Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 75
Текст из файла (страница 75)
()т~еним отклонение приближеннс;го знатrе-от то'шого зна'lения с.CjТОЙ целью разложимfКТ~ИЮТейл та с остат,)ч-Н JM ;леном Е форме+ 2" f ,,(,);,[тоf(c)- Х п )2 .агранжа:П олагая(Х п )ф opMYfe...,;тои. ~в+Х(Х - Х п )+с и учитывая,= О, БУlем иметь0=(Х п )+(с-+Вычитая из после1\ней формулы формулу лх п )f'(xn)(x 1 н Х 11 ) = О, которая [;ыте {ает из ре {У1рент!о CO')Tff )шеffЮf(12.9),полутимХ п +lОтсюда. ffСПОЮ,З'Я-l!"Ш-fl(.
пс;гfРИЮfТf,те(Х 11lllе l.iб,):начен fЯ2.10),ПРffде;;к сле1\ующему неравенству:-N2тnПОС;fе1\овате.fЬНО применяя1Х п-с12 .CjTY Off,eHKY 1\ fЯ17,= 0,1,2, ... , полуlим С fе1\УЮЩУЮ оценку:IXuH 2' .cl ~ ( 2тnN)nIx;) _Дадим ;iб )сно;ание мет')да касател ,н ,ТХ при нескол ,коиных пре1\поло.ж:ения.'сть НСfi;iМЫЙ 1i;1Тfень С УР(1);неюfЯ=О нзол fl1О);(1)насегменте [а, Ь], на котором ЛХ) имеет ,MoHomOJf/HYHf nеl6УЮ nроU360д'Н!jЮ, СОJра'Н,я,ЮЩ!jЮ оnределе'Н'Ный 3'НШК:. Эта )Р') ПЕ')Дf fаяобязате.ЪНО непрерывна, ибо она не может иметь то [ек разрываперЕ))0рода. а мон,)т,шнаif ФУЮШffЯ дру)ffX т,)че;{ раЗР;,ТЕа [е\feeT.Ради О;lределеНЮiСТИ предполо.Ж:ИМ. что ПJ1ОИЗ)1Одная 'Н ' ;;бъt-6аеm u nОЛО.жшnелъ'На на сегменте [а; Ь].
Дока.ж:ем, [то итераff,ИОНffая l;iслеД'fRатеЛЬНОСfЪ {х п }, котор')Н ХО = Ь, а ;Т п + определяется lерез х п С ПОМ')Щ;,т (12.9), сх')дится к корню с.!':сли для не;{')Т')I1ОГ')HO\lepa17, окажеТCif, чт,) х п=с, где с-ИСКОМЫЙ корень, то j(x 1 , = f(c) =и из ФОРМУЛЫ (12.9) полуlИМ, что И Х п +l =. ПРОlолжая аналоги'шые раССУЖ1\ения, мыf;Ю llИЙпоследо;ате.m ,Ш)эт,)м('Л' чае;rок;ж;';;т;рац;о;чт,);ая;;п+2-41;;п+;в{:! п}последо;;ате.m(ход ;тся ки; комому корнюТ;';;рь док]ж;'Иf);;,М;lНдy;;ц;;чт,)Ь, тnп ;;п;;п1 У1} ;н.//"n;нор-Я,етn СОО'ПI/llОUU~-;;м~ :7 п +1 ~;n ~ОТСЮ1\а БУ1\ет слеювать, что все Х п прина1\ле)кат сегменту[с,;;б,) хаЬ ПРИf;адле;;<ит эт,)му се! менту), а также т,)т=факт, что после1\овательность {Х п } является невозрастающей иПОТО;j'СХ')D)fщеЙся.сил'';вер;;<деНИ;fиз п.4сх'щи; ;)стьпосле1\овательности {Х n и принадлеж:ность всех ее Cjлементовсе; ;;енТ' [с, Ь] (а пото;" И сег\;енту [о, ) завер llает д'н;а';ате.mство СХО1\ИМОСТИ Cjтой после1\овательности к ИСКОl\ЮМУ корню с.остается;оказать.<шеf ш;fм сХп ~то Х П +~ Х n +1 ~ Х U '<:1:"что еслиУ1\овлетворяетТ);да изПуст; сХ 11 ~лс) = О, получ;;соотно-уд' IRлетв, Ю;fет со,)тн,)шеНИ;fс ~2.9)_ f(;r;n) - f(c)Х n - Х u +1 -j.".........., "'nПрименяя к вырюкению, стоящему вби.Лагран)ка.
полу' lИМХп-Хп1 =(Х n•шслителе после1\ней 1\РО-с) г~;~)-,< ~n < Х п . с;;лу тог,), чт,) пр,)"·;в'щнаяубывает и полшкительна." 1\робь fj'((~n )) положительна'-'(х) неде с:ГВОСХО1\ИТ е шницы. т. е. О ~ Х п - Х п3 а м е ч а нне;;аетlая: 13.1 - Х"М;н;л;)ж;;тельна наl'[0"Ь].и не пр е-Хп 1 ~ Хп 'когда Г'(Х)е; ;е тр;; сл\-не возрастает и отрит~ательна на [о"Ь]: 2)в,)зрастаети поло +;.ителы;аff.ательна наВеn[0";аЬ].; 3) Гj'не' бьшает и о;не1)11-из Э; ;;х трех случае;; ;)б')сно;а; ше ;;етода касатель-ных ПРОВО1.Ится в полной аналогии со случаем, рассмотреннымвыше.{},;;ети;; ЛИll'что В сл\чаеследует вз;fть ·;начеш;е ха =Ь, аза нулев,)е приб.m; ;l<еш;еслуча;fХ3) -Зf;ачение:1:0 = 0,.
Это обеспечит прина1Лежностъ всех членов итера f.ИОНной послеДОI;ате.m,ш)сти {х п } celMeHT·сх;щи; ;)сть этойпосле1\овательности к искомому корню с.3а м е ч а н и е4.Укаже;; ;щеш;у от;;лонеfШ;f n-г,) приб.m;)кения Х" от TO'lНOГO зна'lения корня с (при сформулированныхвCjTOMпункте пре1\полшкениях2pff/)ВЫ!fжа, б' де/ 1фор!\луОтсюда по, f\ч fМ[ующую оц! нку(1тnминим;'1льно! знаЧiНИi]' (:г) I на сегмент! [а, Ь] Форму-ла (12.13) позволяет Оff,енить отклонение х п ОТ то шого значения1!1iрНЯ с че!е'; значеfше МОДУЛif задаюфую/у(х)=то'[ке6,!lетода Х4врд, ПреДПОЛО>f i=кореньуравнения] (хте [а, Ь]на ЮiТ' TOJ\.f Фунюсиячто ИСКОi 1изолирован на некотором сегменимееТЛfо1-tоmо1-t1-t!jЮ nерв!jЮnроuзвод1-t!jЮ, COJpa1-t,яющую nогто,я1-t1-tый 31-tШК.iшределенности БУfем ститатъ, что ,па ПРОИЗВО1\ная не убывает и по, юж:ительна на сегментех=Р(х,/feeT[0,7>].Заметим,гдеР(;т)=хна сеГ\fеfпе [о,[тс) 'равнение(1: -х:)Лх)!1Ь)- !1/)1)(12.
4)только ОДfШ KopeffЬ с, СОf;пада;i1ЩИЙ Скорнем уравнения ]По;тому вместо уравнения ] (х) = ом! будем решать у!а;неЮfе (1'4). ДЛЯ ЭТ )fO, ВЗifR Ха = а,построим итерат~ионную последовательность= х' _ (ЬXn+l =..I(Ь)iаметим. [то рекуррентная формуладает с рек'ррентной(1Дока,ж:ем,Xn )f(X: n- {! ;n(12.15)[то послеювательностьхп12.15)'в то шости совпа-С Ш1\ИТСЯ К искомомуК тю i1 с.=Если 1\ЛЯ некоторого номера 17. окажется, [то х пffСf/i)/fЫЙ ;/;тень, тс)(х п ) =(с) = Оиз фор/!\лыJлутим, что И Х Пм!с, Г1\е2.15)по1 = С.
ПРО1\о,тж:ая аналоги'шые раССУЖ1\ения,Пi)слеДiiRательнодокаже/1чтоиХ п +2=Х п +3=... =с,т. е. итерат~ионная послеювательностъ {х п } сходится к искомому корнютеперf пi) индукт~ии, чтi) еглu х п i!довлетвор,яетсоот1-tоu,е1-tu,я.м а ~ х пС, то х п 1 удовлетвОI ,яет соот1-tоше1-tu,ям а ~ х п ~ Xn+l ~ с.Отсющ И из ТОГО. [то xf!= а. бу!ет сле1\оватъ, [то все х п принадлежат сегмент' [а, с] (и тем бiлее сегмент' [0,7>]) и [тс) после !Овательностъ {х п } является неубывающей (а потому и СхОДЯf!рI;;Ы СЧИai'M,что Р(Ьf(!; )= Ь- Г(Ь)непuерывна на в"е;;; ;'е; ;,,;енте [а,Ь],,;а фУiiКЦИЯf;Ю llИЙ4fIЗ<ХОДiI ;1Ост;;эт,) '::1 i;ершит дока';ат;лП f1Л; Д тат; льност;;iIт;;рац Юi{:! п},CTi;O;;;;jYкиско;;корню СИт;,]кю ;аз;]<~ Х 11ш;; ffИifМ~ :7;+1 ~<Пусть а( Х пI (с)= О, ПОЛУЧjIХпХ;;1 -П!jIмеНЯ1fjb.С, т,) ;;;п+= -:1:;,чтос.
Из соотношения!Ь ЛЬ!Ьif(b)выражеfв jшадра; нifMУ1\ОВ, fетворя;;'УЦfRЛ;; IВ )Шfет ;:0; )т!-(l2.E),j )ш;; ffИсоотно-[м :7 п ~учитывая, что,n)[лс)f(c)],jX Cj;- f(;;n)][!(c)-f(x;n)]')бках те тему Ла-гранжа, полу ТИМХпrjeXi '1-< ~;; < с, с < ~1;ПОЛО\i;ите.m ;;>сти<12.1(;)(с-(Ьn -Ь, так чтоjP') пв'щf*В силу неубыванияГ'(Х) ;;;;>жно заmIсаТjчто О<Г(~n) ~ Г(~~)· ОТС;iща слецует, что др,)бь в прав,)]f част;,(12.1(;) пололсительна и, кроме того, не преВОСХО1\ИТ еiИНИТ~Ы(ибо (!>с) (~~) + (с - Х п ) (~n) ~ [(Ьс) + (сxn)]I'(~n)(Ь - :1:" )f' (п) . Стало быть.
О ~ :1:;;+1 - Х п ~- Х п , т. е.Х" ~ Х;;+l ~а м еа н и е 1. Мы{;ает Н j,Ш,)Жjjтельна на [а, Ь].неlая:lай, КОГ1\а,т еще1 f'(x) не возрастает и отрицате,ъна на [а,Ь]: 2) f'{;ает Иja ja(х) нев"т;растает и ПОЛО\j;ите.mцательна на а, ЬTpjIf'(x)нео!pjj-.сл;чая ана.Л: )ijIЧЮрасс ,;;>тре! Ш')МУ выше.сл;чаеуравнение f(.r) = О, так же как и выше. заменяется уравнением (12.14) икачестве нулев,)го приближения берется Хаа(при ';том после1\овательностьтаклее оказывается неубываiiiщеЙ).
В случаifХ 2)3) урюшеЮjе (х) = О заменяеТCif неуравнением (12.14 , а уравнением1дер!;Х_-х_(а- x;)nr)f(af(x)И В Ka'leCTBe ну, [евого приблилеения берется точка Ха = Ь (приэт')м j;;>след,татею ,носу {х п } ;;жазьшается нев')зраста;i" jей j.3а м е ч а нета лее самая oт~eHKaMeTO'j,a"yj;a +,e\j, что для ;;jет'ща Х тд СjjравеДЛИi;а(12.13) отклонения Х;; от корня с, lTO И длякасательных.и(вif()iШМ()И~cieПс)(Н! реi(}шимет))телстиПРlЛПОЛ(»i{ИМсубыв ЧТIIIII______-7~--~~~--_&----lbif()ЛОЖН'!Сна сегменте lu, ь j (рис. l:г.6).Опре[l;е,iИМ Х1 по MeToiiT Kaca~теЛЫiЫХ.ВЗЯi; за нулеiюеближение точкуго определнмтохорX:,iноiiPH-После это~прнмеюiЯ менексегменту, а к сегменту [а, {1].
дa:~А[ее,определнмKacaTeiЬHЫx,Рис. 12.6ХзiЮИСхО iЯ\iетодсиз:р:кенайденного Х1, а Х4 iЮ \iетодсхорприменяя его к сегменту[Х2с ХЗ], Указанный процесс иллюстрируется на рис.12.6.Преим.)'i (ества комбинированного MeTo[l;a состоят в слеii.ТЮ~щем: BO~llepBblX. он дает болеесходи\юсть. 'ieM методхорд, и, BO~BTOPЫX поскольку пос[едоватеiЬные приБЛИii{енияХnХ n + iшмБИНИРОi;анного \iетода с разных сторон прнб.ш~ii{аются к корню, то разность1 [дет оненку погрешно~стн эт()го \iетода. Есзашже jjюе зна'iение iШРНii взягIx nX~=§ 2.Xnl:Сn +;Cn+l, то Д iЯ погрешн,)сти получим оценкуПриближенные методы вычисления определенныхИНТziГ'l*алов1.Вводнхн ! замечаНI'ТЧ Прн решенряда акту ал сных фи~:~ических и технических :~ac iДЧ встречаются опреде. [енные интегралы ()т функций, пеРi;,.юбразные которых не 6ыражшюrnся "{ерез эле.Ntенrnарныe функ/и/ии.KpO\ie TOf'O.
в iiрнложеННiХ прнходится иметь де.Ю с опреii.еленными инте~ра [ами, сами nодъt'l-Шjе~гралъныe ФУН1\,i!iии 1\,Ornnpf,fX не Я;fЛЯЮrnся эле.Ntенrnарныl'и•. ЭтоПРИВО,iЛТ к неоБХОiiЛМОСТИ раfработки приб.шженных MeTo[l;oBRii,'шслеНli;' Оllреде.[енных [штегралов 1 .В этом параграфе мы по шакомимся с тремя наиболее упо~требитель iblMH прнб.шжен ымн \iетодюсш вычислеНli;' опреде-1) Заметим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
