс) ~>погучим, чт(; (лнавременнаTeapi'MiиР;;("("У<К[I,еНИi";fс)О, т.
е.?'таю г(с);;JIГ;;РИТ=(;гыI;<аниi";;За приближеннае значение этага карня мажнавзять тачку --+--, т. е. сере[l,ИНУ сегмента [а n , Ь n ]. Паскальку;ат(;чнаг(;;а'Ь-а-2n- ,таия кар ;я не б;;.ш;а 2n + 1.;;киаписанный выше праllесс пас г e[l,aB ате, гьнагателения сегментавj'iИ""}ОК Пt}[}О"Пt}':;]'i{'}.J1яе"[,I'"}ИТЬ ИС~«\'кор;[Ь С С "}юб()йнапере[l, за[l,аннай степеНЫi ( тачнасти. Так как аписанный праПРИiЮ[l,ИТ к;(;faKpaT;;(p,iY ГЮiп(;ре;iИЮ nдноmunныlx вычисштельных апераций, ан асабенна удаСiентшя праве[l,ения вы;; iЩИХ математических машинах.2. Ме'год каса'г,елы.IЫХ 1). l\lет;щ кас;тегьных ЯВ,fЯi,,'ТСЯним из самых эффективных приСшиженных MeTa[l,aB вычислениякар;ур;;в;ия f(x) = о.чисгений на (iыстратейств,Пусть искамый карень;теЬ].выясняя пака уславий=уравнения(х)ап i("анию<'(i'Ta[l,;;иза,шраван наК ;;"ат; ЛЬЮ,IХпри катарых применим этатMeTa[l,.;ена[екорня некоторо;обозн;,]-ЧffМТОЧfiУ fрафfiЮ]Т')ЧfiУ Во касат! [ьн'кв,)е при(imi [f<еЮiе ИСКОi [)} О f'i>рНЯэт,)й касатеm .ю>й с ОСЫ о ' О;т1 .чi р! зfCCOjf :Tf)нкции И fюзьмемнрТ' )Чfi mР;СiЧif Ш)fДалее ПР')RедеJ\.f касательную кграфику функции lерю TO'lKY В 1 с абсциссой Хl и возьмем завтор')е Пj fiближение абст~исс' Х2 Т')ЧfiпересечеюfЯ эт,)j; fiacaтельной с осью!Х.
ПроюлжаЯijТОТ про [.есс неограниченно, мын>слеД')Rательносп Хо ХХ п ...fрибтi [f<еню .fXПОСТРОИ\iзна'lений искомого корня.В праКТИ'lеских ff.елях У1\обно получить рекуррентную формулу, выражаf4)Щ'Х п + чере'; Х п . ДЛ)f ЭТifl О fюзьмем 'равнение У - лх п ) = j'(Xn)(:I: - Х п ) касательной к графику ФУНЮfИИТ')ЧfiеВЫЧfiСЛИ\i абст~ис-су Х п + 1 точки пересечения с.пойкасател .нойCjTOMпо.сос!ОХ.ри[)" lИМ12.1Форму. [аa.---------~~~~----_o--~i'i>PfiT\i(12.1)опре1\е fЯет ал-мет')дакасательюТаким образом, методтет.ТХпредстаlшяетРис.fiTepaff;iмет,щформулымеТО1\12.1(12.1 .пос fе1\овательныхБЛИ.ж:ениЙкоторыеСТjЮЯТС)fIрИ(или,Нi\ЮЩfiкак.IX.каса-собойприговорят,pefiyppeHTfНащей 1\альнейщей за1\а lей является обоснование метода касателью.IX.П.,) м!выясни оl усло.IX послеДОllатет .ю>стьзна'lений Х и, опреif.еляемыхмо\!'КОРffЮС.даДfiот~еffЮ'1),П0!1)е [lНOc!fi,СХОiЩТСЯ К искот.е.о! fiлонеfприближенного значения Х С ' от TO'lНOГO значения корня3.
Метод хорд. К ЧИСfУ щироко распространенных приб. fИ[f<еню .IX \lеТОДОIl решеf Ш)f 'рав! fеНИ)f= О '>т! [с )СiТСЯ \le (одXOpf..Перей [ем к описаниюПР;iКОТОРЫХ о!ijTOrO мето [а, не выясняя пока условий,IРИ\lеНИil.Так как касательная в точке Во пред"тавляет i'обой граф"к ;иффе+ую·.. llИИ у =точке .Т;\. то;;l)Ю'J\I i;тыск;;;;ияпервого пр ;бл"жения ,r1 о"нован на за,менеее дuфферени,uалом в1е"пиаточке,ro.flНl llИЙчт,)Лlf1а се1 MeHTzфункции 1(7) наПfнБЛИЖzНИi=[0"Ь]Ш'iii)МОГ')о1! зо~график]м за ну, [евоеЧ1fСЛ') :1:0 1fЗKOPHif He1i')T'!POzпа[d Ь] и обозна 1ИМ\О и В ТО'lКИ графика функции70 и ЬР')RzДz\l чере'; точки А о и В!Нф1f 1Ш фРЮiАоН и вс)зт,мем за первс)е приоли)кение ИСЮiМОГС) корня аОCff,ИСсуТО'lКИ пересе'lения )пой хорды С осьюДалееlр,теде\!хорл.у(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
